Головна

Матриці. Операції з матрицями

  1.  Активно-пасивні операції банків
  2.  Активні банківські операції (факторингові, банківська гарантія)
  3.  Активні операції банків
  4.  Активні операції комерційних банків та їх характеристика
  5.  Алгебраїчні операції.
  6.  арбітражні операції
  7.  Орендні і лізингові операції

число А називають межею функції f(x) при  (І пишуть  ), Якщо для будь-якого  знайдеться число  залежне від e, таке, що для всіх  , Що задовольняють умові  , Виконується нерівність

Функція a (x) називається нескінченно малої (Б.м.ф.) при (  якщо

функція f(x) називається нескінченно великий (Б.б.ф.) при  , (  якщо для будь-якого M> 0 знайдеться число  залежне від М, Таке, що для всіх  , Що задовольняють умові  , Буде вірно нерівність

Якщо функція a (x) Є нескінченно мала при  (або  то функція  є нескінченно великою, і назад, якщо функція f(x) Нескінченно велика функція при  , то  є нескінченно малою функцією.

якщо функції и  нескінченно малі при (  ),
 то щоб порівняти їх, потрібно обчислити межа їх відносини. нехай  тоді:

- при  називається нескінченно малою вищого порядку малості, ніж ;

- при и  одного порядку малості;

- при  нижчого порядку малості, ніж .

якщо  , То нескінченно малі и  називаються еквівалентними:

Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо кожну нескінченно малу функцію замінити на еквівалентну.

Приклади еквівалентних нескінченно малих функцій при

Теореми про границі:

1. (c= Const).

2. Якщо  то:

Перший чудовий межа:

Другий чудовий межа (число е = 2,718 ...):

 або

Щоб знайти межу елементарної функції  потрібно граничне значення аргументу підставити в функцію і порахувати. При цьому, якщо х=х0 належить області визначення функції, то значення межі буде знайдено, воно дорівнює значенню функції в точці х=х0. При обчисленні меж корисно використовувати такі співвідношення. якщо  то, з огляду на властивості Б.Б. і б.м. функцій, отримаємо:

 якщо  якщо a> 1.

Випадки, в яких підстановка граничного значення аргументу
 в функцію не дає значення межі, називають невизначеностями;
 до них відносяться невизначеності видів:

Усунути невизначеність можна за допомогою алгебраїчних перетворень або використовуючи правило Лопіталя.

правило Лопіталя. Границя відношення двох б.м.  або Б.Б.  функцій дорівнює границі відношення їх похідних (кінцевому або нескінченному), якщо останній існує:

 (5)

Щоб використовувати правило Лопіталя для розкриття невизначеностей інших типів, вираз під знаком межі слід перетворити елементарними способами так, щоб отримати невизначеність  або  і потім використовувати формулу (5).

завдання 7. Знайти межі, використовуючи правило Лопіталя або елементарні способи розкриття невизначеностей:

а) б) в)

Рішення.

а) Підставляючи в функцію замість х граничне значення  , Визначимо межа чисельника і знаменника.

 т. к.

аналогічно:

Маємо невизначеність виду  . Використовуємо правило Лопіталя:

б)

в)

Зауваження. Якщо, застосувавши правило Лопіталя, знову отримали невизначеність  або  , То знову застосовуємо правило доти, поки невизначеність не буде розкрита.

завдання 8. Побудувати графік функції  використовуючи загальну схему дослідження функції. Визначити абсолютний максимум
 і абсолютний мінімум функції на відрізку [-1, 2].

Короткі теоретичні відомості і зразок рішення прикладу зведені в таблицю 1.


Загальна схема дослідження і побудови графіка функції

 п / п  Короткі теоретичні відомості  приклад
Область визначення функції (о.о.ф.). Областю определеніяD (f) функції  називається безліч всіх  таких, що вираз f(x) Має сенс, т. Е. Взявши будь  і підставивши в f(x) Можна знайти відповідне значення функції f(x)  визначена для будь-якого х, Т. Е. О.о.ф.  або
2 Область безперервності функції. функція  називається безперервної в точці х0, Якщо вона: 1) визначена в точці х0; 2) має кінцевий межа при  ; 3) ця межа дорівнює значенню функції в цій точці Функція називається неперервною на деякому проміжку Х, Якщо вона неперервна в кожній точці цього промежутка.Точка х0 називається точкою розриву функції, якщо в цій точці не виконана хоча б одна з умов 1-3 безперервності функції. Все елементів-тарні функції безупинні у всіх точках, де вони визначені.  Так як функція  визначена на всій числовій осі, то вона і неперервна для будь-якого Точок розриву немає.
 Дослідити функцію на парність, нечётность.Функція  називається парної, якщо  , Її графік симетричний відносно осі ОY.Функція  називається непарної, якщо  , Її графік симетричний відносно початку координат. Решта функцій називаються функціями загального вигляду.  - Загального вигляду

 

Продовження таблиці

Визначити (якщо можливо) точки перетину графіка функції з осями координат. Для цього вирішити системи: Перетин з віссю OY  перетин з віссю ОХ рішення утруднено.
5 Визначити асимптоти графіка функції. асимптотой кривої  називається пряма l, Таке, що відстань точки  від цієї прямої прямує до нуля при необмеженому видаленні точки по кривій від початку координат. Розрізняють вертикальні і похилі асімптоти.Прямая  є вертикальною асимптотой графіка функції  , якщо х0 є точка нескінченного розриву функції, т. е. якщо хоча б один з односторонніх меж функції пряма  є похила асимптота графіка функції  , якщо  причому обидва межі існують і кінцеві.  Т. к. Функція  не має точок розриву, то вертикальних асимптот у графіка функції немає. Похилих асимптот немає.
Визначити інтервали монотонності і точки локального екстремуму функції. функція  називається зростаючої на (а, b)  якщо для  функція  називається спадної на (а, b)  якщо для  Функція називається монотонної на (а, b), Якщо  тільки  чи тільки  на (а, b) .Якщо Для всіх  то  на (а, b).
 
 Якщо для всіх  то  на (а, b).

а) Визначимо критичні точки: б) О.о.ф. знайденими критичними точками розбиваємо на інтервали і визначаємо знак  всередині кожного
 Крапка  називається точкою локального максимуму (max), [мінімуму (min)] функції  , Якщо існує певний інтервал  що містить точку х0 такий, що для всіх Точки локального максимуму і локального мінімуму називаються точками локального екстремуму функціі.Необходімое умова екстремуму. якщо х0 точка локального екстремуму неперервної функції  , То її перша похідна  в точці х0 або дорівнює нулю, або НЕ существует.Точкі, в яких  або  не існує, називаються критичними точками. Перше достатня умова екстремуму: якщо при переході через критичну точку х0 знак  ізменілсяс «+» на «-», то в точці х0 локальний максимум; з «-» на «+», то в точці х0 локальний мінімум; якщо знак  не змінився, то в точці х0 екстремуму немає.
Продовження таблиці
 інтервалу. Результати оформимо в таблиці.

х  -2  (-2; 0)
+ - +

 Визначити інтервали опуклості функції, точки перегібаФункція  називається опуклою вгору [вниз  ] На інтервалі (а, b), Якщо для будь-яких  виконується нерівність: Точки, що розділяють інтервали опуклості, називаються точками перегину.Якщо  всюди на (а, b), То функція  опукла вниз (  ) На (а, b) .Якщо  всюди на (а, b), То функція  опукла вгору  на (а, b).
 

а) Визначимо точки, підозрілі на перегин: б) О.о.ф. знайденими точками розбиваємо на інтервали, визначаємо знак  всередині кожного інтервалу.  
  Необхідна умова перегину: якщо х0 - Абсциса точки перегину безперервної функції  , то  або  не існує.Достатня умова точки перегину: нехай  або  не існує. Тоді якщо при переході через х0 знак другої похідної  змінився, то  точка перегину графіка функції (при цьому  існує).
закінчення таблиці

х  -1
- +

8 Побудувати графік. Для побудови графіка можна взяти кілька додаткових точок (-3,1), (1, 5).  
 Абсолютним (або глобальним) екстремумів функції називається найбільше (абсолютний максимум) або найменше (абсолютний мінімум) значення функції в області.Якщо функція неперервна на відрізку [a, b], То вона завжди має на цьому відрізку абсолютний максимум і абсолютний мінімум.Абсолютний екстремум може бути або в точках локального екстремуму I [a, b] Або в кінцевих точках отрезка.Еслі диференціюється функція на інтервалі (а, b) Має єдину точку локального екстремуму, то ця точка буде і точкою абсолютного екстремуму функції на (а, b). приклад.  на 1; 2]  отже:  - Абсолютний мінімум;  - Абсолютний максимум  функції на [-1; 2].

Матриці. Операції з матрицями

матрицею розміру m?n називається впорядкована таблиця, складена з чисел, розташованих в m рядках і n шпальтах. позначаються матриці А, В, С і т. д. Елемент матриці, що знаходиться в рядку з номером i і стовпці з номером j, позначається аij. якщо m = n, То матриця називається квадратної порядку n.

Твором матриці А на число l називається матриця С того ж розміру, кожен елемент якого дорівнює добутку відповідного елемента матриці А на число l:

сумою двох матриць А и В однакових розмірів називається матриця С того ж розміру, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А и В:

множення матриці А на матрицю В визначено, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої. Тоді твором матриці Аm?k на матрицю Вk?n називається матриця Сm?n, Кожен елемент якої сij дорівнює сумі добутків елементів iго рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В:

Зведення квадратної матриці А в цілу позитивну ступінь p(p > 1):

матрицею, транспонованою до матриці А, Називається матриця, утворена з матриці А заміною її рядків відповідними стовпцями. Транспонована матриця до матриці А позначається АТ.

Будь-якої квадратної матриці А порядку n ставиться у відповідність
 за певним законом деяке число, яке називається визначником того ж порядку матриці A і позначається ?А?.

Визначник першого порядку дорівнює самому числу.

Визначник другого порядку визначається рівністю:

 (1)

Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою:

 (2)

мінором елемента aij визначника n-го порядку називається визначник (n-1) -го Порядку, отриманий з вихідного визначника шляхом викреслювання iго рядка і j-го стовпчика. позначається мінор Мij.

алгебраїчним доповненням елемента aij визначника називається його мінор, помножений на (-1)i+j, Т. Е. Аij:

Аij = (-1)i+j· Мij,

де Аij - Алгебраїчне доповнення елемента аij.

Формулу (2) можна записати таким чином:

одиничної називається квадратна матриця порядку n, У якій елементи головної діагоналі а11, а22, ..., аnn рівні 1, а інші елементи рівні 0. Нехай Е - одинична матриця. При множенні матриці А на Е зліва чи справа виходить матриця А: АЕ = ЕА = А.

матриця А-1 називається зворотного до квадратної матриці А, Якщо виконуються умови: А · А-1 = А-1·А = Е.

Зворотній матриця до квадратної матриці А існує тоді і тільки тоді, коли визначник матриці А не дорівнює нулю, т. е.  При цьому

 (3)

де А *  - Матриця, в якій кожен елемент матриці А замінений його алгебраїчним доповненням. Така матриця називається приєднаної
 до матриці А.

Приклад 1. дана матриця  знайти матрицю

Рішення. визначимо матрицю С2:

Транспоніруем матрицю С:

і знайдемо твір 2СТ:

визначимо С-1 за формулою (3):

Обчислимо визначник матриці С:

отже, С-1 існує. Визначимо алгебраїчні доповнення елементів матриці С і приєднану матрицю С * :

 тоді  і зворотна матриця С-1:

Перевіримо правильність знаходження С-1. Для цього перемножимо отриману матрицю на дану матрицю С зліва і справа і переконаємося, що виходить одинична матриця:

 матриця С-1 визначена правильно.

Знайдемо твір матриці С-1 на 3:

Остаточно отримаємо:

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Мінором порядку k матриці А називається визначник порядку k матриці, складений з елементів матриці А, Що стоять на перетині довільних k рядків і k стовпців.

рангом матриця називається число r, Таке, що виконуються умови:

1) існує мінор порядку r, Що не рівний нулю;

2) все мінори більшого порядку, починаючи з (r+1), Дорівнюють нулю.

Ранг матриці А позначається r(А). Ранг матриці - це найбільший порядок її мінору, що не рівного нулю. Цей мінор називається базисним.

Елементарні перетворення, що не міняють рангу матриці:

1) перестановка рядків (стовпців) місцями;

2) транспонування;

3) викреслювання рядка (стовпчика), всі елементи якої дорівнюють нулю;

4) множення будь-якої рядки (шпальти) на число, відмінне від нуля;

5) додаток до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпчика), помножених на будь-яке число.

Розглянемо систему m рівнянь з n невідомими:

 (4)

Позначимо матрицю з коефіцієнтів при невідомих:

 її називають головного датчика системи.
,

 - Стовпець вільних членів,  - Стовпець невідомих,

 - Розширена матриця системи.

Систему рівнянь (4) можна записати в матричному вигляді:

А · Х = В. (4/)

сукупність чисел d1, d2, ..., dn, Звертають всі рівняння системи (4) в тотожності, називається рішенням системи.

Система рівнянь сумісна, Якщо вона має хоча б одне рішення, і несовместна, Якщо вона не має рішення.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, Якщо безлічі їх рішень збігаються.

Елементарні перетворення системи рівнянь, що переводять
 її в рівносильну систему:

1) перестановка місцями будь-яких двох рівнянь;

2) множення обох частин будь-якого рівняння на число, відмінне
 від нуля;

3) додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на одне і те ж число.

Система рівнянь називається неоднорідною, якщо и однорідної, якщо В = 0.

Система рівнянь називається певної, Якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, Якщо вона має безліч рішень.

Дослідження системи рівнянь на сумісність засноване на наступній теоремі:

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система рівнянь
с n невідомими була сумісна, необхідно і достатньо щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці системи,
 т. е. r(А) = r(А?В) = r.

При цьому:

1) якщо r = n, Система визначена;

2) якщо r<n, Система не визначена.

Розглянемо наступні методи рішення СЛАР: метод Крамера, матричний метод, метод Жордана-Гаусса.




 А) Вирішимо систему за формулами Крамера. |  В) Вирішимо систему методом Жордана-Гаусса. |  N-мірне векторний простір. його базис |  Рішення однорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати