Головна

Властивості (множення матриць).

  1.  III. Загальні хімічні властивості металів
  2.  V. Хімічні властивості деяких сполук неметалів
  3.  VII. Хімічні властивості алюмінію
  4.  АДАПТИВНІ властивості ЮНОЗІМОВ
  5.  Аксіоматичні теорії. Визначення та властивості обчислення висловлювань.
  6.  Алгоритм і його властивості
  7.  АЛГОРИТМ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

1) Асоціативність множення матриць, тобто,  справедливо .

Доведення. З визначення 5 випливає, що елемент  матриці  дорівнює  , А елемент  матриці  дорівнює  . рівність  випливає з можливості зміни порядку підсумовування.

2) Дистрибутивність складання відносно множення, тобто,

, .

, .

Доведення випливає з визначення суми і твори матриць.

3) .

Доведення. нехай  , і  . тоді  . тут  - Символ Кронекера.

.

4) .

5) .

Доведення властивостей 4) -5) проводиться аналогічно властивості 3).

6) .

Теорема 2. безліч  квадратних матриць порядку  над кільцем  щодо операцій додавання матриць і множення матриць утворює кільце з одиницею.

Доведення. З теореми 1  - Абелева група. Так як будь-які матриці з  узгоджені  множення визначено. Дистрибутивність і асоціативність множення випливає з властивостей 2) і 1). Властивість 3) демонструє наявність одиниці. ¦

Зауваження. У загальному випадку твір матриці не коммутативно. наприклад,

.

Але з властивостей 4) і 5)  множення квадратної матриці на и  комутує. Також комутує множення квадратної матриці на скалярну.

3о. Блокові матриці.

нехай матриця  за допомогою горизонтальних і вертикальних прямих розбита на окремі прямокутні клітини, кожна з яких є матрицею менших розмірів і називається блоком вихідної матриці. В цьому випадку  розглядається як деяка нова, блокова матриця  , Елементами якої є блоки  зазначеної матриці (  - Елементи матриці, тому  заголовної). тут  - Номер блокової рядки,  - Стовпчика.

Наприклад, якщо

 , то ,

, , .

Чудовим є факт, що операції з блочними матрицями здійснюються за тими ж правилами, що і звичайними, тільки в ролі елементів виступають блоки. Дійсно, якщо  , то  , де  обчислюється за звичайним правилом множення матриці на число. Аналогічно, якщо и  мають однакові порядки і однаковим чином розбиті на блоки, то сумі  відповідає блокова матриця : .

для множення  на  необхідно узгодити їх розбиття на блоки, тобто число стовпців кожного блоку  дорівнює числу рядків блоку  . тоді .

Для доказу необхідно розписати праву і ліву частини в термінах звичайних елементів матриць  . нехай  . якщо  , то и  , Звідки випливає, що

 , що й потрібно було довести.

приклад. нехай ,  , Тобто,

, ,

де

,

.

тоді  . Аналогічно знаходяться інші  . В результаті отримуємо

.

Як застосування блокових матриць розглянемо

Визначення 6. прямий сумою квадратних матриць  порядків  відповідно називається квадратна матриця  порядку : .

позначення: .




 Окремі випадки матриць. |  Властивості (складання матриць). |  Властивості (множення матриці на елемент кільця). |  Приклад. |  Приклад. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати