Головна

Білінійні форми і їх матриці. Квадратична форма.

  1.  IV. Поняття граматичної форми слова.
  2.  V1: Тема 2. Ранні та національні форми релігії. іудаїзм
  3.  VIII. Політичне життя суспільства і її форми.
  4.  А) Імпульс прямокутної форми.
  5.  Адаптації. життєві форми
  6.  Адаптації. Життєві форми.
  7.  Адаптація організмів до навколишнього середовища. форми адаптації

Def.Кажуть, що в лінійному просторі  задана лінійна функція (лінійна форма), Якщо  поставлено у відповідність число  таке що:

1)  (11.1)

2)  (11.2)

Знайдемо вираз лінійної функції в координатах. нехай  - базис

Згідно (11.1) і (11.2) маємо:

 де

Таким чином, лінійна функція представляється лінійної формою:

 (11.3)

Будь-яка билинейная функція представляється билинейной формою:

 де  (11.5)

Def.матриця  де  називається матрицею билинейной форми.

Розглянемо як змінюється матриця билинейной форми при переході до нового базису.

Нехай в базисі  билинейная форма має вигляд  де  І нехай  новий базис, в якому  де  У базисі  матриця билинейной форми  а в базисі  матриця билинейной форми  нехай  матриця переходу від базису  до базису

позначимо  тоді  тоді

 (11.6)

Це рівність в матричної формі має вигляд

 , (11.7)

де  матриця переходу від базису  до базису

Def.Білінійна форма  називається симетричної, якщо

В цьому випадку  тобто матриця билинейной форми  будетсімметріческой. Вірно і зворотне. Якщо матриця деякої билинейной форми симетрична, то і билинейная форма симетрична.

Def.Якщо в симетричної билинейной формі  покласти  то отримаємо квадратичную форму  В цьому випадку билинейная форма  називається полярної к

Очевидно, щоматриця квадратичної форми завжди симетрична.

 Th. 11.1  За квадратичної формі однозначно визначається породила її билинейная форма.

Доведення.

нехай

Звідси

 (11.8)

Знаходження билинейной форми полярної до заданої квадратичної формі називається поляризацією квадратичної форми.

З (11.5) випливає, що будь-яка квадратична форма в заданому базисі задається формулою:

 де  (11.9)




 зворотна матриця |  Векторне n-мірний простір |  Рівняння прямої на площині |  Зауваження. |  Рівняння площини в просторі |  Слідство. |  Слідства. |  Лінійні оператори, їх матриці і найпростіші властивості. |  Власні вектори і власні значення лінійного оператора |  Ядро і образ лінійного оператора. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати