Головна

Статистичні властивості МНК-оцінок.

  1.  III. Загальні хімічні властивості металів
  2.  V. Хімічні властивості деяких сполук неметалів
  3.  VII. Хімічні властивості алюмінію
  4.  Абсолютні і відносні статистичні показники
  5.  Абсолютні статистичні величини
  6.  Абсолютні СТАТИСТИЧНІ ВЕЛИЧИНИ
  7.  АДАПТИВНІ властивості ЮНОЗІМОВ

Оцінка дисперсії помилок s2 . розподіл S2

Введемо деякі позначення:

- Вектор прогнозних значень

; (52)

- Вектор залишків регресії

 (53)

Безпосередньо з визначення неважко перевірити, що матриці M, N - ідемпотентна, тобто симетричні, і є проекторами:

N2 = N, N '= N; (54)

M2 = M, M '= M. (55)

Відповідно до геометричної інтерпретацією регресії з (52) і (53) випливає, що матриця N є матрицею оператора ортогонального проектування на подпространсто p, породжене векторами Xi , А M - матрицею оператора ортогонального проектування на p - ортогональное доповнення до подпространству p в Rn. Тому

NX = X, MX '= 0. (56)

Обчислимо математичне сподівання і матрицю ковариаций вектора залишків:

E (e) = E (MY) = ME (Y) = MXb = [I-X (X'X)-1X '] Xb = Xb-Xb = 0; (57)

V (e) = V (MY) = MV (Y) M '= Ms2IM '= sM. (58)

Сума квадратів залишків  є природним кандидатом на оцінку дисперсії помилок s2 (Звичайно, з деякими поправочних коефіцієнтів, що залежать від числа ступенів свободи):

E (e'e) = tr (V (e)) = s2 tr (M) = s2 tr (In - N) = (n-k) s2. (59)

Для обчислення рівняння (59) ми використовували формули (57) і (58) і співвідношення

tr (N) = tr (X (X'X)-1X ') = tr (X'X (X'X)-1) = Tr (Ik) = K. (60)

При виведенні останнього рівності застосовано властивість сліду матриці

tr (AB) = tr (BA).

З формули (59) випливає, що

 (61)

тобто

 . (62)

Ранг Ідемпотентний матриці дорівнює її сліду rank (M) = rank (1-N) = tr (1-N) = n-k.

тоді розподіл

 (63)

24. Незалежність оцінок  і S2

У припущенні нормального лінійної множинної регресійної моделі вдається довести незалежність оцінок  і S2.

Справді, з виразу (46) отримуємо

 . (64)

З рівнянь (64) і (62) видно, що випадкові вектори  і e мають спільне багатовимірне нормальний розподіл. Тому для того, щоб довести їх незалежність, досить показати їх некоррелірованні:

AM = (X'X)-1 X '(I - X (X'X)-1X ') = (X'X)-1X '- (X'X)-1X '(X'X)-1X '= 0,

тому (так як Ee = 0)

,

що й потрібно було довести.

Так як S2 є функцією від e (див. формулу (61)), то оцінки  також незалежні.




 Економетрія та її місце в ряду математико-статистичних та економетричних дисциплін |  Економетрична модель і проблеми економетричного моделювання |  Основні етапи і проблеми економетричного моделювання |  Модель парної регресії |  Метод найменших квадратів (МНК) |  Рівняння в відхиленнях |  геометрична інтерпретація |  Матрична форма запису |  Лінійна регресійна модель з двома змінними |  Основні гіпотези |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати