На головну

Теорема 2. Для того щоб функція була рішенням рівняння (2), необхідно і достатньо, щоб число було коренем рівняння

  1.  A. Для остаточного висновку необхідно застосувати критерій Стьюдента.
  2.  A. Коли необхідно розрахувати ймовірність одночасної появи декількох залежних подій.
  3.  A. Число хворих на прийомі у лікаря, частота пульсу.
  4.  F45.3 Соматоформная вегетативна дисфункція.
  5.  F52 Статева дисфункція, не обумовлена ??органічним розладом або захворюванням.
  6.  I. Перефразуйте наступні словосполучення так, щоб вони утворювали атрибутивні сполучення
  7.  II закон термодинаміки. Теорема Карно-Клаузіуса

 (4)

Доведення. Очевидно, що для зазначеної функції  матимемо и  Але тоді умова «  рішення рівняння (2) »еквівалентно умові«  », А це останнє-рівняння (4).

Теорема доведена.

Примітка. Рівняння (4) носить назву характеристичного рівняння для диференціального рівняння (2).

Розглянемо різні випадки можливості розв'язання рівняння (4).

Випадок 1. Дискримінант рівняння (4) позитивний.

У цьому випадку рівняння (4) має два дійсних різних кореня, які ми позначаємо и  Кожен з цих коренів породжує відповідне рішення и  Очевидно, що відношення функцій и  відмінно від постійної величини, і тому загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння (2) буде мати вигляд:

Випадок 2. Дискримінант рівняння (4) дорівнює нулю.

Умова рівності нулю дискримінанту рівняння (4) еквівалентно умові  У цьому випадку рівняння (4) має два співпадаючих кореня:

Ці корені породжують одне приватне рішення  рівняння (2), і для побудови спільного рішення рівняння (2) нам необхідно ще одне рішення.

Покажемо, що в даному випадку ще одним рішенням рівняння (2) буде функція

дійсно,

Підставляючи ці вирази в рівняння (2), отримаємо

(Тут враховано, що  ).

Очевидно, що і в цьому випадку відношення функцій и  відмінно від постійної, і тому загальний розв'язок рівняння (2) буде мати вигляд:

(6)

Третій випадок-випадок, коли дискримінант рівняння (3) буде негативним, буде розглянуто нами пізніше.

Приклад 1. Побудуємо спільне рішення рівняння

Рішення. Характеристичне рівняння (4) для диференціального рівняння  матиме вигляд:  а його корінням будуть числа и  Це означає, що ми маємо випадок 1 (випадок позитивного дискримінанту рівняння (4)), і загальне рішення даного рівняння відповідно до формули (5) матиме вигляд:

Приклад 2. Побудуємо спільне рішення рівняння

Рішення. Для даного диференціального рівняння характеристичне рівняння (4) матиме вигляд:  Дискримінант цього рівняння дорівнює нулю, і ми маємо випадок 2. Корінням характеристичного рівняння (4) будуть  а загальне рішення, відповідно до формули (6), має вигляд

Перейдемо тепер до розгляду лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку(1).

Принципове значення в проблемі побудови його загального рішення має наступна теорема.

Теорема 3. Загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння (1) має вигляд:

 (7)




 Безперервність функції. Точки розриву. Асимптоти графіка функції |  диференціювання функцій |  Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої |  еластичність функції |  Обчислення диференціала функції |  Наближені обчислення. |  Застосування похідної до дослідження функції |  Інтегральне числення. Невизначений інтеграл та його властивості |  Основні властивості невизначеного інтеграла |  Кілька стандартних правил інтегрування |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати