На головну

Рішення.

  1.  Важливе рішення.
  2.  Можливе рішення.
  3.  Міжособистісні конфлікти, їх конструктивне вирішення.
  4.  Перегородки. Їх класифікація. Конструктивне рішення.
  5.  Рішення.
  6.  Рішення.
  7.  Рішення.

коефіцієнт a1 + 1 відмінний від нуля, так що приступимо до прямого ходу методу Гаусса, тобто, до виключення невідомої змінної x1 з усіх рівнянь системи, крім першого. Для цього до лівої і правої частин другого, третього і четвертого рівняння додамо ліву і праву частини першого рівняння, помножені відповідно на , и :

невідому змінну x1 виключили, переходимо до виключення x2. До лівих і правих частин третьої і четвертої рівнянь системи додаємо ліву і праву частини другого рівняння, помножені відповідно на и :

Для завершення прямого ходу методу Гаусса нам залишилося виключити невідому змінну x3 з останнього рівняння системи. Додамо до лівої і правої частин четвертого рівняння відповідно ліву і праву частину третього рівняння, помножену на :

Можна починати зворотний хід методу Гаусса.

З останнього рівняння маємо ,

з третього рівняння отримуємо ,

з другого ,

з першого .

Для перевірки можна підставити отримані значення невідомих змінних в вихідну систему рівнянь. Всі рівняння звертаються в тотожності, що говорить про те, що рішення по методу Гаусса знайдено вірно.

відповідь: .

А зараз наведемо рішення цього ж прикладу методом Гаусса в матричної формі запису.

Розширена матриця системи має вигляд  . Зверху над кожним стовпчиком записані невідомі змінні, яким відповідають елементи матриці.

Прямий хід методу Гаусса тут передбачає приведення розширеної матриці системи до трапецеидальному увазі за допомогою елементарних перетворень. Цей процес схожий з виключенням невідомих змінних, яке ми проводили з системою в координатної формі. Зараз Ви в цьому переконаєтеся.

Перетворимо матрицю так, щоб всі елементи в першому стовпці, починаючи з другого, стали нульовими. Для цього до елементів другої, третьої і четвертої рядків додамо відповідні елементи першого рядка помножені на ,  і на  відповідно:

Далі отриману матрицю перетворимо так, щоб у другому стовпці всі елементи, починаючи з третього стали нульовими. Це буде відповідати виключенню невідомої змінної x2. Для цього до елементів третьої і четвертої рядків додамо відповідні елементи першого рядка матриці, помножені відповідно на и :

Залишилося виключити невідому змінну x3 з останнього рівняння системи. Для цього до елементів останнього рядка отриманої матриці додамо відповідні елементи передостанній рядки, помножені на :

Слід зазначити, що ця матриця відповідає системі лінійних рівнянь

яка була отримана раніше після прямого ходу.
 Прийшов час зворотного ходу. У матричної формі запису зворотний хід методу Гаусса передбачає таке перетворення отриманої матриці, щоб матриця, зазначена на малюнку

стала діагональної, тобто, прийняла вигляд

де  - Деякі числа.

Ці перетворення аналогічні перетворенням прямого ходу методу Гаусса, але виконуються не від першого рядка до останньої, а від останньої до першої.
 Додамо до елементів третьої, другої та першої рядків відповідні елементи останнього рядка, помножені на  , на  і на  відповідно:

Тепер додамо до елементів другого і першого рядків відповідні елементи третього рядка, помножені на  і на  відповідно:

На останньому кроці зворотного ходу методу Гаусса до елементів першого рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на :

Отримана матриця відповідає системі рівнянь  , Звідки знаходимо невідомі змінні.

відповідь: .

 




 Поняття матриця, операції над матрицями та їх властивості. |  Поняття визначника n-го порядку. Обчислення визначника в 2-го і 3-го порядку. |  Теорема Лапласа (про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпця) (без доведення) |  Поняття рангу матриці. |  Системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі (про сумісність системи). |  необхідність |  достатність |  Рішення. |  Загальне рішення неоднорідної СЛАР. Метод Гаусса ренію СЛАР. Вид спільного рішення неоднорідною СЛАР. |  Додавання кількох векторів - правило багатокутника. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати