Головна

Рівняння площини.

  1.  VI. Акцентування теоретичного моменту по темі «Рівняння дотичної до графіка функції», розгляд прикладів - 6 хвилин
  2.  Базис в просторі і на площині. Розкладання по базису
  3.  Биття. Рівняння биття
  4.  Квиток 45 Рівняння кількісної теорії грошей і крива LM
  5.  В основі розрахунку будь-якого процесу лежить рівняння матеріального балансу.
  6.  Векторне рівняння прямої.
  7.  Векторне, параметричне, загальне і канонічне рівняння прямої. 1 сторінка

Теорема.

Будь-яке рівняння виду  , де A, B, C и D - Деякі дійсні числа, причому А, В и C одночасно не рівні нулю, визначає площину в заданій прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі, і будь-яка площина в прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі визначається рівнянням виду  при деякому наборі чисел A, B, C и D.

Доведення.

Як бачите, теорема складається з двох частин. У першій частині нам дано рівняння  і потрібно довести, що воно визначає площину. У другій частині, нам дана деяка площину і потрібно довести, що її можна визначити рівнянням  при деякому виборі чисел А, В, С и D.

Почнемо з докази першої частини теореми.

Так як числа А, В и С одночасно не рівні нулю, то існує точка  , Координати якої задовольняють рівняння  , Тобто, справедливо рівність  . Віднімемо ліву і праву частини отриманого рівності відповідно від лівої і правої частин рівняння  , При цьому отримаємо рівняння виду  еквівалентну вихідному рівнянню  . Тепер, якщо ми доведемо, що рівняння  визначає площину, то цим буде доведено, що еквівалентне йому рівняння  також визначає площину в заданій прямокутній системі координат в тривимірному просторі.

рівність  є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів и  . Іншими словами, координати плаваючою точки  задовольняють рівняння  тоді і тільки тоді, коли перпендикулярні вектори и  . Тоді, враховуючи факт, наведений перед теоремою, ми можемо стверджувати, що якщо справедливо рівність  , То безліч точок  визначає площину, нормальним вектором якої є  , Причому ця площина проходить через точку  . Іншими словами, рівняння  визначає в прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі зазначену вище площину. Отже, еквівалентну рівняння  визначає цю ж площину. Перша частина теореми доведена.

Приступимо до доказу другої частини.

Нехай нам дана площина, що проходить через точку  , Нормальним вектором якої є  . Доведемо, що в прямокутній системі координат Oxyz її задає рівняння виду .

Для цього, візьмемо довільну точку цієї площини. Нехай цією точкою буде  . тоді вектори и  будуть перпендикулярні, отже, їх скалярний добуток дорівнюватиме нулю:  . прийнявши  , Рівняння набуде вигляду  . Це рівняння і задає нашу площину. Отже, теорема повністю доведена.

рівняння  називається загальним рівнянням площини в прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі.

Загальне рівняння площини виду  , де  - Деяке дійсне число, відмінне від нуля, визначає в прямокутній системі координат Oxyz площину, збігається з площиною  , Так як задає те ж саме безліч точок тривимірного простору. Наприклад, рівняння и  задають одну і ту ж площину, так як їм задовольняють координати одних і тих же точок тривимірного простору.

Трохи пояснимо сенс теореми.

У заданій прямокутній системі координат Oxyz площину і її загальне рівняння нерозривно пов'язані. Тобто, кожній площині відповідає загальне рівняння площини виду  (При певних значеннях чисел А, В, С и D), А до цього рівняння відповідає зазначена площину в заданій прямокутній системі координат в тривимірному просторі.

Наведемо приклад, який ілюструє останню фразу.

Подивіться на малюнок із зображенням площині в тривимірному просторі у фіксованій прямокутній системі координат Oxyz. Цій площині відповідає рівняння  , Так як йому задовольняють координати будь-якої точки площини. З іншого боку, рівняння  визначає в заданій системі координат Oxyz безліч точок, образом якого є зображена на малюнку площину.

На початок сторінки




 Поняття матриця, операції над матрицями та їх властивості. |  Поняття визначника n-го порядку. Обчислення визначника в 2-го і 3-го порядку. |  Теорема Лапласа (про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпця) (без доведення) |  Поняття рангу матриці. |  Системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі (про сумісність системи). |  необхідність |  достатність |  Рішення. |  Загальне рішення неоднорідної СЛАР. Метод Гаусса ренію СЛАР. Вид спільного рішення неоднорідною СЛАР. |  Рішення. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати