На головну

Лекція 3. Послідовності, межа послідовності.

  1.  A. Ставлення мінімально визначеного зміни сили стимулу до величини цього стимулу є величина постійна.
  2.  C) немонетарні статті, які оцінюються за справедливою вартістю в іноземній валюті, слід переводити за обмінним курсом на дату визначення справедливої ??вартості.
  3.  C) вказати функціональну валюту підприємства і метод перекладу, використаний для визначення допоміжної інформації.
  4.  D. Міра невизначеності в системі
  5.  I. Визначення термінів і предмет дослідження
  6.  I. ВИЗНАЧЕННЯ
  7.  II. Визначення закону руху системи.
 ОПР. послідовністю

називають числову функцію, задану на множині N натуральних чисел.

 

.

Послідовність може здаватися явно, наприклад,

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 і рекуррентно, наприклад, (5)

(Ари. Прогр.)

 (6)

 (Геом. Прогр.) (7)

.

 ОПР. послідовність

обмежена (зверху, знизу), якщо цим властивістю володіє безліч її значень.

 ОПР. послідовність

 монотонно зростає (спадає), якщо (

) Для будь-якого n. Якщо нерівності строгі, кажуть про суворе зростанні (убуванні) послідовності.

 У прикладах (1) монотонно зростаюча, обмежена послідовність. (2) обмежена, що не монотонна послідовність. (3) монотонно зростаюча, необмежена послідовність (4) необмежена, що не монотонна послідовність. (5) необмежена, монотонно спадна при d <0, монотонно зростаюча при d> 0. (6) обмежена при, необмежена при

 , Монотонна при

 , Що не монотонна при

.

ОПР. Околицею точки х0радіуса e> 0 називають безліч

 

 ОПР. безліч

називають виколоти околицею точки х0.

 ОПР. Число В називають граничною точкою (частковим межею) послідовності

 , якщо

 околиця

 містить нескінченне число членів послідовності

.

 У прикладах (1) число В = 3 є єдиною граничної точкою послідовності. (2) числа

 є граничними точками послідовності. (3), (4), (5) граничних точок не мають (6) число В = 0 гранична точка при, при

граничних точок немає.

 ОПР. Число А називається межею, якщо А - гранична точка і поза будь-який околиці

 міститься не більше кінцевого числа членів послідовності

, або

 

 

.

Якщо послідовність має границю, то вона називається збіжної.

 У прикладах (1) має межу А = 3. (2), (3), (4), (5) - межі не мають. (6) має межу А = 0 при, не має меж при

.

ТЕОРЕМА1. Будь-яка обмежена послідовність має хоча б одну граничну точку.

 ДОК. З обмеженості послідовності

 слід існування відрізка [c1; b1], для якого

 . Розділимо відрізок навпіл і виберемо ту половину

 , Яка містить нескінченне число

 . Якщо обидві половини володіють цією властивістю, то вибираємо будь-яку. ділимо відрізок

 навпіл і вибираємо ту половину

 , Яка містить нескінченне число

 . Продовжуючи процес ділення, побудуємо систему стягують, вкладених відрізків

.

 За теоремою існує число В, яке належить кожному відрізку

 . тоді

 околиця

 містить отрезокс досить великим номером ne, але тоді, з побудови послідовності

 в околиці

 міститься нескінченне число членів послідовності

.

 ОПР. Последовательностьназивается підпослідовність

 , якщо

.

 Будь-яка гранична точка подпоследовательностіявляется граничної точкою послідовності

.

 ТЕОРЕМА 2. Якщо послідовність

має граничну точку В, то існує сходиться її підпослідовність, що має В своїм межею.

 ДОК. Виберемо в кожному відрізку

 , Описаному в теоремі 1, член

 послідовності. тоді підпослідовність

,

, Має з побудови число В своїм межею.

 У прикладі (2) підпослідовність

,

 має межу В1 = 1, підпослідовність

,

 має межу В2 = 0,5, підпослідовність

,

має межу

 В3 = - 0,5, підпослідовність

,

 має межу В4 = - 1, (4) підпослідовність

,

 має межу В1 = 1, підпослідовність

,

має межу В2 = - 1.

 ТЕОРЕМА 3. Якщо послідовність

має межу рівний А, то будь-яка її підпослідовність сходиться, причому А є її межею.

ДОК. (Самостійно)

ТЕОРЕМА 4. всяка сходиться послідовність обмежена.

 ДОК. нехай

и

 довільно мало. Тоді, за визначенням меж, безліч Eaзначеній членів послідовності

 з номерами

 належать

 і тому є обмеженим. Якщо додасть до Eaконечное безліч значень

 з номерами

, То отримане безліч також буде обмеженим.

 ТЕОРЕМА 5. Якщо послідовність

має межу, то він єдиний.

 ДОК. Нехай таких меж два: А1і А2. виберемо

 . тоді околиці

и

не перетинаються і в кожній з них повинні містяться всі члени послідовності, крім кінцевого їх числа, що неможливо.

Вправа. 1) Наведіть приклад послідовності, що має три граничних точки. 2) Безліч раціональних чисел лічильно, тому існує послідовність, членами якої є всі раціональні числа. Яка безліч граничних точок такій послідовності.

ТЕОРЕМА 6. Будь монотонно зростаюча (спадна), обмежена зверху (знизу) числова послідовність має межу.

 ДОК. Зауважимо, що з обмеженості зверху і умови

 слід обмеженість. Тоді по теоремі 1 у неї є гранична точка А. Доведемо, що А є межею послідовності

 . нехай

довільна околиця точки А. З того, що А гранична точка слід, що

 

 

,

 т. е. поза околиці

міститься тільки кінцеве число членів послідовності.

 ОПР. Нехай Ма- безліч граничних точок послідовності

 . Припустимо, що воно не порожньо і обмежена. тоді числа

и

 називають верхнім і нижнім межами послідовності

.

 ТЕОРЕМА 7. Якщо послідовність

 обмежена, то числа

и

 є граничними точками, т. е. належать

.

 ДОК. побудуємо підпослідовність

 , Межа якої дорівнює

 . За визначенням

 , для

 існує

:

 . тоді підпослідовність

 сходящаяся ІЕЕ межа, т. е.

- Гранична точка.

 доказ для

аналогічно.

ПИТАННЯ до ІСПИТУ.

1) Послідовності і способи їх завдання, приклади. Обмежені, монотонні послідовності. Граничні точки (часткові межі) послідовності. Теорема про існування граничних точок.

2) Межа послідовності. Теорема про єдиності межі. Теорема про обмеженість збіжної послідовності.

3) Підпослідовності. Гранична точка як межа сходящейся підпослідовності. Поняття верхньої і нижньої межі послідовності. Теорема про приналежність верхнього і нижнього меж безлічі граничних точок послідовності.

4) Теорема про існування межі монотонної, обмеженої послідовності.


Лекція 4. Межа послідовності (продовження)

ОПР. Послідовність називається фундаментальною, якщо

 

У цьому випадку говорять, що послідовність задовольняє критерію КОШІ.

ТЕОРЕМА 1. Будь-яка сходиться послідовність фундаментальна і навпаки.

 ДОК. Нехай послідовність фундаментальна. Тоді вона обмежена. Дійсно, всі члени послідовності

 з номерами більшими

 лежать на інтервалі

 , Інші, можливо, цього інтервалу не належать, але їх кінцеве число. Тоді по теоремі последовательностьімеет граничну точку А. доведемо, що А є межею

 . для будь-якого

 знайдемо натуральне

 , Для якого (1)

(А - гранична точка)

 (2)

,

(Послідовність фундаментальна). тоді

 ,

 

.

 нехай послідовність

 сходиться. Тоді для будь-якого

 знайдемо натуральне

 , Для якого (1)

,

 (2)

,

и

. тоді

 , Т. Е. Послідовність фундаментальна.

 ОПР. послідовність

 називається нескінченно малою, якщо

.

 ОПР. послідовність

 називається нескінченно великою, якщо

.

 В цьому випадку :

.

ТЕОРЕМА 2. (про зв'язок сходящейся послідовності з нескінченно малою послідовністю)

 якщо

 сходиться послідовність, що має межею число А, то існує нескінченно мала послідовність

 , Така, що

.

 ДОК. Перевіримо, що послідовність

нескінченно мала.

 

 

 , Т. Е.

.

ТЕОРЕМА 3. (про зв'язок нескінченно великий і нескінченно малої послідовностями)

 якщо послідовність

 нескінченно велика, то послідовність

 -нескінченно мала послідовність (б. м. п). якщо

 нескінченно мала послідовність і

 , то

- Нескінченно велика послідовність (б. Б. П).

 ДОК. За умовою послідовність

 нескінченно велика:

,

 т. е. послідовність

нескінченно мала.

 якщо

 б. м. п., то

.

ТЕОРЕМА 4. (арифметичні теореми про нескінченно малих послідовностей)

 нехай

и

 - Дві нескінченно малі послідовності,

- Обмежена послідовність. тоді

 (1) послідовність

нескінченно мала.

 (2) послідовність

нескінченно мала.

 ДОК. (1)

 (2)

 - Обмеженість,

 - Б. м. п,

.

ТЕОРЕМА 5. (арифметичні теореми про границі послідовностей)

 нехай

и

- Дві сходяться послідовності:

 

,

.

 Тоді (1)

 (2)

,

 (3)

,

.

 ДОК. (3)

,

 , де

,

 б. м. п. (теорема) 2) Якщо

 , То послідовність

 обмежена. тоді

 . послідовність

 б. м. п. і

 б. м. п. (теорема 4). тоді

по

теоремі 2.

ДОК. (1), (2) - самостійно.

ТЕОРЕМА 6. (про перехід до межі в нерівностях)

 Нехай (1)

,

- Сходиться послідовність.

 тоді

 . Нехай (2)

и

 - Дві сходяться послідовності, причому

 . тоді

 

.

 ДОК. (1). Припустимо гидке:

 . тоді для

, Що суперечить умові (1) теореми.

 (2) для послідовності

 виконуються умови (1) теореми, тоді

 

 

 

.

ТЕОРЕМА 7 (про проміжної послідовності)

 Нехай (2)

,

,

 дві сходяться послідовності, причому

 

 . послідовність

 задовольняє нерівності:

 . тоді

.

 ДОК.

 

 , Т. Е.

.

ТЕОРЕМА 8. (чудовий межа)

 послідовність

має межу, що дорівнює числу e = 2,71 ....

 ДОК. Нагадаємо формулу бінома Ньютона:

 , де

 - Коефіцієнти бінома. Застосуємо формулу для

 

 

 . при збільшенні n число доданків в сумі збільшується, а кожний доданок також збільшується, т. е.

монотонно зростаюча послідовність. Доведемо її обмеженість зверху.

 

 Тоді по теоремі

має межу.

 ВПРАВИ. (1) Довести, що якщо послідовність

 сходиться, то послідовність

також сходиться. (2) Чи справедливо твердження: сума двох нескінченно великих

послідовностей є нескінченно великою послідовністю? (Обгрунтувати) (3) Довести, що добуток двох нескінченно великих послідовностей є нескінченно велика послідовність.

ПИТАННЯ до ІСПИТУ.

1) Фундаментальна послідовність. Теорема про збіжність фундаментальної послідовності.

2) Нескінченно малі послідовності. Теорема про зв'язок сходящейся і нескінченно малої послідовностями.

3) Нескінченно великі послідовності. Теорема про зв'язок нескінченно великий і нескінченно малої послідовностями.

4) Арифметичні теореми про нескінченно малих послідовностей.

5) Арифметичні теореми про границі.

6) Теорема про перехід до межі в нерівностях.

7) Теорема про проміжну послідовності.

8) Число е.





 Лекція 7. Безперервні функції. |  Лекція 8. Монотонні функції. Похідна. |  Лекція 9. Похідна функції 2. |  Лекція 10. Теореми про середню для похідних. |  Лекція 11. Формула Тейлора. |  Лекція 13. Дослідження функції, графік функції. |  Лекція 12. Формула Тейлора 2. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати