Головна

Коректна розв'язність операторних рівнянь

  1.  Обчислювальні схеми рішення сіткових рівнянь.
  2.  Геометричний сенс рішень нерівностей, рівнянь і їх систем
  3.  Глава 1. Теорія матриць і системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).
  4.  Глава 4. Рішення рівнянь і нерівностей
  5.  Рухи механізму за допомогою рівнянь Лагранжа 2-го роду.
  6.  диференціальних рівнянь
  7.  Завдання 3 (11). Вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Багато задач прикладної математики записуються у вигляді операторних рівнянь

 (4.1)

де  - Відомий лінійний обмежений оператор, біекція,  - Відома функція,  - Шукана функція.

З биективное оператора  слід существоаніе зворотного оператора  а це значить, що існує єдине рішення рівняння (4.1), яке виражається формулою

У прикладних задачах буває так, що функція  отримана в результаті якогось експерименту і тому є тільки її наближене значення:  Таким чином, замість рівняння (4.1) реально вирішується рівняння

 (4.2)

Якщо, не дивлячись на  Рішення  рівняння (4.2) сильно відрізняється від рішення  рівняння (4.1), то це погано, тому що це означає, що праву частину рівняння (4.1) не можна замінити на наближене значення: не можна апроксимувати простішими функціями, не можна задати значеннями в кількох вузлових точках і т.д .. Тому природна вимога до рівняння (4.1) полягає тому, що з  має слідувати  Це означає, що необхідно вимагати безперервність оператора

Кажуть, що операторний рівняння (4.1) коректно вирішується, Якщо лінійний оператор  безперервно звернемо, тобто існує зворотний оператор  і він безперервний (= обмежений).

Наведемо без доведення дві теореми про безперервну оборотності лінійного оператора.

Теорема 4.3 (Банаха)

нехай  - Банахови простору,  - Лінійний обмежений оператор, біекція. тоді оператор  безперервно звернемо.

Теорема 4.4 (про безперервну оборотності оператора, близького до тотожному)

нехай  - Банахів простір,  - Лінійний обмежений оператор,  Тоді лінійний оператор  безперервно звернемо і

Параграф 5. Спектр лінійного оператора

 




 Розділ III. Теорія лінійних операторів і функціоналів |  визначення 1.1 |  Приклади лінійних операторів і нелінійних |  визначення 1.2 |  визначення 3.1 |  визначення 4.1 |  визначення 4.2 |  теорема 5.2 |  види спектра |  визначення 5.2 |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати