На головну

Властивості арифметичних операцій для транспонованих матриць.

  1.  A) З однаковою кількістю команд, однаковими длительностями микроопераций і змінним положенням початку «бульбашки» в конвеєрі.
  2.  III. Загальні хімічні властивості металів
  3.  V. Хімічні властивості деяких сполук неметалів
  4.  VII. Хімічні властивості алюмінію
  5.  АДАПТИВНІ властивості ЮНОЗІМОВ
  6.  Аксіоматичні теорії. Визначення та властивості обчислення висловлювань.
  7.  Алгоритм і його властивості

1)  . 2)  . 3)  . {Зліва - рядки А на стовпці В і транспонування. Праворуч - стовпці В на рядки А , Т. Е. Вже транспонована.}

§3.Визначник квадратної матриці і його властивості.

Однією з найважливіших характеристик квадратних матриць є її визначник або детермінант:  . Дамо рекуррентное визначення цього поняття.

1) Визначник другого порядку дорівнює:

2) Визначник третього порядку обчислюється за формулою

Таким чином, обчислення визначника третього порядку звелося до обчислення трьох визначників другого порядку. Кожен з них виходить викреслюванням рядка і стовпчика, які містять елемент, що стоїть перед цим визначником. Знаки перед складовими обчислюються за формулою  , де i и j - Індекси цього елемента. Дана формула називається розкладанням визначника по першому рядку. Визначник четвертого порядку виражається у цій же правилом через визначники третього порядку і так далі.

Затвердження. Визначник може бути розкладений по будь-якому рядку або стовпцю {б / д}.

Перерахуємо без доведення основні властивості визначників.

  1. Стовпці і рядки визначника рівноправні. слідство:
  2. Визначник, що містить нульовий рядок (стовпець), дорівнює нулю.
  3. Постійний співмножник будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
  4. Якщо до будь-якому рядку (стовпцю) визначника додати будь-яку іншу рядок (стовпець), помножену на довільне число, то визначник не зміниться.
  5. Якщо один з рядків (стовпців) лінійно виражається через інші, то визначник

дорівнює нулю.

  1. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак.
  2. det (E) = 1.
  3.  (Визначник добутку дорівнює добутку визначників)
  4. Визначник діагональної і трикутних матриць дорівнює добутку діагональних елементів.

Визначення.Матриця, визначник якої дорівнює нулю, називається вироджених.

§4.Мінори і ранг матриці.

Розглянемо матрицю  . виберемо k довільних рядків і k довільних стовпців цієї матриці (  ).

Визначення 1.мінором k - Го порядку матриці А (позначається Мk) Називається визначник, складений з елементів, що стоять на перетині вибраних k рядків і стовпців матриці А.

Визначення 2. Рангом матриці А (Rang (A)) Називається максимальний порядок мінору, відмінного від нуля. Т. е., Rang (A) = r, Якщо 1)  , 2)  Будь-мінор,

має порядок r, називається базисним мінор матриці А. (З визначення відразу випливає, що )

Рядки і стовпці матриці А, На яких будується базисний мінор, так само називаються базисними.

Має місце дуже важливе твердження:

Теорема про базисному мінорі. Будь-яка рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців). {Б / д}

будь-яку матрицю  можна розглядати як впорядковану систему з m n - Мірних або n m - Мірних векторів. Теорема про базисному мінорі дозволяє довести наступну фундаментальну теорему:

Теорема 1. Ранг матриці дорівнює рангу системи векторів, що складають цю матрицю.

{Для визначеності розглянемо систему рядків матриці (S). виберемо довільний

базисний мінор Mr . За попередньою теоремою будь-який рядок матриці, яка не належить

базисним, лінійно виражається через базисні. Отже, її можна виключити з

системи не змінивши ранг самої системи (Введення, §4,Т.1). Звідси отримуємо, що

rang (S) ? r. Але, якщо ранг буде строго менше r, То одна з рядків базисного мінору буде лінійною комбінацією інших і Mr = 0 (§3, св.5), що суперечить умові. Таким чином - rang (S) = Rang (A)}

наслідком Т.1для квадратних матриць є узагальнення властивості 5 §3:

Теорема 2.Визначник матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) лінійно залежні.

{необхідність. Нехай det (An) = 0 r  одна з рядків - лінійна комбінація інших  рядки лінійно залежні.

достатність. Рядки лінійно залежні  одна з рядків - лінійна комбінація інших. По властивості 5§3 det (An) = 0 (Віднімемо цю лінійну комбінацію з розглянутої рядки і отримаємо визначник з нульовою рядком)}

§5.Обчислення рангу матриці.

Для обчислення рангу матриці використовується два методи.

I. Метод оздоблюють мінорів.

Визначення 1.оздоблюють минорами деякого фіксованого мінору називаються всі мінори, отримані додаванням до нього додаткового стовпчика і додаткового рядка даної матриці (  ).

Метод полягає в знаходженні довільного відмінного від нуля мінору і обчислення всіх мінорів, його оздоблюють. Якщо всі ці мінори дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює рангу вихідного мінору. В іншому випадку операція повторюється. Обгрунтуванням методу служить

Теорема 1.rang (A) = r, якщо  {Б / д}

II. Метод елементарних перетворень.

Визначення 2.елементарними перетвореннями називаються такі:

1. Перестановка двох рядків (стовпців).

2. Множення рядка (стовпчика) на число, відмінне від нуля.

3. Додаток до одного рядка (колонки) інший рядки (шпальти), помноженою на число.

Теорема 2. елементарні перетворення не змінюють ранг матриці.

{При зазначених перетвореннях будь мінор матриці (як звичайний визначник) може змінити своє значення тільки в такий спосіб: }

Визначення 3.матриця В, Отримана з А елементарними перетвореннями, називається

еквівалентної А (  ).

Визначення 4.Перший ненульовий елемент рядка будемо називати зазначеним.

Визначення 5.матриця називається ступінчастою, Есліотмеченнийелемент кожного рядка

розташований правіше отмеченногоелемента попередньої.

Теорема 3.Будь-яка матриця приводиться до ступінчастого вигляду елементарними перетвореннями.

{Доказ носить конструктивний характер і буде продемонстровано на прикладі}

приклад. Привести матрицю до ступінчастого вигляду.

(В рамках -отмеченние елементи матриці) Алгоритм може бути застосований до будь-якої матриці.

Теорема 4. Ранг ступінчастою матриці дорівнює числу її ненульових рядків.

{Знову продемонструємо на тому ж прикладі: rang (A) = 3; в якості базисного мінору візьмемо

мінор, складений з рядків 1,2,3 і стовпців 1,2,4: }

§6.зворотна матриця.

для квадратної матриці важливу роль відіграє поняття зворотної матриці.

Визначення 1.матрицею, зворотної матриці А (позначається  ), Називаетсяматріца, яка задовольнить умові: .

Теорема 1. Зворотній матриця (якщо вона існує) - єдина.

{Нехай у матриці А є 2 зворотних: В и С. Розглянемо твір ВАС:

ВАС = (ВА)С = ЄС = С. З іншого боку ВАС = В(АС) = ВЕ = В. Звідси В = С}

Для обчислення зворотної матриці необхідно ввести ще кілька понять.

Легко помітити, що мінор (n - 1) - го порядку у квадратної матриці Аn можна визначати, не ставлячи рядки і стовпці, а, вказавши один елемент  , викреслити i-у рядок і j-ий стовпець, на перетині яких він знаходиться. Тому мінор Мп1 матриці Ап зазвичай позначають .

Визначення 2.алгебраїчним доповненням елемента  називається величина .

З визначення детермінанта матриці An відразу випливає, що визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цього рядка (стовпця):  ................................................. ( *)

З іншого боку,  ................ (* *)

Т. е. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю. {Фактично, ми отримуємо визначник з двома однаковими рядками (стовпцями)}

Визначення 3. Транспонована матриця з алгебраїчних доповнень називається приєднаної матрицею: .

Теорема 2.

{При множенні k -ої рядки А на k - Перший стовпець  виходить det (A) (*), при множенні на будь-який інший стовпець  виходить нуль (* *)}

Слідство.

приклад. Знайти обернену матрицю для  . {

 . (Перевірка)}

зауваження. 1. Корисно запам'ятати, що зворотна матриця другого порядку виходить з вихідної наступним чином: елементи головної діагоналі міняються місцями, у елементів другої діагоналі змінюється знак. Отримана матриця ділиться на визначник.

2. Зворотній матриця може бути отримана за допомогою елементарних перетворень. Для цього складається матриця  і ліва частина елементарними перетвореннями приводиться до одиничної. При цьому матриця Е перетвориться в зворотну {б / д}. Останній приклад:

; .

Властивості оберненої матриці.

1. {  (Св.7,8 §3) }

2.

3.  {Із визначення  випливає, що А и ? взаємно зворотні матриці.}

На закінчення доведемо критерій існування зворотної матриці:

Теорема 3.зворотна матриця  існує тоді і тільки тоді, коли А ? невироджена матриця, т. е.

{1. нехай  існує. Т. к. Вона дорівнює приєднаної матриці, поділеній на визначник, то останній не дорівнює нулю. 2. Нехай  За Сл. т.2 зворотну матрицю можна обчислити.}

§7.Рішення матричних рівнянь.

Використання зворотних матриць дозволяє вирішувати прості матричні рівняння щодо квадратних матриць. Розглянемо приклад однієї з таких задач. Вирішити рівняння AXB + C = D, де  - Невідома матриця.

матриця Х дорівнює:  Користуючись зауваженням 1 попереднього параграфа, маємо:

зауваження. Так як множення матриці не коммутативно, необхідно уважно стежити за тим, з якого боку слід множити праву частину на зворотні матриці.

§8. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

Визначення 1. Система рівнянь  називається системою m

лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (скорочено СЛАР).

Такий запис рівнянь зветься координатної форми запису.

Компактнішою записом є матрична форма. Неважко бачити, що ліва частина системи являє собою вектор, отриманий множенням матриці системи  на вектор

невідомих . У правій частині виходить вектор правих частин (Обидва вектори - стовпці). Використання цієї закономірності дозволяє записувати системи в більш компактному вигляді:

? матрична форма запису. У разі невироджених квадратної матриці рішення

системи може бути записано у вигляді

Розглянемо ще кілька загальних понять, що відносяться до СЛАР.

Визначення 2. СЛАР називається спільної, Якщо у неї існує хоча б одне рішення.

Якщо рішень не існує, система називається несумісною.

Визначення 3. СЛАР, вектор правих частин якої дорівнює нулю: = 0, називається

однорідної. В іншому випадку система називається неоднорідною.

Для однорідних СЛАР мають місце кілька загальних тверджень.

Теорема 1.Однорідна СЛАР завжди сумісна.

{Нульовий вектор завжди є рішенням однорідної СЛАР}

Теорема 2.Безліч рішень однорідної СЛАР утворює лінійний простір.

{Нехай  - Рішення системи  , Т. Е. Їх лінійна комбінація теж рішення. Виконання аксіом - очевидно.}

зауваження. Простір рішень однорідної СЛАР є, очевидно, подпространством лінійного простору n - Мірних векторів .

§9. Квадратні СЛАР. правило Крамера.

Розглянемо спочатку СЛАР з квадратною матрицею А - Число рівнянь дорівнює числу невідомих:



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати