На головну

Формула Бейеса (теорема гіпотез)

  1.  А) Вирішимо систему за формулами Крамера.
  2.  Барометрична формула.
  3.  У цьому випадку, якщо проект передбачає виробництво декількох видів продукції, тоді формула (14.24) не змінюється, а всі вхідні в неї величини беруться з усього проекту.
  4.  Імовірність протилежної події. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
  5.  Друга інтерполяціонная формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції
  6.  Обчислення визначених інтегралів (наближене і точне). Формула Ньютона-Лейбніца
  7.  Геометрична формула визначення ймовірності події

Англійський математик Томас Бейеса (в українській транскрипції часто пишуть Байес 1730 - 1783) вніс помітний вклад у розвиток теорії ймовірностей, але розглянуту нижче формулу сам не виводив. Вона отримана в кінці ХVIII століття П. Лапласом і названа на честь Бейеса.

Формула Бейеса призначена для перерахунку ймовірностей гіпотез після того, як результат досвіду став відомий. Іноді кажуть, що ця формула застосовується для знаходження ймовірності «апостеріорного» подій (a posteriori по латині - після досвіду).

приклад 21

Нехай в прикладі 19 відомо, що подорожній прийшов в пункт А. Чи можна вважати, що ймовірності гіпотез (якщо їх вважати після досвіду) були такими ж, як і, якби ми не знали результат досвіду?

Мабуть, немає. Якщо до досвіду ймовірності всіх гіпотез вважалися однаковими і рівними 1/3 (подорожній з рівними шансами міг вибрати будь-яку дорогу), то при відомому результаті - подорожній прибув в пункт А -логічно припустити, що з самого початку він вибрав третю дорогу (вона свідомо призведе в А). Мало ймовірно, що при цьому могла мати місце 1-я гіпотеза.

Повернемося до вирішення цього прикладу нижче. Спочатку отримаємо формулу перерахунку ймовірностей гіпотез при відомому результаті досвіду.

позначимо як Р (Нi/ А) - ймовірність i-й гіпотези, нараховану після того, як став відомий результат досвіду (подія А відбулося).

Використовуючи формулу множення ймовірностей залежних подій, записуємо ймовірність спільного впровадження події А и i-й гіпотези:

Р (АНi) = Р (Нi) Р (А / Hi),

Ту ж ймовірність можна записати і в інший спосіб:

Р (АНi) = Р (А) Р (Нi/ А).

Прирівнявши праві частини цих виразів, визначимо умовну ймовірність того, що при здійсненні події А мала місце i-я гіпотеза:

Р (Нi/ А) = =  . (14)

Формула (14) називається формулою Бейеса. У знаменнику формули Бейеса варто формула повної ймовірності, а в чисельнику - одне з її складових.

приклад 21

Продовживши рішення цього прикладу, знайдемо ймовірність третьої гіпотези за умови, що подорожній прийшов в пункт А.

Р (Н3/ А) = = =6/11.

приклад 22

Два верстата виготовляють однакові деталі, причому продуктивність першого в 2 рази вище продуктивності другого. Перший верстат виробляє 60% деталей відмінної якості, а другий - 90% таких деталей. Узята навмання із загальної партії деталь виявилася відмінної якості. Визначити ймовірність того, що вона виготовлена ??на першому верстаті.

Рішення: Введемо позначення:

подія А - Довільно взята деталь виявилася відмінної якості;

Н1 - Довільно взята деталь виявилася виготовленої на першому верстаті (перша гіпотеза);

Н2 - Довільно взята деталь виявилася виготовленої на другому верстаті (друга гіпотеза).

З умови, що продуктивність першого верстата в 2 рази вище продуктивності другого верстата, слід: Р (Н1)= 2/3; Р (Н2) = 1/3.

Умовні ймовірності при першій і другій гіпотезах

Р (А / Н1) = 0,6; Р (А / Н2) = 0,9.

Застосуємо формулу Бейеса:

Р (А / Н1) = =  = 4/7.




 В. Л. Вязігін |  Вступ. Значення дисципліни для інженерів-електриків |  Класична формула визначення ймовірності події |  Геометрична формула визначення ймовірності події |  Статистична формула визначення ймовірності події |  Умовна ймовірність події |  Формули множення ймовірностей |  слідство 3 |  Формули додавання ймовірностей |  Визначення ймовірності хоча б однієї події |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати