Головна

Дійсні числа

  1.  Абсолютна величина (модуль) дійсного числа
  2.  У 2009 році - громадянам, які стали інвалідами внаслідок впливу радіації, а також інвалідам з числа реабілітованих осіб.
  3.  У Росії сумарний коефіцієнт народжуваності опустився нижче критичної позначки (2,1) в 1964-1965 роках, але число народжених стало менше числа померлих тільки в 1992 році.
  4.  Введення в теорію полів. Комплексні числа.
  5.  речові числа
  6.  Відве числа і коефіцієнти форми
  7.  Чи можливо брати до уваги свідчення ІПУ не в тому місяці, в якому він був введений в експлуатацію, а з 1 числа наступного місяця?

Ліцензія № 0243 від 20.01.99 р

Підписано до друку. . 2001 Формат 60'84 1/16

Папір газетний. Друк RISO. ум. печ. л.

4 уч.- вид. л. Тираж 100 прим. Замовлення «С»

Видавництво Казанського математичного товариства

420008, Казань, Університетська, 17 - 319

[В 1]

[В 2]

[У 3]

[В 4]

[В 5]

[О 6]

Введення в математичний аналіз

Математичний аналіз (аналіз нескінченно малих) вивчає функції і їх узагальнення методом нескінченно малих величин.

У природі і техніці всюди спостерігаються руху і процеси, які є проявом взаємодії між фізичними тілами або середовищами. Математичною моделлю рухів (тобто змінних величин) є функції, які виражають зміни одних величин зі зміною інших. Звідси випливає важливість математичного аналізу в прикладній математиці.

Основними розділами математичного аналізу є: диференціальне та інтегральне числення.

Дійсні числа

Поняття дійсних чисел було розглянуто раннє в розділі «Узагальнення поняття величини».

Сукупність раціональних і ірраціональних чисел утворює безліч дійсних чисел.

 Ірраціональні числа представляються нескінченної неперіодичної десятковим дробом. Наприклад, числа  = 1,414213 ..., ? = 3,141592 ..., е = 2,718281 ... - є ірраціональними числами.

У той час, як раціональні числа, тобто числа виду  представляються нескінченного періодичного десятковим дробом. Наприклад, 2 = 2, (0) = 1, (9), 1/3 = 0, (3), 13/7 = 1, (857142).

Безліч дійсних чисел або числова пряма позначаються як R = {r}. Відзначимо деякі властивості цього нескінченного безлічі чисел.

Насамперед, R всюди щільно і утворює числовий континуум. числова пряма R«Подібна» геометричній прямій, тобто між числами з Rі точками на прямій можна встановити взаємно однозначну відповідність із збереженням упорядкованості. Найважливішим властивістю числової прямої є її безперервність. Саме ця безперервність лежить в основі математичного аналізу і становить основу теорії меж.

Відзначимо також і іншу особливість числового безлічі R, Яка взагалі характерна для багатьох нескінченних множин. Розглянемо поняття потужності нескінченної кількості Rце поняття еквівалентне поняттю кількості членів кінцевого безлічі. Потужності нескінченних множин можуть бути різними, наприклад, безлічі натуральних чисел N, Яке є підмножиною дійсних чисел (N R) Має потужність рахункового безлічі, в той час як Rмає потужність континуальної множини. Покажемо, що потужність числового відрізка від нуля до одиниці має таку ж потужність, як і вся напівнескінченної числова пряма (від нуля до плюс нескінченність), тобто частина за потужністю дорівнює цілому. Проведемо такі міркування. Виділимо на полубесконечной числової осі одиничний інтервал. Поставимо у взаимнооднозначное відповідність точки одиничного відрізка ОА з точками полубесконечной прямий, в такий спосіб (див рис 4.1):

Рис.4.1.

· З початкової точки О піввісь Ox побудуємо одиничний інтервал OA під деяким кутом ? до півосі;

· Проведемо перпендикуляр до числової осі з точки О;

· З кінця А одиничного відрізка OA проводиться лінія паралельна числовій осі;

· Точку перетину даної лінії з перпендикуляром позначимо як S і назвемо її проектором;

· Проводиться промінь (довільним чином) з проектора S на числову піввісь. Він перетинає одиничний інтервал в точці М1 , А піввісь Ox в точці М.

Таким чином, встановлено взаимнооднозначное відповідність між точками одиничного відрізка ОА і точками піввісь Ох. кожній точці М1 відрізка ОА за допомогою променя проектора відповідає точка М осі х, і навпаки. Точці Про відрізу відповідає точка О осі, а точка А відрізка відповідає нескінченно віддалена точка осі. Тобто потужність числового безлічі піввісь дорівнює потужності числового підмножини одиничного відрізка.

Ці дві властивості безлічі дійсних чисел (властивість безперервності і властивість континуальности) дозволяють в подальшому проводити математичний аналіз безперервних змінних величин на будь-якому проміжку.

Зауважимо, що кінцевий числової відрізок  еквівалентний по потужності одиничного відрізку, якщо зробити заміну змінної , .

Розглянемо далі деякі, часто використовувані, числові множини.




 числові послідовності |  функціональна залежність |  Характеристики поведінки функції |  Зворотній функція |  складна функція |  Основні елементарні функції |  межа функції |  Нескінченно малі функції та їх властивості |  Нескінченно малими. |  Основні теореми про границі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати