На головну

Рішення однорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь

  1.  A. Розділ біомеханіки, в якому досліджується рух крові по судинній системі.
  2.  ArcView GIS. Загальні відомості про систему
  3.  B. Процес, при якому для повернення системи в початковий стан потрібні витрати енергії.
  4.  C. Астигматизм, обумовлений асиметрією оптичної системи, сферична аберація, астигматизм косих пучків, дисторсия, хроматична абеpрація.
  5.  D. Міра невизначеності в системі
  6.  I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки
  7.  I. Структура на основних сетівні системи. Строеж на зрітелната і слуховата сетівна системи.

Розглянемо однорідну систему рівнянь:

Така система завжди сумісна, оскільки має нульове рішення

Однак, за певних умов вона може мати і нульове рішення.

Теорема (критерій ненульового рішення однорідної системи рівнянь). Для того, щоб однорідна система рівнянь мала нульове рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи був менше числа невідомих.

Будемо розглядати ненульові рішення системи як стовпці, що складаються з n елементів; позначимо їх

Лінійно незалежна система рішень  називається фундаментальною системою рішень, Якщо будь-яке інше рішення є лінійної комбінацією рішень

Теорема. якщо ранг r матриці системи однорідних рівнянь менше числа невідомих n, То ця система має фундаментальну систему рішень, яка складається з n-r лінійно незалежних рішень вихідної системи.

Загальне рішення однорідної системи рівнянь має вигляд:

 (10)

де  - Довільні числа.

Рішення системи, отримане із загального при фіксованих значеннях  , називається приватним.

приклад 4. 1) Вважаючи матрицю С4 ? 5 матрицею однорідної системи З · Х = 0, знайти:

а) фундаментальну систему рішень;

б) спільне рішення;

в) будь-яке приватне рішення.

Рішення. Вихідна система рівнянь має вигляд:

Перетворення матриці системи оформимо у вигляді таблиці (табл.).

С S  Примітки
 Помножимо другий рядок на -1
 дозволяє елемент а22= 1. Роздільну рядок (другу) залишаємо без змін. Всі елементи дозволяє стовпця (другого), крім а22, Замінюємо нулями. Інші елементи перетворимо за формулою (7)
 Помножимо перший рядок на -1, а четверту рядок на 1/2
 дозволяє елемент а13= 1. Роздільну рядок (першу) залишаємо без змін. Всі елементи дозволяє стовпця (третього), крім а13, Замінюємо нулями. Інші елементи перетворимо за формулою (7)

закінчення таблиці

 Перетворення закінчено. Отримано два рядки з нулів, всі інші рядки перетворені

а) З табл. 4 випливає, що ранг матриці С дорівнює r(C) = 2, так як є мінори другого порядку, відмінні від нуля, наприклад  а будь-які мінори третього і четвертого порядків дорівнюють нулю.

змінні системи х2, х3, Відповідні базисного мінору матриці А називаються базисними змінними, інші х1, х4, х5 - Вільними.

Система, рівносильна вихідної, має вигляд:

Залишаючи зліва базисні змінні х2 и х3, Відповідні лінійно незалежним стовпцями матриці А, І переносячи в праву частину рівнянь невідомі х1, х4, х5, Отримуємо:

б) Вважаючи вільні змінні рівними довільним констант х1= с1, х4= с4, х5 = з5, Отримуємо загальне рішення системи у вигляді:

Фундаментальну систему рішень утворюють три лінійно незалежних приватних рішення. Отримаємо ці рішення, задаючи системі констант (с1, с4, с5) Лінійно незалежні значення, наприклад, (1; 0; 0), (0; 1; 0),
 (0; 0; 1). Обчислення занесемо в таблицю (табл.).

х1 х2 х3 х4 х5
 -10  -8

Отже, фундаментальну систему складають три лінійно незалежних рішення:

Загальне рішення однорідної системи, згідно (10), має вигляд:

 де с1, с2, с3 - Довільні константи.

в) Приватне рішення можна отримати з загального рішення, надаючи певні значення довільним постійним. рішення  утворюють фундаментальну систему рішень, є приватними рішеннями цієї однорідної системи.

2) Вважаючи матрицю С4 ? 5 розширеної матрицею неоднорідної системи С * Х = С * * , де С = (С * ?С * * ), Вирішити цю систему, попередньо дослідивши її на спільність по теоремі Кронекера-Капеллі.

Рішення. неоднорідна система С * Х = С * *  має вигляд:

Щоб дослідити систему на спільність по теоремі Кронекера-Капеллі, потрібно перевірити рівність r(С * ) =r(С * ?С * * ). З табл. слід,
 що r (С * ) = r (С * ?С * * ) = 2, отже система сумісна.

Так як ранг матриці менше числа невідомих n = 4, то система є невизначеною. Безліч всіх рішень неоднорідної системи отримаємо, вирішивши рівносильну їй систему, отриману методом Жор-дана-Гаусса:

базисні змінні х2, х3 висловимо через вільні змінні х1, х4:

Вважаючи вільні змінні рівними довільним постійним х1= с1, х4= с4, Знаходимо спільне рішення неоднорідної системи у вигляді:

Елементи векторної алгебри в R3

Тривимірне векторне простір R3 є окремий випадок Rn при
n = 3. Декартов прямокутний базис в R3 утворюють три одиничних, взаємно перпендикулярних вектора

Сукупність початку координат (точки О) І декартова прямокутного базису називається декартовій прямокутній системою координат Oxyz.

Відповідно до формули (9) будь-який вектор в R3 можна розкласти єдиним чином по  т. е. у вигляді:

де ах - Координата вектора по осі ОХ;

ау - Координата вектора по осі ОY;

аz - Координата вектора по осі ОZ.

 Поряд з аналітичним завданням вектора як впорядкованої трійки чисел в R3 розглядають вектор як спрямований відрізок, що має початок і кінець. Кінець вектора відзначається стрілкою.

А - Початок вектора,

В - Кінець вектора.

довжина відрізка АВ називається модулем вектора і позначається  або .

Якщо відомі координати вектора  то модуль вектора обчислюється за формулою:

 (10)

Радіусом-вектором точки в декартовій прямокутній системі координат називається вектор, початок якого розташовано на початку координат, а кінець в даній точці А, Т. Е. Вектор

координатами точки А називаються координати її радіусу-вектора. якщо  то  координати точки А.

нехай вектор  причому задані координати точок А и В: и  Тоді координати вектора  рівні різниці однойменних координат кінця та початку:

 (11)

З (10) і (11) випливає формула для відстані між двома точками А и В:

 (12)

скалярним добутком векторів и  називається число (скаляр), що позначається  , Що дорівнює добутку модулів векторів на косинус кута між ними:

 (13)

де j - кут між векторами и .

У декартовій прямокутній системі координат скалярний добуток векторів обчислюється за формулою:

 (14)

 - Координати вектора ;

 - Координати вектора .

З (13) і (14) виходить формула для обчислення косинуса кута між двома векторами:

 (15)

вектори и  називаються ортогональними (позначаються  якщо кут j між ними дорівнює прямому, т. е. cosj = 0. Умова ортогональності векторів:

 (16)

Упорядкована трійка векторів  називається правою, якщо
 з кінця третього вектора  найкоротший поворот від першого вектора
 до другого  видно, що відбувається проти годинникової стрілки і називається лівої, Якщо такий поворот відбувається за годинниковою стрілкою.

векторним твором вектора  на вектор  називається вектор  такий що:

1)  т. е.  перпендикулярний площині векторів и

2) спрямований так, що трійка  - Права;

3) модуль вектора  дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах и  , Як на сторонах, т. Е.

 (17)

якщо  то для векторного твори справедлива формула:

 (18)

Змішаним твором впорядкованої трійки векторів  називається число (позначається (  )), Що дорівнює скалярному добутку векторного твори перших двох векторів на третій:

Змішане твір векторів по абсолютній величині дорівнює обсягу паралелепіпеда  , Побудованого на цих векторах як на сторонах, т. Е.

 (19)

якщо  то справедлива формула:

 (20)

вектори и  називаються колінеарними, Якщо вони лежать на одній або паралельних прямих. Умова коллінеарності векторів и :

1) у векторній формі  де l - скаляр;

2) в координатної формі  (21)

вектори  називаються компланарними, Якщо вони лежать в одній або паралельних площинах. Умова компланарності трьох векторів :

1) у векторній формі:  де l, m - числа;

2) в координатної формі:  (22)

Приклад 5. Дано координати вершин трикутної піраміди:
А1 (-1, 0, 1), А2 (2, 3, 1), А3 (0, -2, 2), А4 (1, -1, 5).

Потрібно знайти:

а) довжини ребер А1А2 и А1А3;

б) кут між ребрами А1А2 и А1А3;

j
 в) площа грані А1А2А3;

 Мал. 1
 г) обсяг піраміди А1А2А3 А4.

а) Використовуємо формули (11) і (12).

Визначимо координати векторів:

ребро

б) Кут між ребрами А1А2 и А1А3 розглядаємо як кут між векторами и

За формулою (15) для косинуса кута між двома векторами отримаємо:

в) Грань А1А2А3 є трикутник, площа якого дорівнює половині площі паралелограма А1А2А6А3, Побудованого на векторах
и  . За формулою (17):

Обчислимо векторний добуток векторів и  за формулою (18):

г) Обсяг трикутної піраміди  дорівнює 1/6 об'єму паралелепіпеда  , Побудованого на векторах , ,  як на сторонах. З властивостей змішаного твори слід, що:

 і, отже,

Визначимо координати вектора

За формулою (20) маємо

Елементи аналітичної геометрії в R3

Напрямних вектором прямої називається будь-який вектор  , Що лежить на цій прямій або їй паралельній і відмінний від нуль-вектора, т. Е. и

М (х, у, z)
 Рівняння прямої, що проходить через дану точку М0 з даними напрямних вектором  , має вигляд:

 (23)

де (x, y, z) - Координати поточної точки прямої; (x0, y0, z0) - Координати цієї точки на прямій; (m, n, p) - Координати направляючого вектора прямої.

 Якщо на прямій задані дві точки М1(x1, y1, z1) і М2(x2, y2, z2), То в якості направляючого вектора прямої можна взяти вектор :

Розглядаючи в якості даної точки точку М1 і використовуючи рівняння (23), отримаємо рівняння прямої, що проходить через дві дані точки:

 (24)

нехай пряма l1 має направляючий вектор  і пряма l2 - Спрямовує вектор .

Кут j між прямими l1 и l2 визначається як кут між їх напрямними векторами и  , За формулою (15) отримуємо:

 , якщо  т. е. за умовою коллінеарності (21)

Критерій перпендикулярності прямих  <=>  Тоді за умовою ортогональності векторів (16)

нормальним вектором площини (П) Називається будь-який вектор  , Перпендикулярний до площини і відмінний від нуль-вектора:
и

Рівняння площини, що проходить через дану точку М0 площині і має даний нормальний вектор  , має вигляд:

 (25)

де А, В, С - Координати нормального вектора ;

x0, y0, z0 - Координати цієї точки площині;

x, y, z - Координати поточної точки площині.

Якщо в рівнянні (25) розкрити дужки, то його можна записати в вигляді

 (26)

 Рівняння (26) називається загальним рівнянням площини.

три точки М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2) і М3(x3, y3, z3) (Що не лежать на одній прямій) визначають площину в R3. Рівняння такій площині можна отримати з умови компланарності (22) трьох векторів:

 (27)

тут x, y, z - Координати поточної точки М;

x1, y1, z1 - Координати цієї точки М1;

x2, y2, z2 - Координати цієї точки М2;

x3, y3, z3 - Координати цієї точки М3.

 Нехай площину П задана загальним рівнянням

Відстань від точки М0(x0, y0, z0)
 до площини П обчислюється за формулою:

 (28)

Кут між двома площинами, нормальні вектори яких и  , Обчислюється за формулою:

 (29)

Критерій паралельності площин:

Критерій перпендикулярності площин:

Приклад 5. Дано координати вершин трикутної піраміди
А1 (-1, 0, 1), А2 (2, 3, 1), А3 (0, -2, 2), А4 (1, -1, 5). Продовження завдання 5 пункти д-з.

Потрібно знайти:

д) рівняння прямих А1А2 и А1А3;

е) рівняння площин А1А2А3 и А1А2А4;

ж) кут між площинами А1А2А3 и А1А2А4;

з) висоту піраміди.

Рішення:

д) Для знаходження рівнянь прямих А1А2 и А1А3 використовуємо рівняння (24) прямої, що проходить через дві точки А1 (-1, 0, 1) і А2 (2, 3, 1):

А1А2:  або

Зауваження. ставлення  розуміємо в тому сенсі, що і чисельник цього відносини дорівнює 0 і означає z = 1 для кожної точки прямої. Це означає, що пряма А1А2 паралельна площині ОХУ і віддалена від цієї площини на відстань z = 1.

рівняння прямої А1А2 можна записати у вигляді:

 або як лінію перетину двох площин .

А1А3:  або

е) рівняння площин А1А2А3 и А1А2А4 отримаємо, використовуючи рівняння площини, що проходить через три дані точки А1 (-1, 0, 1),
А2 (2, 3, 1), А3 (0, -2, 2) формула (23):

 або

Розкладаючи визначник за елементами першого рядка, отримаємо:

Ділимо всі члени рівняння на 3 та розкриваємо дужки:

Остаточно рівняння площини А1А2А3 має вигляд:

Аналогічно складаємо рівняння площини А1А2А4.

А1 (-1, 0, 1), А2 (2, 3, 1), А4 (1, -1, 5)

 або

А1А2А4:

ж) Щоб визначити кут між площинами А1А2А3 и А1А2А4 потрібно знайти їх нормальні вектори. рівняння площини А1А2А3 з попередньої задачі має вигляд

Отже, нормальний вектор площини  має координати рівні коефіцієнтам при х, у, z в рівнянні площини,
 т. е.

З рівняння площини А1А2А4:  визначимо координати нормального вектора цієї площини

Використовуємо формулу (29):

з) Висоту піраміди (відрізок А4А5 (Рис. 1)) можна визначити як відстань точки А4 (1, -1, 5) до площини А1А2А3.

А1А2А3:

Крапка А4 (1, -1, 5).

У рівняння площини замість х, у, z підставимо координати А4 і поділимо .




 Матриці. Операції з матрицями |  Метод Жордана-Гаусса |  А) Вирішимо систему за формулами Крамера. |  В) Вирішимо систему методом Жордана-Гаусса. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати