Головна

Москва 2003

  1.  IT інженер, досвідчений практик фази. Москва, Росія
  2.  Андрій Рубльов. Трійця. Ок. 1411. ГТГ, Москва
  3.  БОРОДИНО І МОСКВА
  4.  Глава 3 Війна. Пошуки житла. Під Коломна. Знову Москва. евакуація
  5.  Да'Арія (Земля), Славія (ЕвроАзия), Русь, Москва
  6.  Як Ви ставитеся до ідеї "Москва - третій Рим"?
  7.  Кіномеханік, досвідчений практик фази. Москва, Росія

ТЕМА 1

(Матриці, визначники, матричні рівняння)

дано матриці .

знайти

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. Перевірити, що .

9. Перевірити, що .

10. Обчислити .

11. Дано  . знайти .

12. Розв'язати рівняння (х - невідоме число)

.

13. Дана матриця  . знайти .

14. Вирішити матричне рівняння

,

де ,  - Невідома матриця .

15. Вирішити матричне рівняння

,

де ,  - Невідома матриця .

16. Вирішити матричне рівняння

,

де ,  - Невідома матриця .

17. Вирішити матричне рівняння

,

де ,  - Невідома матриця .

18. Вирішити матричне рівняння

,

де ,  - Невідома матриця .

19. Вирішити матричне рівняння

,

де ,  - Невідома матриця .

20. Вирішити матричне рівняння

,

де ,  - Невідома матриця .

21. Довести, використовуючи властивості визначника, що

.

Тема 2

(Системи лінійних рівнянь)

1. Вирішити систему методом зворотної матриці

2. Вирішити систему методом Крамера

3. Вирішити систему методом Крамера (х, у - невідомі), потім з'ясувати при якому значенні параметра р буде виконано рівність х + 2у = 4.

4. При яких значеннях параметра  для вирішення системи можна застосувати метод Крамера?

5. Вирішити систему методом зворотної матриці, методом Крамера та методом Гаусса

6. Вирішити систему методом Гаусса

7. Вирішити систему методом Гаусса

8. Вирішити систему методом Гаусса

9. Вирішити систему методом Гаусса

10. Скільки рішень має система?

11. Скільки рішень має система?

12. При яких значеннях параметра  система  має єдине рішення?

13. Чи має система однорідних лінійних рівнянь нетривіальне (нульове) рішення?

14. При яких значеннях параметра  система має нетривіальне рішення?

Тема 3

(Лінійна залежність і незалежність безлічі стовпців (рядків). Базис в безлічі стовпців (рядків). Ранг безлічі стовпців (рядків). Теорема про ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.)

1. Дан набір стовпців: .

а) Чому ці стовпці лінійно залежні (це можна сказати відразу)?

б) лінійно висловити останній рядок через інші.

в) Чи є лінійно незалежними перші три стовпці?

г) Чи є лінійно незалежними 1-ий, 2-ий і 4-й стовпець?

2. Дано безліч рядків:

Визначити ранг цієї множини.

3. Дана матриця:  . Знайти її ранг.

4. Знайти ранг матриці: .

5. Чому система лінійних рівнянь  завжди сумісна (незалежно від значень коефіцієнтів  )?

6. Довести, що визначник

7. Знайти всі базиси в безлічі стовпців:

Тема 4

(Вектори, скалярний, векторний, мішаний добуток)

1. Дано координати точок на площині  . знайти

а) координати вектора ,

б) координати точки  - Середини відрізка ,

в) координати точки  , якщо ,

г) координати точки  , якщо ,

д) координати точки  , якщо .

2. Дано координати векторів

Знайти а) координати ,

б) координати ,

в) координати .

3. Дано довжини векторів і кут між ними

Знайти а) скалярний добуток ,

б) скалярний добуток ,

в) довжину вектора ,

г) проекцію вектора на напрямок іншого вектора ,

д) кут між векторами и .

4. Дано координати векторів

Виконати завдання пунктів а) - д) попередній задачі.

5. При якому значенні параметра  вектори и  будуть перпендикулярні?

6. При яких значеннях и  вектори и  будуть паралельні?

7. Дано довжини векторів і кут між ними

Знайти а) довжину векторного твори ,

б) довжину векторного твори .

8. Дано координати векторів

Знайти координати векторного твори .

9. Дано координати вершин трикутника на площині

 . Знайти площу трикутника .

10. Дано координати вершин трикутника в просторі

 . Знайти площу трикутника .

11. Дано координати векторів в просторі

Знайти мішаний добуток .

12. Дано координати вершин піраміди в просторі

 . Знайти а) обсяг піраміди ,

б) довжину висоти .

13. При якому значенні параметра  вектори , ,  будуть компланарність?

14. При якому значенні параметра  точки  лежатимуть в одній площині?

Тема 5

(Пряма на площині)

1. Знайти координати нормального вектора до прямої

а) ,

б) ,

в) .

2. Знайти кутовий коефіцієнт прямої

а) ,

б) .

3. Отримати параметричні рівняння прямої .

4. Отримати а) канонічне рівняння,

б) параметричні рівняння,

в) нормальне рівняння,

г) рівняння з кутовим коефіцієнтом

прямий  , якщо .

5. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А (2; -1) паралельно прямій .

6. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А (2; -1) перпендикулярно прямий .

7. При якому значенні  прямі и  будуть паралельні?

.

8. При якому значенні  прямі и  будуть перпендикулярні?

.

9. Знайти координати точки  перетину прямих

10. Дано координати вершин трикутника .

.

Знайти а) рівняння сторони ,

б) рівняння висоти  , Опущеною з вершини ,

в) координати точки  - Підстави висоти ,

г) рівняння медіани ,

д) кут між висотою  і медіаною ,

е) відстань від точки  перетину и  до сторони ,

ж) площу трикутника .

11. Знайти координати точки  , Симетричною точці  відносно прямої .

Тема 6

(Площину і пряма в просторі)

1. Знайти рівняння площини, що проходить через точку  перпендикулярно вектору .

2. Знайти рівняння площини, що проходить через три точки .

3. Знайти канонічні і параметричні рівняння прямої, що проходить через точку  паралельно вектору .

4. Знайти канонічні і параметричні рівняння прямої, що проходить через точки и .

5. При якому значенні  площині и  будуть перпендикулярні?

6. При яких значеннях и  площині и  будуть паралельні?

7. Знайти рівняння площини, що проходить через точку  паралельно площині .

8. Знайти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку  паралельно прямий . .

9. При яких значеннях  площині  мають тільки одну спільну точку? .

10. Знайти координати точки  перетину прямої і площини .

11. Знайти об'єм піраміди, яку площину  відсікає від першого координатного октанта .

12. За яких и  площину  і пряма  будуть перпендикулярні?

13. Знайти відстань між площиною і паралельної їй прямий .

14. Знайти параметричні рівняння прямої, по якій перетинаються площини .

15. Знайти координати точки, симетричної точці  відносно площини .

16. Знайти координати точки, симетричної точці  відносно прямої .

17. Дано координати вершин піраміди в просторі

 . Знайти кут між площинами и .

18. Знайти рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі

.

19. Знайти параметричні рівняння прямої що проходить через точку  паралельно лінії перетину площин и .

Тема 7

(Канонічні рівняння і типи кривих другого порядку. Канонічні рівняння і типи поверхонь другого порядку.)

1. Визначити тип кривої другого порядку

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

ж) .

2. Зрушенням системи координат привести рівняння кривої другого порядку до канонічного виду, визначити тип кривої

а) ,

б) ,

в) .

3. Визначити тип поверхні другого порядку

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

е) ,

ж) ,

з) ,

і) .

4. Зрушенням системи координат привести рівняння поверхні другого порядку до канонічного виду, визначити тип кривої

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Тема 8

(Загальне поняття лінійного простору. Базис і розмірність лінійного простору. Загальне поняття координат в даному базисі. Матриця переходу від базису до базису.)

1. Перевірити, що безліч всіх многочленів, ступеня не вище другого, є лінійним простором. Визначити розмірність цього простору.

2. Знайти матрицю переходу від базису  до базису  в лінійному просторі матриць .

3. Знайти матрицю переходу від базису  до базису  в просторі всіх многочленів, ступеня не вище другого.

4. Знайти матрицю переходу від базису  до базису  в просторі всіх многочленів, ступеня не вище другого.

5. У просторі всіх геометричних векторів на площині знайти координати вектора  в базисі  . (  - Декартовий базис)

6. У просторі всіх многочленів, ступеня не вище другого знайти координати  в базисі  . (Використовувати завдання 4.)

7. Перевірити, що безліч всіх рішень (кожне рішення - у вигляді стовпчика чисел) системи лінійних однорідних рівнянь утворює лінійний простір. Визначити базис і розмірність простору рішень для системи .

 



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати