На головну

Поширення і дифракція світла. Інтеграл Френеля-Кірхгофа

  1.  Виникнення і поширення ісламу
  2.  Питання 4. Поширення МАРКЕТИНГУ
  3.  Обчислення визначених інтегралів (наближене і точне). Формула Ньютона-Лейбніца
  4.  Дифракція на щілині.
  5.  ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА
  6.  Тваринництво. Поширення, основні га- лузі, особливості розміщення, країни-експортери.
  7.  Забруднення навколишнього середовища і екологічні проблеми людства. Види забруднень і їх поширення. Шляхи вирішення екологічних проблем людства.

Електромагнітне поле в довільній точці простору в заданий момент часу t може бути описано за допомогою скалярного хвильового рівняння

яке отримують з рівнянь Максвелла, що встановлюють зв'язок між похідними за координатами і часу від величин, що характеризують електромагнітне поле. Тут c- швидкість світла; N ??- оператор Лапласа. Для монохроматичного світла з частотою n рішенням хвильового рівняння буде вираз, що описує синусоидальное скалярний поле

 (6)

Щодо таких хвиль хвильове рівняння перетвориться до найпростішого виду

 (7),

де k = 2np / c - хвильове число. Найбільш простими рішеннями рівняння (7) є ті, які описують однорідну плоску і симетричну сферичну хвилі.

Розглянемо поширення плоскої хвилі в просторі. хвилю називають плоскою, Якщо її амплітуда і фаза в будь-який момент часу постійні по всій площині. Рівняння такої хвилі має вигляд

 (8),

де n - одиничний вектор, нормальний до даної площини; r - радіус-вектор точки м (x, y), що належить цій площині (рис. 1). Плоска хвиля має комплексну амплітуду

 (9),

де A0 - Постійна амплітуда хвилі.

Нехай є дві паралельні площини P1, І Р2, Описувані рівняннями

,

де r1, r2 - Радіуси-вектори поточних точок площин P1 і P2. Припустимо, що C2 > C1, Т. Е. Площину P2 щодо P1 зміщена у напрямку вектора-нормалі n (рис. 2). При t = t1 в площині Р1, Світлова хвиля згідно (6) і (9) матиме фазу j = 2pnt1-knr1= 2pnt1-kC1 Визначимо момент часу t = t2, При якому така ж фаза буде в площині P2. Для цього запишемо аналогічне рівняння щодо t2 j = 2pnt2-knr2= 2pnt2-kC2. З двох останніх рівнянь знайдемо t2= t1+ Dt, де Dt = (C2 -C1) / C> 0. Отже, t2> t1. Таким чином, площини рівних фаз з плином часу переміщаються паралельно самим собі, причому напрямок переміщення збігається з напрямком вектора n, т. Е. Плоска хвиля, описувана виразом (9), поширюється у напрямку вектора нормалі площини рівній фази.

Якщо cosa, cosb, cosg - напрямні косинуси вектора n (див. Рис. 1), то комплексна амплітуда плоскої світлової хвилі

 (10),

де  (11)

       
 
   
 


Мал. 1. Плоский хвильовий фронт в прямокутній системі координат

  Мал. 2. Поширення плоскої хвилі

Ці величини - просторові частоти, зворотні періодів хвилі, що вимірюється відповідно по осях x, y, z. Просторові частоти часто висловлюють через кути a1= 90 - a, b1= 90 - b, g1= 90-g

 (11).

оскільки  , З урахуванням (11) отримаємо наступне співвідношення  . Вирішивши дане рівняння щодо z, визначимо

 (12).

Підставивши цей вираз в (10), знайдемо комплексну амплітуду плоскої хвилі

 (13)

Великий інтерес представляють параксіальними хвилі, для яких напрямок поширення становить дуже маленький кут з віссю z (кут g малий, а a = b = 90 °). В цьому випадку комплексна амплітуда плоскої хвилі

 (14),

так як

Розглянемо поширення сферичної хвилі. Для цього хвильове рівняння (7) представимо в сферичної системі координат r, q, j (рис.2), які пов'язані з декартовими координатами наступними співвідношеннями  . якщо  то хвильове рівняння (7) в сферичної системі координат запишеться у вигляді  . Для розходиться сферичної хвилі

 або

 , (15)

де А - деяка постійна. Поверхня рівних фаз даної хвилі визначається з умови kr = const, звідки r = const. Це означає, що поверхнею рівних фаз, т. Е. Хвильової поверхнею, є сфера. Напрямок поширення хвилі збігається з напрямком радіуса-вектора r. Параксіальна оптика для сферичної хвилі має місце в тому випадку, коли  . При цьому

.

Тому комплексна амплітуда сферичної хвилі в параксіальними наближенні  (16).

Проаналізуємо дифракцию світлової хвилі на транспаранті з періодичним синусоїдальним розподілом амплітудного пропускання. Подібні транспаранти називають дифракційними гратами. Нехай плоска світлова хвиля амплітудою А0, Що розповсюджується в напрямку позитивної півосі z, падає на транспарант, що знаходиться в площині z = 0. Припустимо, що транспарант має амплітудне пропускання ,

є періодичною функцією від y з просторовою частотою h, а t0 і t1 - Речові постійні. при t0? t1 > 0 транспарант не вносить фазового зсуву. Безпосередньо за транспарантом комплексна амплітуда хвилі

=

 (17).

Перший член цього виразу описує плоску хвилю, що поширюється уздовж осі z, як і падаюча хвиля, другий і третій члени - плоскі хвилі, напрямку поширення яких з віссю z складають кути j1= -j2= Arcsin (lh). Таким чином, в результаті дифракції частина падаючої на транспарант світлової хвилі відхиляється від початкового напрямку поширення.

       
 
   
 


Мал. 3. Зв'язок між координатами сферичної і прямокутної систем координат

  Мал. 4. Дифракція плоскої хвилі на синусоидальной дифракційної решітці

За допомогою співвідношення (13) можна визначити комплексну амплітуду світла при будь-якому видаленні від транспаранта, наприклад при z = d:

 (18).

Для першого члена вираження y = h = 0, для другого та третього членів y = 0. З (18) випливає, що якщо lh®1, то виникають поверхневі хвилі. Вони будуть затухаючими при l> 1¤h, т. Е. Коли довжина хвилі більше періоду дифракційної решітки, оскільки при цьому  стає уявною величиною, а  - Експоненціальним множником, убутним зі збільшенням d.

Амплітудне пропускання двовимірної дифракційної решітки в загальному випадку описується комплексної періодичної функцією двох змінних x і y. Однак його також легко, як суми найпростіших синусоїдальних функцій шляхом розкладання в ряд Фур'є

.

Дифрагованим на такому транспаранті світлова хвиля являє собою суперпозицію нескінченного числа плоских хвиль з амплітудами, пропорційними відповідними коефіцієнтами розкладання tnm і напрямами поширення, обумовленими и .

Отже, сумарна амплітуда діфрагірованних хвиль в площині z = d

.

У загальному випадку амплітудне пропускання дифрагує об'єкта є комплексною неперіодичної функцією двох змінних x і y, тому t (x, y) замінюють інтегралом Фур'є. Комплексну амплітуду дифрагованим хвилі в площині z = d при цьому також виражають за допомогою інтеграла

 , (19)

де T (x, h) - перетворення Фур'є від t (x, y), причому інтегрування виробляють в області, що задовольняє нерівності y2 + h2? 1¤l2 (Поза цією областю хвилі швидко згасають при видаленні від транспаранта). Отже, можна зробити наступний висновок: якщо плоска хвиля амплітудою A1, Що розповсюджується в напрямку осі z, падає на поміщений в площині z = 0 транспарант з амплітудною функцією пропускання t (x, y), то спектр комплексної амплітуди в площині z = d має вигляд

 (20).

Для параксіальними хвиль (x, h << 1), користуючись наближенням  , Справедливим при малих значеннях y і h, вираз (20) можна представити, в такий спосіб:

 . (21)

З огляду на те, що фаза  в натуральному вираженні (21) є параболічної функцією просторових частот, це наближення називають параболічних. Згідно з правилом Релея спотворення фази хвилі не повинно перевищувати p¤2, т. Е. Встановлюються межі застосування параболічного наближення [2]:  (22)

Рішення задачі дифракції можна уявити також за допомогою інтеграла Френеля Кірхгофа [3]:

 , (23

де  - x0, y0, і x, y - координати точок, що належать поверхням z = 0 і z = d. Кут між позитивним напрямом осі z і відрізком прямої rod, cosqzr - Називають коефіцієнтом нахилу. Формули (19) і (23) на відстані z = d від площини дифракції дають один і той же результат [2]. Інтеграл (23) є математичним виразом відомого принципу Гюйгенса-Френеля.

 
 


Мал. 5. До вирішення задачі дифракції за допомогою інтеграла Френеля-Кірхгофа




 Білоруський державний університет |  ВСТУП |  Оптичні системи, що виконують перетворення Фур'є. |  Дискретне перетворення Фур'є. |  ОПТИЧНА ГОЛОГРАФІЯ. |  Асоціативні властивості голограм |  Перспективи створення трехмерногоголографіческого дисплея. |  КОМПОНЕНТИ оптичних систем ЗБЕРІГАННЯ ТА ОБРОБКИ ІНФОРМАЦІЇ. |  дефлектори |  Когерентний аналоговий оптичний процесор, який використовує методи просторової фільтрації. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати