На головну

Математичне сподівання СВ і його властивості

  1.  III. Загальні хімічні властивості металів
  2.  V. Хімічні властивості деяких сполук неметалів
  3.  VII. Хімічні властивості алюмінію
  4.  АДАПТИВНІ властивості ЮНОЗІМОВ
  5.  Аксіоматичні теорії. Визначення та властивості обчислення висловлювань.
  6.  Активне і пасивне очікування
  7.  АЛГОРИТМ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Якщо дві попередні характеристики положення знаходять досить обмежене становище, то математичне очікування (МО) є найважливішою характеристикою стану, Тим параметром закону розподілу, без якого не обходиться жоден аналіз випадкових величин.

Математичне сподівання є середнім значенням СВ (центром розподілу СВ) і позначається - М [Х] або mХ.

статистичної аналогією МО є, так зване, «Середнє статистичне» ( «вибіркове середнє»), Яке є ніщо інше, як середнє арифметичне спостерігалися емпіричних значень СВ - М [Х] *  або mХ * .

Приклад 28.

Знайти середній бал, отриманий студентами на іспиті на підставі наявного статистичного ряду (табл. 9):

Таблиця 9 Статистичний ряд екзаменаційних оцінок

 екзаменаційна оцінка
 Частота (число отриманих оцінок)

Середнє статистичне значення (а їм і є в цій задачі середня екзаменаційна оцінка) знаходимо як середнє арифметичне. Для цього необхідно врахувати кількість повторень кожної оцінки (позначимо їх буквою Х):

mХ * . =

Грунтуючись на цьому прикладі, можна записати формулу обчислення середнього статистичного значення:

mХ * =  , (19)

де ni - Частота повторення варіанти хi ;

N -загальне число спостережень:

рi *  - Статистична ймовірність (частость) для i-й варіанти.

У тому випадку, якщо для СВ отримано групувати статистичний ряд для обчислення середнього статистичного значення можна користуватися формулою (19), враховуючи, що в ній хi -середнє значення СВ в розряді (його іноді позначають як і називають «представником розряду»), а k - Число розрядів.

Відповідно до закону великих чисел при необмеженому збільшенні числа дослідів частости рi *  як завгодно мало відрізнятимуться від теоретичних ймовірностей рi.

Математичне сподівання дискретної СВ обчислюється як сума добутків всіх n можливих значень хi цієї СВ на ймовірності pi цих значень:

. (20)

Приклад 29.

Є ряд розподілу випадкової величини Х - оцінок, отриманих на іспиті (табл. 10). Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.

Таблиця 10. Ряд розподілу оцінок на іспиті

оцінка
імовірність  0,1  0,5  0,3  0,1

Рішення. За формулою (20) М [Х] = 2 · 0,1 + 3 · 0,5 + 4 · 0,3 + 5 · 0,1 = 3,4.

формулу обчислення МО безперервної СВ можна отримати з формули (20), замінивши суму інтегралом, дискретне значення хi - Безперервним значенням х,ймовірністьрi - Елементом ймовірності ХF (х).

 (21)

де f (x) - Щільність розподілу неперервної випадкової величини Х.

Зв'язок між МО і середнім статистичним значенням виражає закон великих чисел: при необмеженому збільшенні кількості дослідів середнє статистичне значення як завгодно мало відрізняється від математичного очікування.

Цей висновок можна поширити і на інші параметри законів розподілу: при необмеженому збільшенні кількості дослідів будь статистична характеристика як завгодно мало відрізняється від відповідного їй теоретичного параметра закону розподілу.

Властивості математичного очікування:

1. Математичне сподівання - невипадкова величина, Так як є характеристикою справжніх законів, що існують у природі.

2. МО може приймати позитивне, негативне, нульове значення.

3. фізична аналогія МО - абсциса центру мас системи матеріальних точок. Це важлива властивість випливає з формули (20): якщо розглянути навантажений стрижень (рис. 50), в якому хi- Координати прикладання навантажень, рi -навантаження у відносних одиницях, то mХ -абсциса центру мас (точка докладання рівнодіюча навантаження).

За кривою розподілу СВ або по гістограмі можна приблизно визначити математичне очікування (середнє статистичне значення), «на око» знайшовши точку, відповідну центру ваги плоскої однорідної фігури, що повторює за формою цю криву або гістограму.

4. МО має ту ж саму розмірність, Що і випадкова величина.

5. МО невипадковою величини З одно цієї невипадковою величиною: М [З] = С.

Доведення (На прикладі дискретної СВ): Якщо використовувати формулу (20) для одного значення СВ (у невипадковою величини є тільки одне значення), яке вона обов'язково (з ймовірністю дорівнює одиниці) приймає, отримаємо: М [З] = С · 1 = С .

6. Невипадково величину можна виносити за знак МО: М [СХ] = С М [Х].

Доведення (На прикладі дискретної СВ): Якщо використовувати формулу (20), отримаємо: М [СХ] = (Сх1р1 + Сх2р2 + Сх3 р3 + .... + Схn рn) =

C (х1р1 + х2р2 + х3 р3 + .... + Хn рn) = C М [Х].

Приклад 30. .

7. МО суми випадкових величин дорівнює сумі МО цих величин:

 . (22)

 Доведення проведемо на прикладі двох дискретних ВВ - Х і Y. Ці дві СВ утворюють систему, ряд розподілу якої можна представити у вигляді таблиці (табл.11). Випадкова величина Х приймає одне з k можливих значень: х1, х2, х3... хi... хk, аслучайно величинаY - одне з l можливих значень: y1, y2, y3... yj ... yl . імовірність рij - Це ймовірність того, що випадкові величини одночасно візьмуть два відповідних значення: Х = хi и Y = yj.

Використовуючи формулу (20), отримуємо:

М [Х + Y] = .

У першому з двох доданків xi не залежить від числа j і його можна винести за знак однієї з сум. Аналогічно в другому доданку можна вчинити з yj:

М [Х + Y] = .

В останньому виразі = pi1 + pi2 + pi3 + ... + Pil - Ймовірність того, що величина X приймає значення xi, величина Y - Значення y1, y2, y3... yi... yl, Т. Е. Величина Xприймає значення xi, А величина Y - Будь-який з можливих для нього значень. Тому ця сума є ймовірністю того, що величина Xприймає значення xi. Цю ймовірність можна позначити, як qj.

аналогічно  . тоді

М [Х + Y] = = М [Х] + М [Y].

Таблиця 11. Ряд розподілу для системи двох дискретних ВВ

 випадкові величини х1 х2 х3  .... хi  ..... хk
y1 р11 р21 р31  .... pi1  .... pk1
y2 р12 р22 р32  .... pi2  .... pk2
y3 р13 р23 р33  .... pi3  .... pk3
 .....  .....  .....  .....  ....  .....  ....  .....
yj p1j p2j..... p3j.....  .... pij.....  .... pkj.....
 ......  .....  .....  .....  ....  .....  ....  .....
yl p1l p2l p3l  .... Pil  .... pkl

Для трьох СВ можна записати М [X + Y + Z] = М [(X + Y) + Z], Т. Е. Уявити суму трьох доданків у вигляді суми двох і т. Д. Що в підсумку дозволяє обгрунтувати вираз (22).

Приклад 31. знайти M [3X - 5Y],еслі mx = 3, my = 4.

M [3X - 5Y] = М[3Х]+ М[-5Y] =3М [Х] +(-5)М [Y] =3 · 3 - 5 · 4 = -11.

8. МО твори незалежних СВ дорівнює добутку їх математичних очікувань:  (23)

 Доведення як і в попередньому випадку проведемо на прикладі двох дискретних ВВ - Х і Y (табл. 11). Так як величини Х і Y незалежні, то ймовірність рij спільного появи значень хi и yj за формулою множення незалежних подій дорівнює добутку ймовірності рi прийняття випадковою величиною Х значення хi наймовірності qj прийняття випадковою величиною Y значення yj: рij = piqj .

З урахуванням цього отримуємо:

М [ХY] = = = М [Х] М [Y].

За аналогією з властивістю 7 властивість 8 може бути поширене на будь-яку кількість співмножників.

Визначення ймовірності твори залежних СВ буде розглянуто в подальшому - після знайомства з поняттям кореляція.




 В. л. Вязігін |  Вступ. Значення дисципліни для інженерів-електриків |  Класична формула визначення ймовірності події |  Геометрична формула визначення ймовірності події |  Статистична формула визначення ймовірності події |  Умовна ймовірність події |  Формули множення ймовірностей |  слідство 3 |  Формули додавання ймовірностей |  Визначення ймовірності хоча б однієї події |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати