Головна

нерівності

  1.  Виникнення держави пов'язане з певним етапом розвитку суспільства, з появою нерівності, приватної власності і класів.
  2.  Вимірювання нерівності
  3.  Нерівності Маркова та Чебишева
  4.  Нерівності Маркова та Чебишева в умовах схеми Бернуллі
  5.  Природні і культурні основи нерівності та влади
  6.  Природні і культурні основи нерівності та влади

1. Властивості нерівностей:

а) при множенні або діленні нерівності на позитивне число

сенс нерівності не змінюється;

б) при множенні або діленні нерівності на негативне число

сенс нерівності змінюється на протилежний;

в) додаток або віднімання одного і того ж числа до кожної частини

нерівності не змінює сенсу нерівності;

г) заміна ділення множенням при нульовій правій частині:

якщо  , То A • B <0;

якщо  , То A • B> 0;

2. Квадратні нерівності a • x2 + B • x + c <0 або> 0 при a> 0.

а) D = b2 - 4 • a • c> 0;

xм , xб - Коріння квадратного тричлена a • x2 + B • x + c = 0;

якщо a • x2 + B • x + c <0, то одне рішення: xм б;

якщо a • x2 + B • x + c> 0, то два рішення: x м і x> xб;

б) D = b2 - 4 • a • c <0;

немає коренів;

якщо a • x2 + B • x + c <0, то немає рішення, тобто x  O;

якщо a • x2 + B • x + c> 0, то рішення: -?

3. Логарифмування нерівностей

якщо M

при a> 1 logaM aN; (Сенс нерівності не змінюється)

при 0 aM> logaN; (Сенс нерівності змінюється

на протилежний)

4. Потенцирование нерівностей (позбавлення від логарифмів)

якщо logaM aN, то

при a> 1 0  

при 0 N> 0; (Сенс нерівності змінюється

на протилежний)

5. Показові нерівності

якщо aM N, То (обов'язково a = Const;)

при a> 1 M

при 0 ??N (сенс нерівності змінюється

на протилежний)

6. Модулі

якщо ¦A¦ <5, то -5

якщо ¦A¦> 7, то A> 7 або A <-7;

якщо ¦A¦> -3, то -?

якщо ¦A¦ <-2, то нерівність не має сенсу, тобто A  O;

= ;

= ;

7. Зведення в квадрат можливо тільки тоді, коли обидві частини

нерівності позитивні.

8. Піднесення до куб можливо завжди.

9. Графік квадратного тричлена:

парабола y = a • x2 + B • x + c;

вершина параболи: точка A (x0 , y0)

x0 = -

y0 = A • x  + B • x  + C; (Підставляємо x0 в рівняння параболи)

напрямок гілок параболи:

при a> 0 вгору;

при a <0 вниз;

точка перетину з віссю oy: при x = 0 y = c;

точки перетину з віссю ox: коріння x1 і x2;

10. Графік гіперболи  (Обов'язково повинно бути m ? 0):

вертикальна асимптота: m • x + n = 0; x = -

горизонтальна асимптота: y =

точка перетину з віссю oy: при x = 0 y =  ; (при n ? 0)

якщо зустрічається випадок n = 0, то гіпербола не перетинає вісь oy;

точка перетину з віссю ox: a • x + b = 0; x = -  (при a ? 0)

якщо a = 0, то гіпербола не перетинає вісь ox.

11. Розкладання квадратного тричлена на множники

a • x2 + B • x + c = a • (x - x1) • (x - x2),

де x1 и x2 - Коріння тричлена;

12. Деякі класичні нерівності:

Планиметрия

1. Правильний (рівносторонній) трикутник

2. Рівнобедрений трикутник

a - підстава; b - бічна сторона;

3. Прямокутний трикутник

a і b - катети; c - гіпотенуза;

теорема Піфагора: a2 + b2 = c2;


h2 = M • n; метричні

m a2 = (M + n) • m; співвідношення

a b2 = (M + n) • n; в прямокутному

h n  трикутнику

b

тригонометричні функції гострого кута:

c a

?

b

4. Довільний трикутник

формула Герона

медіана

бісектриса

?

b c

 ? ?

a

теорема синусів:

теорема косинусів: a2 = b2 + c2 - 2 • b • c • cos ?;

теорема тангенсов:

Середня лінія будь-якого трикутника паралельна основі і дорівнює його

половині.

Число діагоналей опуклого n-кутника

5. Точки в довільному трикутнику:

а) центр вписаного кола лежить в точці перетину бісектрис;

б) центр описаного кола лежить в точці перетину серединних

перпендикулярів до сторін;

в) точка перетину медіан відсікає від кожної медіани її третю

частина;

г) висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром

трикутника.

6. Трикутники подібні, якщо в них рівні за два кути.

 7. Властивість бісектриси будь-якого трикутника

? ?

a b

m n

8. Квадрат

A B AB = BC = CD = AD = a;

d AC = d;

a a d = a • ;

D C

9. Кути зі взаємно паралельними або взаємно перпендикулярними

сторонами рівні.

10. Трапеція

середня лінія

площа

11. Паралелограм

площа S = a • h = a • b • sin ?;

Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін.

12. Площа опуклого 4-х кутника дорівнює половині твори його

діагоналей на синус кута між ними:

S =

13. Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 ° • (n-2);

А сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 360 °;

14. Коло

площа S = ? • R2; довжина кола C = 2 • ? • R;

довжина дуги

площа сектора

площа сегмента

15. Пересічні хорди в колі

A AK • KB = CK • KD;

K D

C B

16. Дотична і січна до кола

A B Якщо з однієї точки до кола

проведені дотична і січна, то

C квадрат дотичній дорівнює добутку

січної на її зовнішню частину:

D AB2 = BD • BC;

17. Кут, вписаний в коло, вимірюється половиною дуги, на

яку він спирається.

18. Якщо в 4-х косинець довільної форми вписане коло, то

суми протилежних сторін цього 4-х кутника рівні.

b

a + c = b + d;

a c

d

19. Якщо в коло вписаний 4-х косинець довільної форми, то

суми протилежних кутів цього 4-х кутника рівні і рівні

180 °, тобто  A +  C =  B +  D = 180 °;

Крім того, справедлива теорема Птолемея:

 A В 4-х косинці, вписаному в коло,

 B твір діагоналей одно

 D сумі творів протилежних

C сторін, тобто AC • BD = AB • CD + BC • AD;

20. Дотичні, проведені до кола з однієї точки, рівні.





 Математика |  логарифми |  ступеня |  графіки |  інтеграл |  Вектори і координати |  математичної статистики |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати