На головну

ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

  1.  III.2.9. Динаміка чисельності та сучасна демографічна ситуація в Росії
  2.  IV. а) У правій колонці замініть точки відповідними прикметниками в жіночому роді.
  3.  IV. а) У правій колонці замініть точки відповідними прикметниками в чоловічому роді.
  4.  XIV. СТРУКТУРА І ДИНАМІКА самості
  5.  Автоматична зміна точки актуальності підсумків
  6.  Аксіоми динаміки точки.
  7.  Аналіз деяких популярних ОС з точки зору їх захищеності.

Над опорою ( )

s - розтягувальне напруга, рівне для ненапрягаемой арматури напрузі ss в найбільш розтягнутих (крайніх) стержнях;

Е - модуль пружності відповідно для ненапрягаемой Es;

y - коефіцієнт розкриття тріщин, який визначається в залежності від радіуса армування і приймається за п. 3.109;

Dсr - Граничне значення розрахункової ширини розкриття тріщин.

Визначаємо всі ці значення:

u Розтягуюче напруга:

 , де

 - Плече внутрішньої пари сил з розрахунку на міцність

х - висота стиснутої зони;  - Відстань від центру ваги розтягнутої арматури до нижньої межі.

u Коефіцієнт розкриття тріщин:

 , де  - Радіус армування, який визначається за формулою  , де  - Коефіцієнт, що враховує ступінь зчеплення арматурних елементів з бетоном; n = 10 - число арматурних елементів з однаковим діаметром; d = 1.2 см - діаметр одного стержня;  - Площа зони взаємодії обмежена зовнішнім контуром перерізу і радіусом взаємодії.

Радіус взаємодії:  , Тоді площа зони взаємодії буде

Знаючи всі параметри, визначаємо спочатку  , а потім :

 , тоді

Таким чином, ширина розкриття тріщин буде дорівнює:

 - умова виконується

ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

2.1. Межі застосування КЛАСИЧНОЇ МЕХАНІКИ

В основі класичної або ньютонівської механіки лежать три закони динаміки, сформульовані Ньютоном в 1687году. Ці закони виникли в результаті узагальнення великої кількості досвідчених даних.

Класична механіка розглядає рух тіл великих мас (багато великих мас атомів і молекул) з малими швидкостями (багато меншими швидкості світла с). Маса тіла в класичній механіці вважається постійною величиною, що не залежить від швидкості руху.

Ньютоновская механіка досягла протягом двох століть таких величезних успіхів, що багато фізиків Х1Х століття були переконані в її всемогутності. Вважалося, що пояснити будь-яка фізична явище означає звести його до механічного процесу, що підкоряється законам Ньютона. Однак з розвитком науки виявилися нові факти, які не вкладалися в рамки класичної механіки. Ці факти отримали своє пояснення в нових теоріях - спеціальної теорії відносності та квантової механіки.

У спеціальній теорії відносності (релятивістській механіці) розглядається рух тіл, що рухаються зі швидкостями, близькими до швидкості світла  . Рівняння релятивістської механіки в межі (для швидкостей  ) Переходять в рівняння класичної механіки.

На початку ХХ століття виникла квантова механіка, що вивчає закономірності руху частинок в атомах і молекулах. Для мас, багато великих мас атомів, рівняння квантової механіки переходять в рівняння класичної механіки.

Таким чином, розвиток науки витратило не перекреслило класичну механіку, а лише показало її обмежену придатність.

Динаміка вивчає рух тіл у відповідність з причинами, його викликали, т. Е. Розглядає взаємодію тел. Динаміка вирішує два типи завдань:

- Знаючи закон руху даного тіла, т. Е. Рівняння, що визначають положення тіла в просторі в будь-який момент часу, обчислює сили, під дією яких цей рух відбувається;

- Знаючи сили, що діють на дане тіло або систему тіл, визначає закон руху.

2.2. ПЕРШИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. Системи відліку

Перший закон Ньютона формулюється так: будь-яке тіло знаходиться в стані спокою або рівномірного і прямолінійного руху, поки вплив з боку інших тіл не змусить його змінити цей стан. В обох названих станах прискорення тіла дорівнює нулю, тому швидкість тіла залишається постійною (зокрема, рівною нулю), поки вплив на це тіло з боку інших тіл не викличе її зміни.

Перший закон Ньютона виконується не у всіх системах відліку. Система відліку, в якій цей закон виконується, називається інерціальній. Іншими словами, система відліку називається інерціальній, якщо в цій системі тіло знаходиться в спокої або рухається прямолінійно і рівномірно, коли на нього не діють інші тіла. Рух за відсутності впливу інших тіл називається рухом по інерції, а перший закон Ньютона - законом інерції.

Інерційних систем відліку існує безліч. Будь-яка система відліку, що рухається щодо інерціальній системи прямолінійно і рівномірно, також буде інерційної.

Система відліку, в якій перший закон Ньютона не виконується, називається неінерціальної.

Експериментально встановлено, що система відліку, центр якої суміщений з Сонцем, а осі направлені на відповідним чином вибрані зірки, є інерціальній. Ця система називається геліоцентричної. Систему відліку, пов'язану із Землею, можна вважати інерціальної лише наближено через прискореного руху навколо Сонця і обертання навколо осі.

2.3. МАСА І ІМПУЛЬС ТІЛА

Вплив на дане тіло з боку інших тіл викликає зміна його швидкості, т. Е. Повідомляє даному тілу прискорення. Досвід показує, що однаковий вплив повідомляє різних тіл різний за величиною прискорення. Будь-яке тіло противиться спробам змінити його стан руху. Це властивість тіл називається інертністю. Кількісною характеристикою інертності є маса тіла.

Як показує досвід, маса тіла - величина адитивна. Маса довільної механічної системи дорівнює сумі мас усіх її матеріальних точок.

Щоб визначити масу деякого тіла, потрібно порівняти її з масою тіла, прийнятого за еталон маси.

 Розглянемо дві матеріальні точки (частки) з масами и  відповідно (рис. 2.1). Будемо нехтувати взаємодією цих частинок з іншими тілами. Система тіл, взаємодіючих тільки між собою і не взаємодіють з іншими тілами, називається замкнутою. Якщо змусити ці частинки взаємодіяти (наприклад, за допомогою зіткнення один з одним), їх швидкості отримають збільшення и  . Експериментально доведено, що ці збільшення завжди мають протилежні напрямки, т. Е. Відрізняються знаком, а відношення модулів збільшень дорівнює зворотному відношенню мас розглянутих частинок:

- Більш інертна частка, т. Е. Частка з більшою масою, зазнає менша зміна швидкості. Прийнявши до уваги відносне напрямок векторів и  , З останнього виразу маємо

 . (2.1)

У класичній механіці маса частинки є постійною величиною, що не залежить від її швидкості, тому вираз (2.1) можна переписати у вигляді:  . Твір маси матеріальної точки на її швидкість називається імпульсом

 . (2.2)

У разі протяжного тіла, повний імпульс дорівнює векторній сумі імпульсів всіх його матеріальних точок:

 . (2.3)

На підставі сказаного з виразу (2.2) отримуємо  , або

- Приріст повного імпульсу замкнутої системи матеріальних точок дорівнює нулю, отже, повний імпульс залишається постійним: .

Це закон збереження імпульсу.

2.3. другого закону Ньютона

В якості запобіжного механічної дії одного тіла на інше у фізиці вводиться векторна величина, яка називається силою. Механічне взаємодія може здійснюватися як між безпосередньо контактують тілами (наприклад, при ударі, терті, тиску одного тіла на інше і т. П.), Так і між віддаленими тілами.

Особлива форма матерії, що зв'язує частинки речовини в єдині системи і передає з кінцевою швидкістю дію одних частинок на інші, називається фізичним полем.

 Користуючись поняттям сили, в механіці говорять зазвичай про рух і деформації розглянутого тіла під дією прикладених до нього сил. При цьому кожній силі завжди відповідає якесь певне тіло або поле, що діє з цією силою. сила  повністю задана, якщо вказані її модуль  , Напрямок в просторі і точка прикладання (рис.2.2). Пряма, уздовж якої спрямована сила, називається лінією дії сили.

Експериментально доведено, що механічна дія на тіло  сил  , Які одночасно докладено в одній і тій же точці М тіла, повністю еквівалентна дії однієї сили  , Що дорівнює їх геометричній сумі:  і яка додається в тій же точці М тіла. В абсолютно твердому тілі точку прикладання сили можна переносити вздовж лінії дії сили.

Тіло називається вільним, якщо на його переміщення не накласти ніяких обмежень. Вільне тіло може займати в просторі всілякі положення і рухатися будь-яким способом. Вільними тілами є, наприклад, що летить літак або космічний корабель, що пливе в товщі води підводний човен. У більшості випадків тіла не можна вважати вільними, так як на їх можливі положення і руху накладено ті чи інші обмеження, звані зв'язками. Наприклад, ротори турбін на електростанціях можуть тільки обертатися, трамвай і поїзд можуть переміщатися тільки уздовж рейок, і т. Д.

При вивченні поведінки невільних тел або їх систем в механіці користуються принципом освобождаемості:

невільний тіло або систему тіл можна розглядати як вільне, замінивши дію на нього тіл, які здійснюють зв'язку, відповідними силами. Ці сили називаються реакціями зв'язків, а всі інші сили, що діють на тіло, називаються активними силами.

Другий закон Ньютона формулюється так:

прискорення матеріальної точки пропорційно викликає його силі, збігається з нею за напрямком і обернено пропорційно масі матеріальної точки:

 . (2.4)

З огляду на, що прискорення  , отримуємо

 (2.5)

-швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює діючій на неї силі. У такому формулюванні вираз (2.5) називають основним рівнянням динаміки матеріальної точки.

На підставі узагальнення досвідчених фактів був сформульований важливий принцип ньютонівської механіки, принцип незалежності дії сил:

якщо на матеріальну точку одночасно діє кілька сил, то кожна з них повідомляє цій точці таке ж прискорення, як якщо б інших сил не було.

Таким чином, прискорення  , Що купується матеріальною точкою маси  під дією одночасно прикладених до неї сил  одно

.

тут  - Результуюча сила.

2.4. ТРЕТІЙ ЗАКОН Ньютона

Механічна дія тіл один на одного завжди є їх взаємодією. Якщо тіло 1 діє на тіло 2, то при цьому обов'язково тіло 2 діє на тіло 1. Так, наприклад, на провідні колеса електровоза (рис.2.3) діють з боку рейок сили тертя спокою, спрямовані в бік руху електровоза. Сума цих сил і є сила тяги електровоза. У свою чергу, провідні колеса діють на рейки силами тертя спокою, спрямованими в протилежну сторону.

 Кількісний опис механічної взаємодії було дано Ньютоном в його третьому законі динаміки. Для матеріальних точок цей закон формулюється так:

Дві матеріальні точки діють один на одного з силами, рівними за величиною і спрямованими протилежно по прямій, що з'єднує ці точки (рис.2.4):  . Третій закон справедливий не завжди. Він виконується строго в разі контактних взаємодій, а також при взаємодії знаходяться на деякій відстані один від одного покояться тел.

Перейдемо тепер від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки механічної системи, що складається з  матеріальних точок. для  тої матеріальної точки системи, згідно з другим законом Ньютона (2.5), маємо:

 . (2.6)

тут и  - Маса і швидкість  тої матеріальної точки,  - Сума всіх діючих на неї сил.

Сили, що діють на механічну систему, діляться на зовнішні і внутрішні. Зовнішні сили діють на точки механічної системи з боку інших, зовнішніх тел. Внутрішні сили діють між точками самої системи. тоді силу  в натуральному вираженні (2.6) можна представити у вигляді суми зовнішніх і внутрішніх сил:

 , (2.7)

де  - Результуюча всіх зовнішніх сил, що діють на  -тую точку системи;  -внутрішнє сила, що діє на цю точку з боку  -й. Підставами вираз (2.7) в (2.6):

 , (2.8)

підсумувавши ліві і праві частини рівнянь (2.8), записаних для всіх  матеріальних точок системи, отримуємо

 . (2.9)

За третім законом Ньютона сили взаємодії  -той і  -й точок системи рівні по модулю і протилежні за напрямком .

Тому сума всіх внутрішніх сил в рівнянні (2.9) дорівнює нулю:

 . (2.10)

Векторна сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему,

називається головним вектором зовнішніх сил

 . (2.11)

Помінявши в вираженні (2.9) місцями операції підсумовування і диференціювання і з огляду на результати (2.10) і (2.11), а також визначення імпульсу механічної системи (2.3), отримуємо  . Це основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла.

2.5. Центр мас І ЗАКОН ЙОГО РУХУ

Центром мас (інерції) механічної системи називається точці  , Радіус-вектор якої дорівнює відношенню суми творів мас всіх матеріальних точок системи на їх радіус-вектори до маси всієї системи:

 (2.12)

де и  - Маса і радіус-вектор  тої матеріальної точки,  -загальна кількість цих точок,  - Сумарна маса системи. Якщо радіус вектори проведені з центру мас  , то .

Таким чином, центр мас - це геометрична точка, для якої сума творів мас всіх матеріальних точок, що утворюють механічну систему, на їх радіус-вектори, проведені з цієї точки, дорівнює нулю.

Продифференцировав формулу (2.12) за часом, отримуємо вираз для швидкості центру мас:

Тоді імпульс системи дорівнює добутку її маси на швидкість центру мас:  . Підставивши цей вираз в основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла, маємо:

 (2.13)

- Центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи і на яку діє сила, рівна головному вектору прикладених до системи зовнішніх сил.

Рівняння (2.13) показує, що для зміни швидкості центру мас системи необхідно, щоб на систему діяла зовнішня сила. Внутрішні сили взаємодії частин системи можуть викликати зміни швидкостей цих частин, але не можуть вплинути на сумарний імпульс системи і швидкість її центру мас.

ДЕМОНСТРАЦИЯ 1

Якщо механічна система замкнута, то  і швидкість центру мас не змінюється з плином часу. Таким чином, центр мас замкнутої системи або покоїться, або рухається з постійною швидкістю відносно системи відліку. Це означає, що з центром мас можна зв'язати систему відліку, і ця система буде інерційної.

2.6. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГАЛІЛЕЯ. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛІЛЕЯ

Розглянемо дві системи відліку, що рухаються один щодо одного з постійною швидкістю  . Одну з систем, позначену на рис.2.5 буквою  , Будемо умовно вважати нерухомою. Тоді друга система  рухатиметься прямолінійно і рівномірно. Виберемо координатні осі  системи  і осі  системи  так, щоб осі и  збігалися, а осі и  , а також и  були паралельні один одному.

 Знайдемо зв'язок між координатами  деякої точки  в системі  і координатами  тієї ж точки в системі  . Якщо почати відлік часу з того моменту, коли почала координат обох систем збігалися, то, як випливає з рис.2. 5,

, .

У класичній механіці вважається, що час в обох системах тече однаковим чином,  . Тоді отримуємо сукупність чотирьох рівнянь, які називаються перетвореннями Галілея:

, ,  . (2.14)

Продифференцировав вираження (2.14) за часом, знайдемо зв'язок між швидкостями точки  по відношенню до систем відліку и :

 . (2.15)

У векторній формі  . (2.16)

Формули (2.15) і (2.16) виражають правило додавання швидкостей в класичній механіці. При цьому слід пам'ятати, що вирази (2.15) справедливі лише в разі вибору осей, показаних на рис.2.5. Вираз (2.16) справедливо при будь-якому виборі осей. Продифференцировав (2.16) за часом, отримуємо:

 (2.17)

- Прискорення тіла у всіх інерційних системах відліку однаково. Це означає, що і сили, що діють на тіло в інерційних системах відліку однакові. Отже, рівняння динаміки не змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої, т. Е. Інваріантні до перетворень Галілея. З механічної точки зору все інерціальні системи відліку зовсім еквівалентні, жодної з них не можна віддати перевагу перед іншими. Це означає, що ніякими механічними дослідами, проведеними в межах даної системи відліку, не можна встановити, чи знаходиться вона в стані спокою або рухається прямолінійно і рівномірно. Ці положення носять назву принципу відносності Галілея.

2.7. СИЛИ

У сучасній фізиці розрізняють чотири види взаємодій: гравітаційна (викликане всесвітнім тяжінням), електромагнітне (здійснюване через електричні і магнітні поля), сильне або ядерне (що забезпечує зв'язок частинок в атомному ядрі) і слабке (що виявляється під час розпаду елементарних частинок).

У класичній механіці мають справу з гравітаційними і електромагнітними силами, а також з пружними і силами тертя. Два останні види сил визначаються характером взаємодії між молекулами речовини і мають електромагнітне походження.

Гравітаційні й електромагнітні сили є фундаментальними, їх не можна звести до інших, більш простим силам. Пружні сили і сили тертя не є фундаментальними.

2.8. ПРУЖНІ СИЛИ

Будь-яке реальне тіло під дією прикладених до нього сил деформується,

т. е. змінює свої розміри і форму. Якщо після припинення дії сил тіло приймає початкові розміри і форму, деформація називається пружною. ДЕМОНСТРАЦИЯ 2а). Пружні деформації спостерігаються в тому випадку, якщо сила, що зумовили деформацію, не перевищує певний межа, званий межею пружності.

 Якщо після припинення дії сил форма і розміри тіла не відновлюються, говорять про непружної деформації. Демонстрація 2б).

Розглянемо пружину, що має в недеформованому стані довжину  , І докладемо до її кінців рівні за величиною, протилежно спрямовані сили и  (Рис.2.6). Під дією цих сил пружина розтягнеться на деяку величину  , Після чого настане рівновага. У стані рівноваги зовнішні сили и  будуть врівноважені пружними силами, що виникли в пружині в результаті деформації. При невеликих деформаціях подовження пружини  виявляється пропорційним розтягує силі:  (2.18)

- Це закон Гука. тут  - Коефіцієнт жорсткості пружини.

Пружні натягу виникають у всій пружині. Будь-яка частина пружини діє на іншу частину з силою, яка визначається формулою (2.18). Тому, якщо розрізати пружину навпіл, та ж за величиною пружна сила буде виникати в кожній з половин при в два рази меншому подовженні. Таким чином, при заданих матеріалі пружини і розмірах витка величина пружної сили визначається не абсолютним подовженням пружини  , А відносним подовженням

При стисненні пружини також виникають пружні натягу, але іншого знака. Узагальнимо формулу (2.18) наступним чином. Закріпимо один кінець пружини нерухомо (рис.2.7), а подовження пружини будемо розглядати як координату  іншого кінця, відлічувану від його положення, що відповідає недеформованою пружині. під  будемо розуміти проекцію на вісь  пружної сили  . Тоді можна записати:  . (2.19)

З рис.2.7 видно, що проекція пружної сили на вісь  і координата  завжди мають різні знаки.

 Однорідні стрижні поводяться при розтягуванні або односторонньому стисненні подібно пружині. Якщо до кінців стрижня докласти спрямовані уздовж його осі сили и  , Дія яких рівномірно розподілено по всьому перетину, то довжина стрижня  отримає позитивне (при розтягуванні) або негативне (при стисканні) приріст  (Рис.2.8). деформація стрижня характеризується відносною зміною довжини:

Експериментально доведено, що для стрижнів з даного матеріалу відносне подовження при пружною деформації пропорційно силі, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу стрижня:

 . (2.20)

Коефіцієнт пропорційності a називається коефіцієнтом пружної піддатливості.

Величина, що дорівнює відношенню сили до площі поверхні, на яку діє сила, називається напругою. В результаті взаємодії частин тіла один з одним напруга передається в усі точки тіла і весь обсяг стрижня виявляється в напруженому стані. Якщо сила спрямована по нормалі до поверхні, напруга називається нормальним і позначається s. Якщо сила спрямована по дотичній до поверхні, виникає тангенціальна напруга .

У вираженні (2.20)  , тому .

Величина, зворотна пружної піддатливості, називається модулем Юнга  З урахуванням сказаного,  . Модуль Юнга дорівнює такому нормальній напрузі, при якому відносне подовження було б дорівнює одиниці.

Вирішивши записані рівняння щодо F отримуємо: .

Це закон Гука для стержня.

2.9. СИЛИ ТЕРТЯ

Сили тертя з'являються при переміщенні дотичних тіл або їх частин одна відносно одної. Тертя, що виникає при відносному переміщенні двох дотичних тіл, називається зовнішнім, тертя між частинами одного і того ж суцільного тіла називається внутрішнім.

Тертя між поверхнями двох тіл при відсутності будь-якої прошарку, наприклад, мастила між ними, називається сухим. Тертя між твердим тілом і рідкої або газоподібної середовищем, а також між шарами такого середовища називається в'язким.

Стосовно до сухого тертя розрізняють тертя ковзання і тертя кочення.

 Сили тертя спрямовані по дотичній до поверхонь, що труться так, щоб протидіяти відносного зміщення цих поверхонь.

СУХЕ ТЕРТЯ. У разі сухого тертя сила тертя виникає не тільки при ковзанні одного поверхні за іншою, але і при спробах викликати таке ковзання. В цьому випадку вона називається силою тертя спокою. Розглянемо два дотичних тіла 1 і 2, з яких останнім закріплено нерухомо (рис.2.9). Тіло 1 притискається до тіла 2 з силою  , Спрямованої по нормалі до поверхні зіткнення тіл. Вона називається силою нормального тиску і може бути обумовлена, наприклад, вагою тіла. Спробуємо перемістити тіло 1, подіяв на нього зовнішньої силою  . ДЕМОНСТРАЦИЯ 3. З демонстрації 3 видно, що для кожної конкретної пари тіл і кожного значення сили нормального тиску є певна мінімальне значення  сили  , При якому тіло 1 вдається зрушити з місця. При значеннях зовнішньої сили, укладених в межах  , Тіло залишається в спокої, сила  врівноважується рівною їй за величиною і протилежно спрямованої силою  тертя спокою. величина  - Це найбільше значення сили тертя спокою.

За третім законом Ньютона на тіло 2 також діє сила тертя спокою  , Що дорівнює за величиною  і має протилежний зміст.

 Якщо зовнішня сила  перевершить по модулю  o, тіло починає ковзати. Його прискорення визначається результуючої двох сил: зовнішньої  і сили тертя ковзання  , Величина якої залежить від швидкості ковзання. Характер цієї залежності визначається природою і станом, що труться. Найбільш часто зустрічається вид цієї залежності представлений на рис.2.10.

З експерименту відомо, що максимальна сила тертя спокою, а також сила тертя ковзання не залежить від площі зіткнення тіл, що труться і пропорційні величині сили нормального тиску, що притискає тертьові поверхні один до одного:  , Де m - коефіцієнт тертя.

В'язкого тертя. Сила в'язкого тертя є функцією швидкості і наближається до нуля одночасно зі швидкістю. Крім власне сил тертя, при русі тіл в рідкому або газоподібному середовищі виникають сили опору середовища, які можуть значно перевершувати сили тертя. Сумарна сила тертя і опору середовища при невеликих швидкостях зростає лінійно зі швидкістю  , При великих швидкостях вона пропорційна квадрату швидкості  , де  - Орт швидкості

(ДЕМОНСТРАЦИЯ 4).

2.10. ГРАВІТАЦІЙНІ СИЛИ. ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯГОТІННЯ

Всі тіла в природі взаємно притягують один одного. Закон, якому підпорядковується це тяжіння, було встановлено Ньютоном і носить назву закону всесвітнього тяжіння: сила, з якою дві матеріальні точки притягають один одного, пропорційна масам цих точок і обернено пропорційна квадрату відстані між ними:  тут  - Гравітаційна постійна. Сила спрямована вздовж прямої, що проходить через взаємодіючі матеріальні точки (рис.2.11).

У векторній формі сила, з якою друга матеріальна точка діє на першу, дорівнює

 (2.21)

де  -единичная вектор, який має напрямок від першої матеріальної точки до другої (рис.2.11). замінивши вектор  вектором  , Отримаємо силу  , Що діє на другу матеріальну точку.

 Для визначення сили взаємодії протяжних тіл їх потрібно розбити на елементарні маси  , Кожну з яких можна було б прийняти за матеріальну точку (рис.2.12). Згідно зі слів (2.23),  - Я елементарна маса тіла 1 притягається до  -й елементарної масі тіла 2 з силою  (2.22)

де  відстань між елементарними масами.

Підсумувавши (2.22) за всіма значеннями індексу  , Отримаємо силу, действующ з боку тіла 2 на приналежну тілу 1 елементарну масу :

 (2.23)

Далі підсумувавши (2.23) за всіма значеннями індексу  , Т. Е. Служив сили, прикладені до всіх елементарних мас першого тіла, отримаємо силу, з якою тіло 2 діє на тіло 1:

Це підсумовування зводиться до інтегрування і є дуже складною математичною задачею. У ряді практичних завдань взаємодія тіл зводиться до взаємодії матеріальних точок.

2.11. сила тяжіння і ВЕС

Під дією сили тяжіння до Землі всі тіла падають з однаковим щодо поверхні Землі прискоренням  . Це означає, що в системі відліку, пов'язаної з Землею, на всяке тіло маси  діє сила  , Звана силою тяжіння. Коли тіло покоїться щодо поверхні Землі, сила  врівноважується реакцією  підвісу або опори, що утримують тіло від падіння  . За третім законом Ньютона тіло в цьому випадку діє на підвіс або опору з силою рівною -  , Т. Е. З силою .

сила  , З якої тіло діє на підвіс або опору, називається вагою тіла. Ця сила дорівнює  лише в тому випадку, коли тіло і опора (або підвіс) нерухомі відносно Землі. У разі їх руху з прискоренням  вага  НЕ буде дорівнює  . Розглянемо приклад (рис.2.13). Подивись у вигляді укріпленої на рамці пружини рухається разом з тілом з прискоренням  . Рівняння руху тіла має вигляд

,

де  - Реакція підвісу, т. Е. Сила, з якою пружина діє на тіло. За третім законом Ньютона тіло діє на пружину з силою -  , Яка за визначенням є вага тіла  . тоді

 . (2.24)

Ця формула визначає вагу тіла в загальному випадку.

Припустимо, що тіло і підвіс рухаються у вертикальному напрямку (демонстрація 5). Спроектувавши (2.24) на напрямок схилу, отримуємо:

.

Знак «+» відповідає прискоренню, спрямованому вгору, а знак «-» - прискорення, спрямованого вниз. При вільному падінні рамки и  = 0. Тіло знаходиться в невагомості.

Не слід плутати силу тяжіння і вага. Ці сили прикладені до різних тіл:  -до тілу, а  - До опори. сила  завжди дорівнює  , Незалежно від того, рухається тіло або покоїться, сила ж ваги  залежить від прискорення, з яким рухаються опора і тіло, і може бути як більше, так і менше .

2.12. РУХ ТІЛА ЗМІННОЮ МАСИ


 У ньютонівської механіці маса вважається незалежною від швидкості, однак це зовсім не означає, що вона повинна залишатися незмінною в процесі руху тіла. Вона може змінюватися, наприклад, при обміні речовиною між тілом і оружающей середовищем. Типовим прикладом руху тіла змінної маси є реактивний рух. В процесі роботи встановленого на ракеті двигуна продукти згоряння палива викидаються через сопло двигуна, і маса ракети поступово зменшується.

Основне рівняння динаміки матеріальної тіла змінної маси було отримано І. в. Мещерским. Розглянемо систему, що складається з поступально рухомого тіла змінної маси і відокремлюються від нього частинок (рис.2.14). У момент часу  маса тіла дорівнює  , Його швидкість  , Повний імпульс системи дорівнює  . Від тіла відокремлюються частинки зі швидкістю  . за час  маса відокремилися часток склала  , А маса тіла стала дорівнює  , Швидкість тіла збільшилася до значення  , Тоді зміна імпульсу системи за час  одно  . Розкривши дужки і нехтуючи величиною  , отримуємо  , або  , де

 - Швидкість отделяющихся частинок стосовно оскільки він розглядався тілу (відносна швидкість). Підставивши останній вираз в закон зміни імпульсу (2.5), отримаємо рівняння Мещерського:

векторна величина  має розмірність сили і називається реактивної силою. Поклавши в цьому рівнянні  , Отримаємо формулу Ціолковського для руху ракети під дією однієї лише реактивної тяги:

де  - Швидкість витікання продуктів згоряння з сопла ракети, виміряна щодо ракети. Якщо початкова швидкість ракети дорівнює нулю, а траєкторія - пряма лінія, то швидкості и  спрямовані протилежно, і в проекції на напрямок руху ракети отримуємо  або .

якщо  Стартовий швидкість ракети, а  - Кінцева маса ракети після закінчення роботи двигунів внаслідок вигоряння всього палива,  - Маса палива, тоді інтегруючи останній вираз, отримаємо максимальну швидкість ракети:  або

Ця формула називається формулою Ціолковського.

 



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати