На головну

Формула Бернуллі (приватна теорема про повторення дослідів)

  1.  II закон термодинаміки. Теорема Карно-Клаузіуса
  2.  А) Вирішимо систему за формулами Крамера.
  3.  Автокореляційна функція і теорема Вінера-Хинчина
  4.  Барометрична формула.
  5.  Біноміальна випадкова величина (закон Бернуллі).
  6.  У цьому випадку, якщо проект передбачає виробництво декількох видів продукції, тоді формула (14.24) не змінюється, а всі вхідні в неї величини беруться з усього проекту.
  7.  Імовірність протилежної події. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

приклад 23

Є три лотерейні квитки. Імовірність виграшу для будь-якого квитка однакова і дорівнює р. Імовірність того, що квиток не виграє q = 1 - p - Як ймовірність протилежної події. Визначити ймовірність того, що з трьох квитків виграють рівно два.

Шукану ймовірність позначимо .

Цікавить нас подія відбудеться, якщо виграє перший І другий квиток І не виграє третій АБО не виграє перший квиток І виграють другий І третій АБО не виграє другий квиток І виграють перший І третій. Імовірність кожного з цих варіантів може бути знайдена за формулою множення, а відповідь підрахований за формулою додавання для несумісних подій:

 = Ppq + qpp + pqp = 3p2q.

Аналізуючи рішення задачі, з'ясовуємо, що вона була вирішена в наступному порядку:

- Складені різні варіанти здійснення даного події;

- Підраховано кількість цих варіантів;

- Визначена ймовірність появи події, шляхом здійснення будь-якого варіанту;

- Знайдена шукана ймовірність шляхом множення ймовірності появи події по одному з варіантів на загальну кількість варіантів.

Фактично, завдання було вирішено по, так званій, формулою Бернуллі. Запишемо її в загальному вигляді.

Нехай проводиться серія з n дослідів (випробувань). Досліди проводяться неодноразово, незалежно один від одного і в однакових умовах, так що ймовірність появи події А від досвіду до досвіду не змінюється і дорівнює р. Позначимо вірогідність не появи події А в одному опите- q = 1-p. Потрібно визначити ймовірність того, що в серії з n дослідів подія А повториться k раз - позначимо цю подію як В.

подія В може здійснитися різними способами (варіантами). Наприклад, таким:

 або таким:

 Важливим є те, що в будь-якому варіанті кількість появ події А одно n, А кількість появи події одно n - k, Хоча з'являтися і не з'являтися вони будуть в різних варіантах в різній послідовності.

Для визначення числа подібних варіантів можна скористатися формулою комбінаторики - Числом сполучень з n елементів по k.

сполучення - Це такі комбінації з k об'єктів (елементів), вибраних з деякого безлічі в n об'єктів, які містять однакове число об'єктів, але відрізняються один від одного хоча б одним з них.

Число сполучень з n елементів по kпозначається, як  і може бути знайдено за формулою: = .(15)

Важливим властивістю визначення числа поєднань є наступне:

= .

У розглянутій задачі елементами, що відрізняються один від одного, є номери дослідів. Загальна кількість варіантів одно .

Імовірність появи події А n раз для кожного варіанта однакова і може бути знайдена за формулою множення ймовірностей виходячи з фрази «Подія А сталося k раз і не відбулося n - k раз »: pkqn - k

Підсумовуючи ці однакові ймовірності  раз отримуємо формулу, яка називається формулою Бернуллі:

= pkqn-k. (16)

Необхідно пам'ятати, що р - це ймовірність появи цікавить нас в досвіді, а q - ймовірність непоявленія цієї події в досвіді.

Формула Бернуллі. (Якоб Бернуллі досліджував її в своїй книзі «Мистецтво припущень») також називають приватної теоремою про повторення дослідів. Це означає, що кожний наступний досвід проводиться при тих же умовах, що і всі попередні, т. Е. Ймовірність появи події від досвіду до досвіду не змінюється і залишається рівною р.

Поряд з приватною існує загальна теорема про повторення дослідів (ймовірність появи події від досвіду до досвіду змінюється), розгляд якої виходить за рамки даного курсу.

приклад 24

У цеху є 10 електродвигунів, ймовірність відключеного стану кожного з яких дорівнює 0,1. двішгателі включаються в мережу незалежно один від іншого. Визначити ймовірність того, що відключені відразу три електродвигуна.

 Рішення. Умова завдання відповідає схемі повторних випробувань Я. Бернуллі. Вирішуємо задачу з використанням приватної теоремою про повторення дослідів, враховуючи, що відключених двигунів три (ймовірність відключеного стану 0,1), а включених - 7 (ймовірність включеного стану 0,9):

= p3q10-3= [10! / 3! (10-3)! ] q3(1-q)10-3= 120 • (0,1)3• (0,9)7= 0,0574.

Випадкові величини та їх закони розподілу

Поряд з випадковими подіями іншим найважливішим поняттям теорії ймовірностей є поняття «випадкова величина» (СВ).

величина - Це кількісна характеристика результату досвіду.

Всі величини діляться на дві великі групи: невипадкові і випадкові.

Невипадкові (детерміновані) - Це такі величини, які в результаті досвіду приймають заздалегідь певне, відоме значення. Наприклад, час сходу і заходу сонця, дата настання нового року, кількість пальців на руках у новонародженого, число іспитів і заліків в семестрі.

Випадкові (стохастичні)- Це такі величини, про які заздалегідь невідомо, яке значення вони візьмуть в результаті досвіду.

Випадкові величини, в свою чергу, можуть бути дискретними і безперервними.

дискретними називають такі СВ, які в досвіді беруть якесь одне з безлічі можливих значень, причому ці значення при бажанні можна перерахувати або пронумерувати, т. е. це безліч є кінцевим. Найчастіше (хоча не обов'язково) - це цілі, невід'ємні значення. наприклад,оценка студента на іспиті; кількість волосся на голові, число працюючих в цеху ЕД.

безперервними називають такі СВ, які в досвіді беруть якесь одне з можливих значень, причому кількість цих значень навіть в дуже малому інтервалі нескінченно велике. Інакше кажучи, безліч можливих значень неперервної СВ є незліченна. Наприклад, рівень напруги в мережі, тривалість роботи ЛЕП до відмови, зріст і вагу людини, маса авторучки.

Назви випадкових величин прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту - X, Y; а значення, Які випадкові величини приймають в досвіді, - малими - x, y.

Різні значення однієї і тієї ж випадкової величини спостерігаються не однаково часто. Наприклад, чоловіки носять 42-й розмір взуття набагато частіше, ніж 46-й; напруга в мережі набагато частіше лежить в інтервалі 215- 225 В, ніж в інтервалі 225 -235 В.

Взаємозв'язок між значеннями випадкової величини і можливостями їх появи встановлює зАКОН розподілу випадкової величини. Кажуть, що СВ розподілена (підпорядковується) з того чи іншого закону розподілу. Існує кілька форм завдання закону розподілу:

· У вигляді таблиці (таблично);

· Вигляді малюнка (графічно);

· Формулою (аналітично).

Способи завдання законів розподілу випадкових величин

Всі способи завдання законів розподілу СВ умовно можна розділити на теоретичні і статистичні. теоретичні закони розподілу відображають справжні закони, існуючі в природі. Для їх встановлення, відповідно до закону великих чисел, необхідно переробити близький до нескінченного обсяг інформації. Практично такі закони встановлюються на підставі обмеженого обсягу статистичних даних і оформляються тими чи іншими статистичними способами. Статистичні дані часто називають експериментальними (емпіричними). Кожен теоретичний спосіб завдання закону розподілу (ТЗВ) має статистичні аналогії (СтЗР). Розглянемо ці способи.




 В. л. Вязігін |  Вступ. Значення дисципліни для інженерів-електриків |  Класична формула визначення ймовірності події |  Геометрична формула визначення ймовірності події |  Статистична формула визначення ймовірності події |  Умовна ймовірність події |  Формули множення ймовірностей |  слідство 3 |  Формули додавання ймовірностей |  Визначення ймовірності хоча б однієї події |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати