На головну

N-мірне векторний простір. його базис

  1.  Базис у векторному просторі.
  2.  Базис в просторі і на площині. Розкладання по базису
  3.  Базис і координати вектора.
  4.  базис комунізму
  5.  Базис системи векторів. Координати вектора в даному базисі. Розкладання вектора по базису - існування і єдиність.
  6.  Базисних ТЕХНОЛОГІЯ КІС

n-мірним вектором називається впорядкована сукупність з n дійсних чисел:  а числа  називаються компонентами вектора.

n-мірний вектор можна розглядати як матрицю з одним рядком, тому операції з векторами вводять аналогічно матрицями:

нехай

під нуль-вектором розуміють

безліч n-мірних векторів з введеними операціями додавання і множення на число називають n-мірним векторних простором
 і позначають Rn.

лінійною комбінацією системи векторів  називають вираз виду:

де  - Деякі числа.

Якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нуль-вектору:

 (8)

і при цьому коефіцієнти ai не всі рівні нулю одночасно, то система векторів  називається лінійно залежною. Якщо рівність (8) можливо тільки тоді, коли всі коефіцієнти  то система векторів  називається лінійно незалежної.

Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один з них лінійно виражається через інші.

В просторі Rn існує система n лінійно незалежних векторів. Будь-яка система з (n+1) Векторів і більше лінійно залежна.

Таким чином, максимальне число лінійно незалежних векторів в Rn одно n. число n називають розмірністю простору Rn.

Будь-яка система з n лінійно незалежних векторів в Rn називається базисом.

Теорема (критерій базису в Rn). Для того, щоб система векторів  утворювала базис в Rn, Необхідно і достатньо щоб визначник, складений з координат цих векторів, був відмінний від нуля.

Якщо система векторів  утворює базис в Rn, То будь-який вектор  можна єдиним чином представити у вигляді лінійної комбінації векторів :

 (9)

Формула (9) називається розкладанням вектора  по базису  а числа  називаються координатами вектора  в цьому базисі.

Наведемо приклад одного базису в просторі Rn, званого канонічним базисом:

Приклад 3. Показати, що задана система векторів  утворює базис в просторі R3, Записати матрицю переходу від канонічного базису  до базису
 і розкласти вектор  по базису

Рішення. Згідно з теоремою (критерій базису в Rn), Система векторів  утворює базис, тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат векторів, відмінний від нуля. Обчислимо цей визначник:

Отже, система векторів  утворює базис в просторі R3. Матриця переходу від канонічного базису  до базису  складається з координат векторів  в базисі  записаних у відповідні стовпці, і має вигляд

розкладання вектора  по базису  згідно (9) шукаємо
 у вигляді:

Це векторне рівність еквівалентно системі рівнянь:

Оскільки визначник цієї системи відмінний від нуля, використовуємо для її вирішення формули Крамера:

Отже,

Зробимо перевірку, підставивши знайдене рішення у вихідну систему:

Таким чином, розкладання вектора  по базису  має вигляд:

 




 Матриці. Операції з матрицями |  Метод Жордана-Гаусса |  А) Вирішимо систему за формулами Крамера. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати