На головну

тунельний ефект

  1.  II. АНАЛІЗ ЕФЕКТИВНОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ОСНОВНИХ ЗАСОБІВ.
  2.  IV розділ: Результати і ефективність виробництва
  3.  V1: Собівартість продукції. Ефективність виробничо-господарської діяльності підприємства
  4.  А. Тренделенбург про ефективність кантовских принципів априоризма і дуалізму
  5.  Аналіз впливу наявності та ефективності використання матеріальних ресурсів на обсяг випущеної продукції.
  6.  Аналіз динаміки ефективності поточних витрат
  7.  Аналіз майнового стану організації, ліквідності і фінансової стійкості та аналіз ефективності діяльності підприємства.

Великий інтерес викликає завдання проходження частинки через потенційний бар'єр кінцевої протяжності. Визначимо коефіцієнт прозорості  високого бар'єру, коли  (Рис.1.3). Частинки падають на бар'єр, рухаючись в позитивному напрямку осі  . Використовуючи результати попереднього параграфа, визначимо хвильову функцію в трьох областях

 (1.93)

де .

З вимоги безперервності хвильової функції і її першої похідної в точках стрибка потенційної енергії ( и  ) Отримаємо систему алгебраїчних рівнянь:

 (1.94)

Вирішимо (1.94) щодо :

 . (1.95)

Амплітуда плоскої хвилі виявляється відмінною від нуля в області за бар'єром, незважаючи на те, що енергія частинки менше висоти бар'єра  . Це означає, що мікрочастинка з певною ймовірністю може пройти через потенційний бар'єр шляхом тунельного переходу.

Коефіцієнт проходження мікрочастинок через бар'єр визначається наступним чином

 . (1.96)

Тут використано тотожність

.

якщо  , то  і вираз (1.96) спрощується

 . (1.97)

Основна залежність коефіцієнта проходження від висоти і ширини бар'єру визначається експоненціальним множником. Позначивши предекспоненціальний множник як  , маємо

 . (1.98)

 
а б
 Рис.1.3. Енергетична діаграма потенційного бар'єру (а) І залежність коефіцієнта прозорості бар'єру для електронів з енергією Е від ширини бар'єру (б)

З (1.98) видно, що ймовірність проходження мікрочастинки через бар'єр не дуже мала, якщо

 . (1.99)

Ця умова може виконуватися тільки в області мікросвіту. На рис.1.3, б приведена залежність коефіцієнта  від ширини бар'єру.

Формулу (1.98), отриману для прямокутного потенційного бар'єру, можна узагальнити на випадок бар'єру довільної форми  (Рис.1.4).

Такий бар'єр можна наближено представити як сукупність елементарних прямокутних бар'єрів шириною  і висотою  . Частка з енергією  , Входить в бар'єр в точці  і виходить з нього в точці  . Імовірність проходження окремого елементарного бар'єру визначається формулою (1.98)

.

 Рис.1.4. Енергетична діаграма потенційного бар'єру довільної форми .

Оскільки ці події незалежні, ймовірність проходження всього бар'єру буде визначатися добутком ймовірностей проходження всіх його складових, тобто

 (1.100)

Перейшовши в (1.100) від підсумовування до інтегрування, отримаємо

 , (1.101)

де .

Проходження частинок крізь потенційні бар'єри на перший погляд виглядає парадоксальним. Цю парадоксальність бачать в тому, що частка, яка знаходиться всередині потенційного бар'єру з повною енергією  , Яка менше висоти бар'єра, повинна мати негативну кінетичну енергію  , Тому що повна енергія згідно класичній механіці є сума кінетичної і потенційної

 . (1.102)

В області, де ,  , Що не має сенсу, оскільки імпульс є дійсна величина. Це ті області, які згідно із законами класичної механіки недоступні для частинки. Згідно ж до законів квантової механіки частка може перебувати в цій «забороненої» області. Таким чином, виходить, що квантова механіка допускає можливість негативної кінетичної енергії і, як наслідок, мнимого імпульсу частинки. Цей висновок і називають «парадоксом тунельного ефекту».

Насправді тут немає ніякого парадоксу, а сам такий висновок є невірним. Справа в тому, що тунельний ефект являє собою чисто квантове явище і тому він може обговорюватися тільки в рамках квантової механіки (при переході до класичної механіки (  ) Туннелирование зникає). Повну енергію частинки можна розглядати як суму кінетичної та потенційної енергії тільки на основі класичної механіки. Формула (1.102) допускає, що ми одночасно знаємо величину як кінетичної  , Так і потенційної енергії  . Іншими словами, ми приписуємо одночасно певне значення координаті частки  і її імпульсу  , Що суперечить законам квантової механіки (принципом невизначеностей). Поділ повної енергії на потенційну і кінетичну в квантовій механіці неможливо, а, отже, є безпідставним і сам парадокс, який базується на можливості представити повну енергію  як суму кінетичної енергії (функція імпульсу) і потенційної енергії (функція координат).

Виявити частку всередині потенційного бар'єру дійсно можливо, навіть при  . Але коли фіксується координата частинки, то при цьому створюється, згідно співвідношенню невизначеності, додаткова дисперсія імпульсу  , Так що вже не можна стверджувати, що енергія частинки, після того як визначили її положення, дорівнює .

Як було показано в розд. 1.10, невизначеність енергії частинки, яка локалізована в області під бар'єром, більше тієї енергії, якою їй не вистачає до висоти бар'єру.

Туннелирование електронів крізь потенційний бар'єр пояснює відоме явище автоелектронної емісії. Якщо до металу прикласти велике електричне поле ((  ) Так, щоб він був катодом, то таке поле вириває електрони з металу і виникає електричний струм.

Візьмемо за основу модель вільних електронів. Будемо вважати, що потенційна енергія електронів усередині металу дорівнює нулю. Метал для електронів можна розглядати як потенційну яму, енергетичні рівні якої вони заповнюють аж до рівня Фермі[28]  (при Т = 0 К) (рис.1.4). Оскільки максимальна енергія електронів  менше глибини ями  , То через відсутність електричного поля електрони практично не виходять за межі ями (металу), тому що рівень вакууму представляє для електронів нескінченний потенційний бар'єр.

Докладемо електричне поле  нормально до поверхні металу. Тоді потенційна енергія електрона становитиме

 (1.103)

 Рис.1.4. Потенційний бар'єр на кордоні метал-вакуум

Таким чином, на межі метал-вакуум виникає потенційний бар'єр трикутної форми. Обчислимо коефіцієнт прозорості такого бар'єра для електронів з енергією Фермі  . Для цього скористаємося формулою (1.101), позначивши показник експоненти як

 . (1.104)

Першу точку повороту приймаємо за нуль  , Друга визначається з рис.1.4:

 . (1.105)

Введемо нову змінну  і обчислимо (1.104):

 . (1.106)

ввівши позначення  , Отримаємо для коефіцієнта прозорості

 , (1.107)

де и  - Постійні, які залежать від типу металу.

Щільність струму автоелектронної емісії становитиме

 . (1.108)

Ця залежність струму від поля підтверджується експериментами.

 




 ВСТУП |  Хвилі де Бройля |  Вимірювання в квантовій механіці. співвідношення невизначеності |  хвильова функція |  принцип суперпозиції |  Оператори квантової механіки і середнє значення |  Оператор координати. |  Оператор моменту імпульсу і його проекцій |  рівняння Шредінгера |  Закон збереження числа мікрочастинок |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати