Головна |
Вище ми познайомилися з низкою диференційних операцій над векторами і скалярами: освіта градієнта скаляра (1.6), дивергенції вектора (1.14), ротора вектора (1.23) і т. Д. При застосуванні векторного аналізу доводиться зустрічатися ще з цілим рядом інших диференціальних виразів.
Оперування цими виразами може бути спрощено і укладено в просту і струнку схему введенням в розгляд символічного диференціального оператора Гамільтона. Цей оператор Набла позначається знаком і в декартовій системі координат він має вигляд:
(1.24)
де i, j, и k - Одиничні вектори по осях х, у, z. Іншими словами, є векторний оператор.
Цей векторний оператор відповідає в векторному аналізі знаку похідної звичайного аналізу. Подібно до того, як в звичайному аналізі диференціал функції можна вважати твором оператора диференціювання d на диференційовану функцію, так шляхом множення скалярів і векторів, що є функціями точки, на оператор ми отримуємо просторові похідні цих величин.
Так, наприклад, твір скаляр ? потрібно, очевидно, покласти рівним
Стало бути, згідно (1.6),
(1.25)
Таким чином, дійсно може бути названа просторової похідної від ?, бо вектор grad? цілком характеризує зміни, які відчувають скаляром ? при переміщенні «точки спостереження»
Мал. 1.8. Площина зміни потенціалу.
(Т. Е. При зміні координат х, у, z). Подібно до цього, і інші вирази, що включають в себе оператор , Теж характеризують собою ті чи інші співвідношення між значеннями скалярних і векторних функцій в суміжних точках простору.
З відомими обмеженнями, про які буде сказано нижче, можна утворювати твори з іншими векторами і скалярами так, як якщо б був справжнім, а не символічним вектором. Як і при використанні диференціала, при цьому передбачається, що оператор «Діє» лише на ті величини, які стоять вправо від нього.
Так, наприклад, скалярний твір символічного вектора з довільним вектором а, одно:
Крім скалярного твори символічного вектора на вектор а, Можна утворити і векторний добуток цих векторів, яке, як легко бачити, є ротор вектора а:
[ ?a] = = rota (1.26)
Так, наприклад, компонента вектора [ ] По осі x дорівнює
[ ]x=
застосування оператора вельми спрощує знаходження друге і старших похідних від скалярних і векторних величин. Так, наприклад, квадрат вектора дорівнює:
Тому, розкриваючи зміст твору ( ?) за правилами векторної алгебри:
b (b?) = b2?,
отримаємо
div grad ? = (1.27)
У справедливості цієї рівності можна переконатися безпосереднім обчисленням за допомогою формул (1.5) і (1.11):
div grad ? =
Зовсім інший сенс має вираз grad div а:
grad div a =
Воно зовсім не дорівнює , Подібно до того як при оперуванні зі звичайними векторами
b(ba) ? b2a.
вираз же має, очевидно, наступний сенс:
(1.28)
т. е. є вектор, що складають якого, наприклад, по осі х дорівнює:
(1.29)
Звичайно, и a не можна змішувати з ( )2 і ( а)2; так наприклад,
Відомі формули векторної алгебри
[b(b?)] = 0, b[ba] = 0, [b[ba]] = b(ba) - (bb)a,
залишаються справедливими і при заміні вектора b символічним вектором (При будь-яких а і ?):
[ ( ?)] = [ grad?] = rot grad? = 0,
[ a] = rota = Div rota = 0, (1.30)
[ [ a]] = ( a) + 2a, Або rot rota = Grad diva - 2a.
У справедливості цих співвідношень легко переконатися безпосереднім обчисленням в декартових координатах. Так наприклад,
div rota = Отже, оскільки оператор входить співмножником в твори, що містять в собі лише один-єдиний істинний скаляр або вектор; оскільки твори ці можна перетворити за звичайними правилами векторної алгебри. Однак, якщо в твір входять два або кілька справжніх скалярів або векторів, то правила ці стають непридатними і потребують видозмінах. Те ж саме має місце і в звичайному аналізі при символічному множенні алгебраїчних величин на знак диференціала d: Подібно до того як
так і в разі множення твори скалярів або векторів на операція диференціювання повинна бути виконана над кожним із співмножників окремо. Так, наприклад, при диференціюванні твори двох скалярів або скаляра і вектора одержуємо:
(??) = ? ? + ? ? = grad (??) = ?grad? + ?grad?,
(?a) = ? ( a) + a( ?) = div (?a) = ?diva + agrad?, (1.31)
[ (?a)] = ? [ a] + [( ?)a] = Rot (?a) = ?rota + [Grad? a].
У справедливості цих співвідношень можна переконатися безпосереднім обчисленням. Дещо складніше йде справа при скалярному диференціюванні твори двох векторів. Звернемося, перш за все, до вираження [ab] = Div [ab].
Для звичайних векторів справедливі співвідношення
с [ab] = b [са] = - а [сb].
При заміні вектора диференціальним оператором можна припустити, що [аb] Має бути прирівняне до суми виразів
b[ a] І -a[ b],
бо в звичайному аналізі похідна від твору дорівнює сумі двох членів, в кожному з яких диференціювання піддається лише один із співмножників. Дійсно, безпосереднім обчисленням можна переконатися, що
[ab] = b[ a] - a[ b] = Div [ab] = brota - arotb.
Як відомо, при обчисленні твори с(аb) Трьох векторів необхідно виконати скалярне множення векторів а и b перш множення їх на с. Відповідно до цього і вираз
(ab) = Grad (ab)
не може бути представлено у вигляді суми двох членів, в кожному з яких диференціюється лише один із співмножників. Можна показати далі, що такого роду перетворення неможливо також і по відношенню до вираження
[ [ab]] = Rot [ab].
Обидва ці вирази можуть бути, однак, представлені у вигляді суми чотирьох членів, в кожному з яких діффенцірованію піддається лише один з векторів а и b. Відповідні формули мають вигляд:
grad (ab) = (b )a + (a )b + [brota] + [arotb], (1.32)
rot [ab] = (b )a - (a )b + adivb - bdiva. (1.33)
Циркуляція вектора. Ротор вектора. Теорема Стокса. | В. н. горіла
I. Основні поняття математичної теорії ПОЛЯ | векторна алгебра | Векторні і скалярні поля. градієнт | Потік вектора через поверхню. | Теорема Гаусса. Дивергенція. |