На головну

визначення 5.2

  1.  I. Визначення термінів і предмет дослідження
  2.  II. Визначення закону руху системи.
  3.  V. Визначення ціни і обсягу виробництва в умовах монополії.
  4.  А) Визначення сторін горизонту за Сонцем
  5.  А. Визначення зносу об'єкта нерухомості
  6.  А.1 Визначення освітленості на робочих місцях
  7.  А. К. Михальська. Основи риторики. Визначення сучасної риторики

нехай  - Гільбертовому просторі над полем ,  - Лінійний оператор, який визначений на всьому просторі  або на усюди щільному підпросторі  оператор  називається симетричним на своїй області визначення, якщо

 для будь-яких

Наведемо приклади симетричних операторів:

1. Розглянемо оператор в конечномернм просторі де  матриця розміру  Він симетричний, якщо матриця  симетрична.

2. Розглянемо інтегральний оператор Фредгольма  Він симетричний, якщо його ядро ??симетрично, т. Е

3. Розглянемо диференційний оператор

визначений на підпросторі  Двічі застосовуючи інтегрування по частинах, доведемо, що лінійний оператор  симетричний на своїй області визначення:

для будь-яких

4. Розглянемо диференційний оператор

визначений на підпросторі  Як і в попередньому прикладі, доведемо його симетричність за допомогою інтегрування частинами:

Теорема 5.3 (про спектральному розкладанні симетричного оператора)

нехай  - Гільбертовому просторі над полем ,  - Симетричний лінійний оператор. Тоді його власні елементи (вектора, функції), які відповідають різним власним значенням, ортогональні один одному.

Зокрема, власні вектора симетричного оператора можуть утворювати ортонормованій базис в просторі  Наприклад, власні вектора оператора з прикладу 3 (див. Вище) утворюють повну тригонометричну систему функцій в просторі  а власні вектора з прикладу 4 утворюють повну систему ортогональних поліномів Лежандра.

Чому ця теорема називається теоремою про спектральному розкладанні симетричного оператора? Причина в наступному. Припустимо, що  - Ортонормованій базис в просторі и  - Власна функція оператора  , Відповідна власному числу  т. е  Тоді будь-яку функцію  можна розкласти в ряд Фур'є  і дія оператора  теж представляється у вигляді ряду:

 (5.1)

Розкладання (5.1) і називається спектральним розкладанням симетричного оператора. Воно сильно спрощує життя при вирішенні операційного рівняння

 (5.2)

нехай  - Розкладання в ряд Фур'є правій частині рівняння (5.2), яка відома, отже коефіцієнти  теж відомі. шукаємо рішення  рівняння (5.2) у вигляді ряду  з невідомими коефіцієнтами  Підставляємо ці розкладання в рівняння (5.2). Завдяки співвідношенню (5.1) виходить наступне рівність:

Прирівнюючи множники при однойменних  Висловлюючи звідси шукані коефіцієнти

Таким чином, рівняння (5.2) може бути досить складним в залежності від оператора  але вирішується дуже просто, якщо оператор  симетричний і його власні функції утворюють базис в просторі

Параграф 6. Лінійний функціонал, поєднане простір

 




 Розділ III. Теорія лінійних операторів і функціоналів |  визначення 1.1 |  Приклади лінійних операторів і нелінійних |  визначення 1.2 |  визначення 3.1 |  визначення 4.1 |  визначення 4.2 |  Завдання на побудову лівого і правого зворотного оператора |  Коректна розв'язність операторних рівнянь |  визначення 5.1 |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати