Головна

В. Н. ГОРЄЛОВ

Вище ми познайомилися з низкою диференційних операцій над векторами і скалярами: освіта градієнта скаляра (1.6), дивергенції вектора (1.14), ротора вектора (1.23) і т. Д. При застосуванні векторного аналізу доводиться зустрічатися ще з цілим рядом інших диференціальних виразів.

Оперування цими виразами може бути спрощено і укладено в просту і струнку схему введенням в розгляд символічного диференціального оператора Гамільтона. Цей оператор Набла позначається знаком  і в декартовій системі координат він має вигляд:

 (1.24)

де i, j, и k - Одиничні вектори по осях х, у, z. Іншими словами,  є векторний оператор.

Цей векторний оператор відповідає в векторному аналізі знаку похідної звичайного аналізу. Подібно до того, як в звичайному аналізі диференціал функції можна вважати твором оператора диференціювання d на диференційовану функцію, так шляхом множення скалярів і векторів, що є функціями точки, на оператор ми отримуємо просторові похідні цих величин.

Так, наприклад, твір  скаляр ? потрібно, очевидно, покласти рівним

Стало бути, згідно (1.6),

 (1.25)

Таким чином,  дійсно може бути названа просторової похідної від ?, бо вектор grad? цілком характеризує зміни, які відчувають скаляром ? при переміщенні «точки спостереження»

Мал. 1.8. Площина зміни потенціалу.

(Т. Е при зміні координат х, у, z). Подібно до цього, і інші вирази, що включають в себе оператор  , Теж характеризують собою ті чи інші співвідношення між значеннями скалярних і векторних функцій в суміжних точках простору.

З відомими обмеженнями, про які буде сказано нижче, можна утворювати твори  з іншими векторами і скалярами так, як якщо б  був справжнім, а не символічним вектором. Як і при використанні диференціала, при цьому передбачається, що оператор  «Діє» лише на ті величини, які стоять вправо від нього.

Так, наприклад, скалярний твір символічного вектора  з довільним вектором а, одно:

Крім скалярного твори символічного вектора  на вектор а, Можна утворити і векторний добуток цих векторів, яке, як легко бачити, є ротор вектора а:

[ ?a] =  = rota (1.26)

Так, наприклад, компонента вектора [  ] По осі x дорівнює

[ ]x=

застосування оператора  вельми спрощує знаходження друге і старших похідних від скалярних і векторних величин. Так, наприклад, квадрат вектора  дорівнює:

Тому, розкриваючи зміст твору (  ?) за правилами векторної алгебри:

b (b?) = b2?,

отримаємо

div grad ? =  (1.27)

У справедливості цієї рівності можна переконатися безпосереднім обчисленням за допомогою формул (1.5) і (1.11):

div grad ? =

Зовсім інший сенс має вираз grad div а:

grad div a =

Воно зовсім не дорівнює  , Подібно до того як при оперуванні зі звичайними векторами

b(ba) ? b2a.

вираз же  має, очевидно, наступний сенс:

 (1.28)

т. е. є вектор, що складають якого, наприклад, по осі х дорівнює:

 (1.29)

Звичайно, и a не можна змішувати з ( )2 і ( а)2; так наприклад,

Відомі формули векторної алгебри

[b(b?)] = 0, b[ba] = 0, [b[ba]] = b(ba) - (bb)a,

залишаються справедливими і при заміні вектора b символічним вектором  (При будь-яких а і ?):

[ (  ?)] = [  grad?] = rot grad? = 0,

[ a] =  rota = Div rota = 0, (1.30)

[ [ a]] = ( a) + 2a, Або rot rota = Grad diva - 2a.

У справедливості цих співвідношень легко переконатися безпосереднім обчисленням в декартових координатах. Так наприклад,

div rota = Отже, оскільки оператор  входить співмножником в твори, що містять в собі лише один-єдиний істинний скаляр або вектор; оскільки твори ці можна перетворити за звичайними правилами векторної алгебри. Однак, якщо в твір входять два або кілька справжніх скалярів або векторів, то правила ці стають непридатними і потребують видозмінах. Те ж саме має місце і в звичайному аналізі при символічному множенні алгебраїчних величин на знак диференціала d: Подібно до того як

так і в разі множення твори скалярів або векторів на  операція диференціювання повинна бути виконана над кожним із співмножників окремо. Так, наприклад, при диференціюванні твори двох скалярів або скаляра і вектора одержуємо:

 (??) = ?  ? + ?  ? = grad (??) = ?grad? + ?grad?,

 (?a) = ? ( a) + a(  ?) = div (?a) = ?diva + agrad?, (1.31)

[  (?a)] = ? [ a] + [(  ?)a] = Rot (?a) = ?rota + [Grad? a].

У справедливості цих співвідношень можна переконатися безпосереднім обчисленням. Дещо складніше йде справа при скалярному диференціюванні твори двох векторів. Звернемося, перш за все, до вираження [ab] = Div [ab].

Для звичайних векторів справедливі співвідношення

с [ab] = b [са] = - а [сb].

При заміні вектора диференціальним оператором  можна припустити, що [аb] Має бути прирівняне до суми виразів

b[ a] І -a[ b],

бо в звичайному аналізі похідна від твору дорівнює сумі двох членів, в кожному з яких диференціювання піддається лише один із співмножників. Дійсно, безпосереднім обчисленням можна переконатися, що

[ab] = b[ a] - a[ b] = Div [ab] = brota - arotb.

Як відомо, при обчисленні твори с(аb) Трьох векторів необхідно виконати скалярне множення векторів а и b перш множення їх на с. Відповідно до цього і вираз

(ab) = Grad (ab)

не може бути представлено у вигляді суми двох членів, в кожному з яких диференціюється лише один із співмножників. Можна показати далі, що такого роду перетворення неможливо також і по відношенню до вираження

[ [ab]] = Rot [ab].

Обидва ці вирази можуть бути, однак, представлені у вигляді суми чотирьох членів, в кожному з яких діффенцірованію піддається лише один з векторів а и b. Відповідні формули мають вигляд:

grad (ab) = (b )a + (a )b + [brota] + [arotb], (1.32)

rot [ab] = (b )a - (a )b + adivb - bdiva. (1.33)

В. Н. ГОРЄЛОВ



Похідні від творів. | Горєлов В. Н., Кіча Е. К., Кокорєв І. А.

ВСТУП | Початкові дані | Початкові дані | Початкові дані | Початкові дані | Початкові дані | Початкові дані | Початкові дані | Початкові дані | Початкові дані |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати