На головну

Лекція 12. Формула Тейлора 2.

  1.  А) Вирішимо систему за формулами Крамера.
  2.  Антонов А. і., Борисов В. а. Лекції по демографії. М., 2011. Лекція 7. С. 373-416.
  3.  Барометрична формула.
  4.  У цьому випадку, якщо проект передбачає виробництво декількох видів продукції, тоді формула (14.24) не змінюється, а всі вхідні в неї величини беруться з усього проекту.
  5.  Вступна лекція
  6.  Вступна лекція
  7.  Імовірність протилежної події. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

П.1 Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.

ТЕОРЕМА 1. (узагальнена теорема Коші)

 Нехай дано функції,

 , Певні на відрізку

 , Що мають безперервні похідні до порядку

 на інтервалі

, причому

 1)

(Похідні в точці a праві)

 2)

,

 3)

 , для

.

 тоді існує

 , для котрого

.

 ДОК. Застосуємо послідовно теорему Коші: існує

:

.

 на відрізку

 виконуються умови теореми Коші і існує

 , для котрого

 . Продовжуючи, на відрізку

 існує точка

 , для котрого

 

.

ТЕОРЕМА 2. (формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа)

 нехай функція

 неперервна і має безперервні похідні до ( n + 1) порядку на кінцевому відрізку

 . тоді існує

 , для котрого

 , де

(Залишковий член у формі Лагранжа).

 ДОК. Застосуємо узагальнену теорему Коші для функцій

и

 . Умови теореми перевірялися для функції

 (Див. Приклад) і очевидні для функції

 . Тоді існує точка

, для котрої

 

 

.

П.2 Інтервали монотонності.

 ОПР. Функція зростає в точці

 , якщо

 для будь-яких досить малих

 , Т. Е. Позитивним приращениям аргументу відповідають позитивні приросту функції і зменшення аргументу (

 ) Відповідає зменшення значення функції (

).

 ОПР. Функція убуває в точці

 , якщо

 для будь-яких досить малих

 , Т. Е. Позитивним приращениям аргументу відповідають негативні приросту функції і зменшення аргументу (

 ) Відповідає збільшення значення функції (

).

 ОПР. інтервал

 називається інтервалом зростання (спадання) функції

, Якщо кожна його внутрішня точка є точкою зростання (спадання) функції.

ТЕОРЕМА 3. (достатня умова монотонності функції на інтервалі)

 нехай функція

 дифференцируема на інтервалі

 і (

 ),

 . тоді функція

 строго зростає (спадає) на інтервалі

.

 ДОК. (1) Нехай

 . Тоді по теоремі про повну загальну середню Лагранжа існує

 , для котрого

.

(2) для зменшення за аналогією.

 Таким чином, інтервали монотонності функції збігаються з інтервалами знакопостоянства її похідної. Для їх знаходження необхідно знайти похідну функції, прирівняти її нулю і знайти точки з області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулю або не існує. Ці точки, звані критичними, є межами інтервалів монотонності. Якщо на одному з них похідна, то це інтервал зростання функції, в іншому - інтервал спадання. Точка, в якій

, Може служити кордоном протилежних інтервалів монотонності або, наприклад, двох інтервалів зростання, які можна об'єднати в один.

 ПРИКЛАД 1. Функція

 строго зростає на R, але має точку

критичною.

П.3. Екстремуми функції. Необхідні і достатні умови.

 Поняття локального екстремуму (максимуму або мінімуму) можна сформулювати в термінах приросту функції: функція

 має в точці

 строгий локальний максимум, якщо її приріст

 для будь-яких досить малих

. Для локального мінімуму знак нерівності протилежний. Для не строго локального максимуму знаки нерівності не суворі.

ТЕОРЕМА 4. (НЕОБХІДНА УМОВА екстремуму)

 Нехай в точці

 функція

 має локальний екстремум. тоді або

 , Або похідною в точці

не існує.

 ДОК. (1) для максимуму. Якщо похідною в точці

 немає, то теорема доведена. Якщо похідна існує, то і

 , Т. Е.

.

(2) для мінімуму (за аналогією).

 ПРИКЛАД 2. Функція

 має в точкестрогій локальний мінімум, хоча в точці

похідною у функції немає.

ТЕОРЕМА 5. (ДОСТАТНЯ УМОВА екстремуму по першій похідній)

 нехай точка a є кордоном двох інтервалів монотонності

и

 , функція

 неперервна в точці

, причому

 (1) інтервал

 є інтервалом зростання, а

 - Інтервалом спадання функції. Тоді в точці

функція має локальний максимум.

 (2) інтервал

 є інтервалом убування, а

 - Інтервалом зростання функції. Тоді в точці

функція має локальний мінімум.

 ДОК. (1) З безперервності функції в точці

 і монотонного зростання функції на інтервалі

 випливає, що

и

 для

 . аналогічно,

и

 для

 . тоді

 для досить малих

 . Якщо припустити сувору монотонність на інтервалах

и

, То екстремум буде суворим.

ТЕОРЕМА 6. (ДОСТАТНЯ УМОВА екстремуму по другій похідній)

 якщо точка

 критична і існує

 , То в точці

 функція має локальний мінімум, якщо, і локальний максимум, якщо

.

 ДОК. Зауважимо, що в умовах теореми

 . розкладемо функцію

 за формулою Тейлора в околиці точки

:

 .

 Тоді в малій околиці точки

 , приріст

 зберігає знак похідної

 . якщо

 , то

 для досить малих значень

 , Т. Е. В точці

 локальний мінімум. якщо

 , то

 для досить малих

 і в точці

- Локальний максимум. Остання теорема узагальнюється на випадок похідних більш високих порядків.

ТЕОРЕМА 7. (ДОСТАТНЯ УМОВА екстремуму по похідною парного порядку)

 Якщо в точці

 похідні

,

,

 то в точці

 функція має локальний мінімум, якщо

 і максимум, якщо

.

 ДОК. Скористаємося формулою Тейлора:

 . Тоді знак збільшення

 визначається знаком похідної

.

 Вправа. Яке поведінку функції в околі точки

, якщо

 

 , а

?

ПИТАННЯ ДО ІСПИТУ.

1) Узагальнена теорема Коші і формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.

2) Зростання функції в точці і на інтервалі. Теорема про достатню умови зростання функції на інтервалі. Знаходження інтервалів монотонності.

3) Локальний екстремум функції. Необхідна умова екстремуму. Достатня умова екстремуму по першій похідній.

4) Достатня умова екстремуму по другій похідній і парному похідною.

 




 Лекція 2. Безліч дійсних чисел (продовження). |  Лекція 3. Послідовності, межа послідовності. |  Лекція 5. Межа функції. |  Лекція 7. Безперервні функції. |  Лекція 8. Монотонні функції. Похідна. |  Лекція 9. Похідна функції 2. |  Лекція 10. Теореми про середню для похідних. |  Лекція 11. Формула Тейлора. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати