На головну

Лекція 11. Формула Тейлора.

  1.  А) Вирішимо систему за формулами Крамера.
  2.  Антонов А. і., Борисов В. а. Лекції по демографії. М., 2011. Лекція 7. С. 373-416.
  3.  Барометрична формула.
  4.  У цьому випадку, якщо проект передбачає виробництво декількох видів продукції, тоді формула (14.24) не змінюється, а всі вхідні в неї величини беруться з усього проекту.
  5.  Вступна лекція
  6.  Вступна лекція
  7.  Імовірність протилежної події. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

П.1 Похідні і диференціали вищих порядків.

ОПР. Похідною другого порядку називають похідну від функції першої похідної. У загальному випадку,

 

.

Приклади Довести, що

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 ДОК. За індукції. (3) 1) при n = 1

 2) припущення

 

 . тоді

.

 ПРИКЛАД. Знайти другу похідну функції, заданої параметрично:

,

.

 

.

ОПР. Диференціалом другого порядку функції, називають диференціал від першого диференціала. У загальному випадку,

 

.

так

 

.

 У загальному випадку,

ПРИКЛАД. Форма другого диференціала НЕ инвариантна.

 ДОК. Якщо складна функція отримана композицією функцій і

 , то

и

.

 якщо y - Незалежна змінна, то

 , Т. Е. Форма другого диференціала незмінна, якщо

, В інших випадках при переході до складної функції другий диференціал змінює свою форму.

ПРИКЛАД. (Біном Ньютона)

 Знайдемо коефіцієнти многочлена

.

 Зауважимо, що

коефіцієнти бінома Ньютона. тоді

 

.

П.2 Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано та її застосування.

ПРИКЛАД. (Многочлен Тейлора)

 Для кожної функції

 , що має n похідних в точці

 , Можна написати многочлен Тейлора:

.

 Зауважимо, що многочлен бинома Ньютона є многочленом Тейлора функції

 в точці

 . різниця

 називають залишком формули Тейлора. Відзначимо деякі властивості функції

:

 1)

 , оскільки

.

 2)

 , для

 т. к.

.

 3)

.

ТЕОРЕМА 1 (формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано)

 Якщо існує похідна

 , то

.

ДОК. Застосуємо правило Лопіталя для обчислення границі:

 

 

 

 

.

 П. 3 Формули Тейлора для основних елементарних функцій. (

)

 (1)

,

 (2)

,

 (3)

,

 (4)

,

 (5)

,

 (6)

,

 (7)

 ДОК. (2)

 

.

 (3)

,

,

 ,

 

 (1)

 (4)

,

,

,

.

П.4 Формула для еквівалентної нескінченно малої функції.

ТЕОРЕМА 2.

 нехай

 нескінченно мала функція в точці

 і її похідні

 існують в точці

 до порядку n , причому

 , а

. тоді

 

?

.

 ДОК. За формулою Тейлора

=

.

 П.5 Таблиця (розширена) еквівалентностей елементарних функцій.

.

 (1)

~

 (2)

~

 (3)

~

 (4)

~

 (5)

~

 (6)

~

 (7)

~

 (8)

~

 ДОК. (3)

,

,

.

 (4)

,

,

 

.

ПИТАННЯ ДО ІСПИТУ.

1) Похідні і диференціали вищих порядків. Друга похідна функції, заданої параметрично.

2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано.

3) Формула Тейлора для елементарних функцій

(З доказом).

4) Формула для еквівалентної нескінченно малої функції. Таблиця еквівалентностей.





 Лекція 2. Безліч дійсних чисел (продовження). |  Лекція 3. Послідовності, межа послідовності. |  Лекція 5. Межа функції. |  Лекція 7. Безперервні функції. |  Лекція 8. Монотонні функції. Похідна. |  Лекція 9. Похідна функції 2. |  Лекція 12. Формула Тейлора 2. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати