Головна

А. Я. Живий

Позначимо визначник матриці буквою d , А визначники матриць, отриманих з А заміною k - Го стовпця стовпцем правих частин  через dk .

теорема(Правило Крамера). Якщо визначник матриці системи  , То система імеетедінственное рішення, яке може бути отримано за формулами:

{  - Аналогічно. Единственность - від противного.}

§10.Критерій спільності СЛАР. Теорема Кронекера - Капеллі.

Повернемося до загальних СЛАР  . Введемо ще одне поняття.

Визначення.Матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих і шпальти правих частин, називається розширеної матрицею системи: .

теорема(Кронекера - Капеллі). СЛАР сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці дорівнює рангу вихідної матриці системи, т. Е .

{1. Система сумісна. Права частина є лінійна комбінація стовпців матриці, коефіцієнти якої рівні координатами вектора рішення. Т. Є. .

2.  . Отже, в якості базисного мінору розширеної матриці можна взяти базисний мінор матриці А. По теоремі про базисному мінорі (§4) праві частини рівні лінійної комбінації базисних стовпців матриці. В якості вирішення можна взяти коефіцієнти цієї лінійної комбінації.}

§11.Загальне рішення СЛАР.

Визначення.Безліч рішень системи лінійних алгебраїчних рівнянь

називається спільним рішенням цієї системи. Т. Є. будь-який вектор цього безлічі є рішення і будь-яке рішення цієї системи належить вказаному безлічі.

З §8 слід, що спільним рішенням однорідної системи є деякий підпростір простору  . Для неоднорідної системи це не так: спільне рішення неоднорідною системина утворює лінійного простору.

{Нульовий вектор (0,0, ..., 0) не є рішенням вихідної системи.}

Отже, дана спільна система  , Матриця якої має ранг рівний r. Для простоти будемо вважати, що базисний мінор матриці знаходиться в лівому верхньому кутку (цього завжди можна домогтися перестановкою рядків і зміною нумерації невідомих). залишимо перші r рівнянь системи і перенесемо невідомі  в праву частину. Якщо тепер дати цим невідомим довільні фіксовані значення, то по Т. Крамера отримана система матиме єдине рішення (визначник системи = базисного мінору ? 0). Це рішення (разом з  ) Є рішенням вихідної системи, так як всі рядки розширеній матриці (за критерієм Кр. - К.) є лінійні комбінації базисних.

Можна показати, що будь рішення може бути отримано таким же чином. досить взяти  із запропонованого рішення і перші невідомі визначаться однозначно по теоремі Крамера. Тим самим, вказаний метод дозволяє отримати спільне рішення системи.

У загальному випадку базисного мінору будемо називати невідомі, що не входять в базисний мінор, вільними, А, що входять до нього - залежними.

На практиці матрицю системи спочатку призводять до ступінчастого вигляду, потім вибирають базисний мінор та, таким чином, залежні і вільні невідомі. При цьому, бажано все перетворення виробляти тільки з рядками, щоб зберегти нумерацію невідомих. Після цього залежні змінні виражають через вільні і записують загальне рішення.

Розглянемо на прикладі даний алгоритм і зробимо кілька загальних висновків.

нехай .

 Остання формула, взагалі кажучи, дає загальне рішення даної системи при довільних значеннях с3 и с4 . Більш зручною є векторна форма запису:

.

З цього прикладу можна вивести кілька важливих загальних закономірностей.

I. Ранг системи рішень (S(x)) Дорівнює числу вільних невідомих, т. Е rang (S(x)) = n - r, де

n - Кількість невідомих, а r - Ранг матриці системи (В прикладі: n = 4, r = 2, rang (S) = 2).

Зазвичай, вільні невідомі для кожного з рішень вибираються в такий спосіб

(Для простоти будемо вважати  залежними, а  - Вільними):

для вирішення

для вирішення

... ...

для вирішення

Легко бачити, що отримані рішення 1) лінійно незалежні і 2) будь-яке рішення системи буде їх лінійною комбінацією.

II. вектор  є приватним рішенням неоднорідної системи при с3 = с4 = 0, а вектори  лінійно незалежними розв'язками відповідної однорідної системи рівнянь. Сукупність лінійних комбінацій векторів

описує всю лінійну оболонку рішень однорідної системи, т. е. - загальне решеніеоднородной системи рівнянь.

III. Загальне рішення неоднорідної системи дорівнює сумі загального рішення однорідної системи

і приватного рішення неоднорідної:

А. Я. Живий




 Незрозумілий людина |  перший кіннотник |  глава четверта |  глава п'ята |  глава шоста |  глава сьома |  Велика вода |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати