На головну

Загальне рівняння площини, що проходить через точку.

  1.  D. Це обсяг рідини, що протікає через перетин труби в одиницю часу;
  2.  Sbnt.ru akzakon.ru проектобщеедело. Росії trezvenie.org
  3.  VI. Акцентування теоретичного моменту по темі «Рівняння дотичної до графіка функції», розгляд прикладів - 6 хвилин
  4.  Weltanschauung (погляд на світ) через призму отрути
  5.  Абсорбція через дихальні шляхи
  6.  Абсорбція через шкіру
  7.  Б) через легені

Ще раз повторимо, що точка  належить площині, яка задана в прямокутній системі координат в тривимірному просторі загальним рівнянням площини  , Якщо при підстановці координат точки  в рівняння  воно звертається в тотожність.

Приклад.

Чи належать точки и  площині, загальне рівняння якої має вигляд .

Рішення.

Підставами координати точки М0 в загальне рівняння площини:  . В результаті приходимо до вірного рівності, отже, точка  лежить в площині.

Проробимо таку ж процедуру з координатами точки N0:  . Отримуємо невірне рівність, тому, точка  не лежить в площині, визначеної загальним рівнянням площини .

відповідь:

М0 лежить в площині, а N0 - Не лежить.

З доведення теореми про загальний рівнянні площини видно один корисний факт: вектор  є нормальним вектором площини  . Таким чином, якщо ми знаємо вид загального рівняння площини, то ми відразу можемо записати координати нормального вектора цій площині.

Приклад.

Площина в прямокутній системі координат Oxyz задана загальним рівнянням площини  . Запишіть координати всіх нормальних векторів цієї площини.

13. Рішення.

Нам відомо, що коефіцієнти при змінних x, y и z в загальному рівнянні площини є відповідними координатами нормального вектора цій площині. Отже, нормальний вектор  заданої площині  має координати  . Безліч всіх нормальних векторів можна задати як .

відповідь:

Тепер розглянемо зворотну задачу - задачу складання рівняння площини, коли відомі координати її нормального вектора. Очевидно, що існує нескінченно багато паралельних площин, нормальним вектором яких є вектор  . Тому, задамо додаткову умову, щоб позначити одну конкретну площину. Будемо вважати, що точка  належить площині. Таким чином, задавши нормальний вектор  і точку площини  , Ми зафіксували площину (дивіться розділ способи встановлення площини в просторі). Отримаємо загальне рівняння цієї площини.

Загальне рівняння площини з нормальним вектором  має вигляд  . Так як точка  лежить на площині, то її координати задовольняють рівняння площині, отже, справедливо рівність  . Віднімемо з лівої і правої частини рівності  ліву і праву частини рівності  відповідно. При цьому отримуємо рівняння виду  , Яке є загальним рівнянням площини, що проходить через точку  і має направляючий вектор площини .

Це рівняння можна було отримати і інакше.

Очевидно, що безліч точок тривимірного простору  визначають необхідну площину тоді і тільки тоді, коли вектори и  перпендикулярні. Тобто, тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю: .

Приклад.

Напишіть рівняння площині, якщо в прямокутній системі координат Oxyz в просторі вона проходить через точку  , а  - Нормальний вектор цієї площини.

Рішення.

Наведемо два рішення цього завдання.

З умови маємо  . Підставляємо ці дані в загальне рівняння площини, що проходить через точку :

Тепер другий варіант вирішення.

нехай  - Поточна точка площині. Знаходимо координати вектора  за координатами точок початку і кінця:  . Для отримання необхідного загального рівняння площини залишилося тільки скористатися необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів и :

відповідь:

Існує безліч аналогічних завдань на складання загального рівняння площини, в яких спочатку потрібно знайти координати нормального вектора площини. Найпоширеніші з них це завдання на знаходження рівняння площини, що проходить через точку паралельно заданій площині і завдання на складання рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до заданої прямої.

 




 Поняття матриця, операції над матрицями та їх властивості. |  Поняття визначника n-го порядку. Обчислення визначника в 2-го і 3-го порядку. |  Теорема Лапласа (про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпця) (без доведення) |  Поняття рангу матриці. |  Системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі (про сумісність системи). |  необхідність |  достатність |  Рішення. |  Загальне рішення неоднорідної СЛАР. Метод Гаусса ренію СЛАР. Вид спільного рішення неоднорідною СЛАР. |  Рішення. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати