Головна

Лекція 2. Безліч дійсних чисел (продовження).

  1.  IV Іграмуль, Безліч
  2.  Алгебраїчна запис Комплексних чисел
  3.  Алгоритми чисельного інтегрування систем диференціальних рівнянь
  4.  Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
  5.  Аналіз чісельності, складу и руху персоналу
  6.  Антонов А. і., Борисов В. а. Лекції по демографії. М., 2011. Лекція 7. С. 373-416.
  7.  Бюджетне безліч. Його властивості. Поведінка і споживача на ринку.

1. Азоев ГОЛ. Конкуренція: Аналіз, стратегія і практика. М .: ИНФРА-М, 1996..

2. Алексєєв В. Практикум по маркетингу: Завдання, тести, ситуації. М .: ИНФРА-М, 2001..

3. Андрєєва О. Технологія бізнесу: Маркетинг: Навчальний посібник. М .: ИНФРА-М, 1997.

4. Ассель Г. Маркетинг: Принципи і стратегія. М .: ИНФРА-М, 2001..

5. Баришев А. Маркетинг: Підручник. М .: Академия, 2002.

6. Бейкер М. Маркетинг: Енциклопедія. СПб .: Пітер, 2002.

7. Белявський І. Маркетингове дослідження: Інформація, аналіз, прогноз. М .: ИНФРА-М, 2001..

8. Березін І. Маркетинговий аналіз. Принципи та практика. Російський досвід. М .: Прогрес, 2002.

9. Вайсман А. Стратегія маркетингу: 10 кроків до успіху: Пер. з нім. М .: АТ «Інтерексперт», 1995..

10. Гембл П. Маркетинг взаємовідносин зі споживачами: Пер. з англ. М .: ФИНПРЕСС, 2002.

11. Герасименко В. в. Цінова політика фірми. М .: ФИНПРЕСС, 1995..

12. Голубков Е. п. Маркетингові дослідження: Теорія, методологія і практика. М .: ФИНПРЕСС, 2003.

13. Голубков Е. Основи маркетингу: Підручник. М .: ФИНПРЕСС, 2003.

14. Гебе Дж. Маркетинг: Нові можливості. СПб .: Фаир-Пресс, 2002.

15. Джей Р. Незначними витратами маркетинг. СПб .: Питер, 2003.

16. Дихтль Е., Хершген Х. Практичний маркетинг: Учеб. посібник: Пер. з нім. М .: Вища школа, 1995.

17. Жіндер Ж. Маркетинг без гальм: Пер. з англ. Новосибірськ, 2003.

18. Зав'ялов П. с. Маркетинг в схемах, малюнках, таблицях: Учеб. допомога. М .: ИНФРА-М, 2000.

19. Ізмайлова Е. Правове регулювання маркетингу. М .: Зерцало, 2002.

20. Кондратьєв А. Маркетинг: Концепції і рішення. СПб .: Олма-Пресс, 2003.

21. Котлер Ф. та ін. Основи маркетингу. М .: Прогрес, 2003.

22. Крилова Г. д. Теорія і 86 ситуацій. М .: Юніті, 2001..

23. Кулібанова В. Прикладний маркетинг. СПб .: Нева, 2003.

24. Манн І. Маркетинг на 100%. СПб .: Питер, 2003.

25. Методичні рекомендації з аналізу і прогнозування товарних ринків. М .: ИНФРА-М., 2001..

26. Моїсеєва Н. Управління маркетингом: Теорія, практика. М .: ФиС, 2002.

27. Морі Д. Мистецтво телемаркетингу: Пер. з англ. М .: Фенікс, 2003.

28. Ноздрьова Р. Маркетинг: Навчально-методичний комплекс з маркетингу. М .: Економіка, 2001..

29. Овечкіна Є. Маркетингове планування. Конспект лекцій. М .: Пріор, 2002.

30. Постма П. Нова ера маркетингу: Пер. з англ. СПб .: Пітер, 2002.

31. Райс Ел. Маркетингові війни. СПб .: Пітер, 2002.

32. Резніченко Б. а. Маркетинг: зроби сам. СПб .: Питер, 2003.

33. Светуньков М. Методи маркетингових досліджень. М .: Изд-во ДНК, 2003.

34. Секерин В. Практичний маркетинг в Росії. М .: Бізнес-школа, 2002..

35. Соловйов Б. а. Управління маркетингом: Учеб. допомога. М .: РЕА ім. Г. в. Плеханова, 1999..

36. Титоренко Г. Інформаційні технології в маркетингу. М .: ИНФРА-М, 2001..

37. Токарев Б. Методи збору і використання маркетингової інформації. М .: Ера, 2001..

38. Штерн В. Маркетингові канали: Пер. з англ. М .: Прогрес, 2002.

39. Уткін Е. Маркетинг. М .: ЕКМОС, 2001..

40. Фатхутдінов Р. Стратегічний маркетинг. СПб .: Пітер, 2002.

41. Фегель З. Директ-маркетинг. 99 практичних порад: Пер. з англ. М .: Финпресс, 2001..

42. Федосєєв В. Економіко-математичні методи і моделі в маркетингу. М .: Фаир-Пресс, 2001..

43. Федько Н., Федько В. Маркетингові комунікації. М .: Феникс, 2002.

44. Хруцький В. Сучасний маркетинг: Настільна книга по дослідженню ринку. М .: Бізнес-сфера, 2003.

45. Шмідт Р. Фінансові аспекти маркетингу. М .: Юніті-Дана, 2000..

46. Шонессі Дж. Конкурентний маркетинг. Стратегічний підхід: Пер. з англ. М .: Прогрес, 2001..

47. Еніс Б. м. Класика маркетингу. СПб .: Питер, 2001.

Лекція 2. Безліч дійсних чисел (продовження).

 П.1 Поняття

и

 ОПР. Числове безліч Х називають обмеженим зверху, якщо знайдеться число М, для якого

.

 ОПР. Числове безліч Х називають обмеженим знизу, якщо знайдеться число m, для якого

.

 ОПР. Числове безліч Х називають обмеженим, якщо знайдуться числа m і М, для яких

.

Найменше з чисел М, що обмежують зверху безліч Х, називають точної верхньою межею цього безлічі. Аналогічно, найбільше з чисел m, що обмежують безліч Х знизу, називають точної нижньою гранню множини Х. Точніше про це в

 ОПР. число

 називають точної верхньою межею безлічі Х,

, Якщо виконані дві умови:

 1)

 , 2)

.

 ОПР. число

 називають точної нижньою гранню множини Х,

, Якщо виконані дві умови

 1)

 , 2)

.

Точні верхня і нижня межі безлічі Х можуть не належати безлічі Х.

 ПРИКЛАД 1. Безліч Х є множиною значень послідовності

 . знайти

и

.

 РІШЕННЯ. Доведемо, що

 . дійсно,

 . для будь-якого

 . Вирішуємо остання нерівність щодо n:

 . Зауважимо, що

 . оскільки послідовність

зростаюча, то

 

 , Т. Е.

и

.

 ТЕОРЕМА 1. Будь-яке непорожнє, обмежене зверху безліч

 , має

.

 ДОК. Нехай У - безліч верхніх граней безлічі Х:

 . За аксіомі про повноту безлічі дійсних чисел (аксіома 5), знайдеться число

, для котрого

 

.

 Таким чином,

 і є в ньому найменшим елементом, т. е.

.

Зауваження. Безліч Х має тільки одну точну верхню грань.

 ДОК. нехай

и

 - Дві такі межі і

 . Тоді за визначенням

 для

 знайдеться

 , Що суперечить умові

. аналогічно доводиться

 ТЕОРЕМА 2. Будь-яке непорожнє, обмежене знизу безліч

 , Має і єдине

.

П.2 Безліч раціональних чисел Q.

 числа виду

,

,

 називаються раціональними. Два раціональних числа

и

 рівні, якщо

.

 безліч

 називається всюди щільним в

 , якщо

 

.

ТЕОРЕМА 3. Безліч Q раціональних чисел усюди щільно в R.

 ДОК. нехай

 два довільних дійсних числа. Виберемо натуральне n, для якого

 . Нехай К безліч цілих чисел

 . Безліч До обмежена зверху і існує

 , притому

 . тоді

.

 ОПР. Два безлічі Х і У називаються рівнопотужними, якщо існує біекція

.

ОПР. Безліч Х рівносильне з N називається рахунковим.

ТЕОРЕМА 4. Безліч Q лічильно.

 ДОК. Покажемо, що будь-яке нескінченна підмножина У рахункового безлічі Х також лічильно.

.

 тоді

 і відображення

 є біекція

.

 Розглянемо безліч Х точок на площині з координатами

. Безліч Х лічильно.

(Відповідна біекція зображена на рис.)

 Розглянемо підмножину

 , Що складається з пар

 , Для яких дріб

нескоротних.

 За доведеним, безліч

 лічильно і відображення

 биективно. тоді відображення

біекція і безліч раціональних чисел лічильно.

П.3 Система вкладених відрізків.

 ОПР. система відрізків

 називається системою вкладених відрізків, якщо

.

ТЕОРЕМА 5. Будь-яка система вкладених відрізків має спільну точку.

 ДОК. Розглянемо безлічі

и

 . Безлічі А і В обмежені і

 . Тоді аксіомі повноти існує

, для котрого

 

 ., Т. Е

.

 ОПР. Система вкладених відрізків називається стягують, якщо

.

ТЕОРЕМА 6. Система стягують відрізків має єдину спільну точку.

ДОК. Нехай з1 і с2две такі точки і

 

.

 тоді

 , Т. Е.

.

Останнє суперечить умові стягування.

 ТЕОРЕМА 7. Безліч всіх точок відрізка

незліченно.

 ДОК. Припустимо протилежне:

 . розіб'ємо відрізок

 і виберемо той з відрізків, який не містить х1. Далі отриманий відрізок розіб'ємо на три частини і виберемо той, який не містить х2 і т. Д. Отримана сукупність вкладених відрізків стягують. За теоремою 1 існує число

, Що не співпадає ні з одним з xn. Отримане протиріччя доводить, що безліч [0; 1] незліченно. Безлічі рівнопотужності з [0; 1] називаються множинами потужності континууму.

ВПРАВИ.

1. Доведіть, що безліч всіх інтервалів (а; в) з раціональними кінцями лічильно.

2. Доведіть, що безліч попарно не перетинаються інтервалів на дійсній осі, звичайно або лічильно.

3. Безліч всіх послідовностей, що складаються з нулів і одиниць, має потужність континууму.

ПИТАННЯ до ІСПИТУ.

1) Числові множини. Поняття точної верхньої і нижньої межі. Теорема про існування точної верхньої і нижньої межі обмеженого числового безлічі.

2) Безліч раціональних чисел. Теорема про усюди щільності раціональних чисел.

3) Рахункові безлічі. Теорема про счетності безлічі раціональних чисел.

4) Система вкладених відрізків. Теорема про непустоту їх перетину. Система стягують вкладених відрізків. Теорема про єдиності точки їх перетину.

5) Теорема про незліченну безлічі точок відрізка дійсної осі.





 Лекція 5. Межа функції. |  Лекція 7. Безперервні функції. |  Лекція 8. Монотонні функції. Похідна. |  Лекція 9. Похідна функції 2. |  Лекція 10. Теореми про середню для похідних. |  Лекція 11. Формула Тейлора. |  Лекція 13. Дослідження функції, графік функції. |  Лекція 12. Формула Тейлора 2. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати