На головну

Власні вектори і власні значення лінійного оператора

  1.  B. Чисельні значення різниці потенціалів в будь-який момент часу.
  2.  C. Випадкова величина, яка може приймати будь-які значення всередині деякого інтервалу.
  3.  I. Процесуальні засади призначення і виробництва
  4.  IV. Асіміляціі. Випадки подвійного морфологічного значення однієї функції
  5.  N-мірні вектори
  6.  V2: Загальна задача нелінійного програмування
  7.  А далі пішли концепція «трьох світів», теорія «двох ворогів», а також теорія «опори на власні сили» і «світового революційного процесу».

Def. нехай  лінійний оператор. вектор  називається власним вектором лінійного оператора  якщо  число  при цьому називається власним значенням лінійного оператора

 Th. 8.3  У будь-якому комплексному просторі  всякий лінійний оператор має хоча б один власний вектор.

Доведення.

нехай  базис  матриця лінійного оператора  нехай  вектор-стовпець координат вектора  вектор  буде власним вектором тоді і тільки тоді, коли

Звідси

або

 (8.3)

Система лінійних рівнянь (8.3) має нульове рішення тоді і тільки тоді, коли її головний визначник дорівнює нулю, тобто коли

 (8.4)

Рівняння (8.4) - рівняння  го ступеня, а значить має принаймні один корінь  Підставивши  в систему (8.3) отримаємо її рішення  власний вектор лінійного оператора .

Def.многочлен  називається характеристичним многочленом лінійного оператора  а рівняння

 (8.5)

- характеристичним рівнянням лінійного оператора

 Th. 8.4  Характеристичний многочлен (а, значить, і власні значення) лінійного оператора не залежить від вибору базису

Доведення.

нехай  матриця лінійного оператора  в базисі а  матриця лінійного оператора  в базисі  Згідно з теоремою 7.2

.

Def. Безліч всіх власних значень називається спектром лінійного оператора  позначається

 Th. 8.5  Нехай дано лінійне простір и  лінійний оператор, який має  лінійно незалежних векторів. Якщо вибрати їх в якості базису, то матриця оператора  матиме діагональний вид. І навпаки, якщо в некоторм базисі матриця лінійного оператора має діагональний вигляд, то всі вектори цього базису власні.

Доведення.

нехай  лінійно незалежні власні вектори, тоді  Тоді матриця оператора в цьому базисі має вигляд:

Протилежне твердження очевидно.

 Th. 8.6  якщо  власні вектори лінійного оператора  і відповідні їм власні значення  попарно різні, то  лінійно незалежні.

Доведення.

Застосуємо метод математичної індукції.

1) При  твердження очевидно.

2) Нехай твердження вірне для  вектора. Доведемо його справедливість для  векторів. нехай  лінійно залежні, тобто

 (8.6)

Нехай для визначеності  Застосуємо до обох частин рівності (8.6) оператор

 (8.7)

Домножим обидві частини рівності (8.6) на :

 (8.8)

Віднімемо з рівності (8.8) рівність (8.7), отримаємо:

 (8.9)

Оскільки  то з рівності (8.9) слід лінійна залежність векторів  що суперечить нашим припущенням. Значить, твердження теореми справедливо .

слідство.

Якщо характеристичний многочлен лінійного оператора  має  різних коренів, то матриця цього оператора може бути приведена до діагонального вигляду, тобто оператордіагоналізіруем.





 зворотна матриця |  Векторне n-мірний простір |  Рівняння прямої на площині |  Зауваження. |  Рівняння площини в просторі |  Слідство. |  Слідства. |  Евклідові простору. Нерівність Коші-Буняковського. Теорема Піфагора. |  Нерівність Коші-Буняковського |  Білінійні форми і їх матриці. Квадратична форма. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати