Головна

Застосування похідної до дослідження функції

  1.  I. Метаморфози кореня, спеціалізовані на запасающей функції
  2.  I. ЗАСТОСУВАННЯ проективної-демонстраційною технікою В глибинний аналіз З
  3.  I. Функції 1 сторінка
  4.  I. Функції 2 сторінка
  5.  I. Функції 3 сторінка
  6.  I. Функції 4 сторінка
  7.  II. Метаморфози кореня, службовці для посилення опорної функції (додаткові за походженням)

функція y = f (x) називається зростаючої у проміжку  , Якщо для будь-яких и  , Що належать цьому проміжку і таких, що <  , Має місце нерівність .

 
 


f (х2)

f (х1)

функція y = f (x) називається спадної у проміжку  , Якщо для будь-яких и  , Що належать цьому проміжку і таких, що <  , Має місце нерівність .

 
 


f (x2)

Як зростаючі, так і спадні функції називаються монотонними, а проміжки, в яких функція зростає або убуває, - проміжками монотонності.

Зростання і спадання функції y = f (x) характеризується знаком її похідної.

теорема

Для того щоб дифференцируемая на  функція y = f (x) не убуває (не збільшується) на цьому інтервалі, необхідно і достатньо щоб  для всіх х з цього інтервалу.

Якщо ж для будь-якого х з  то функція y = f (x) монотонно зростає (монотонно убуває) на цьому інтервалі.

З теореми випливає, що для того щоб функція y = f (x) була постійною на  , Необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова:


Внутрішні точки області визначення, в яких похідна не існує або дорівнює нулю, називаються критичними.

Крапка  з області визначення D (f) точкою максимуму (мінімуму) цієї функції, якщо існує такий інтервал ,  , Що не виходить з області визначення D (f), що для всіх х ? , Виконується нерівність

       
   


Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму, А значення функції в цих точках - екстремуми функції.

Наступна теорема показує, що точки екстремуму слід шукати серед критичних точок функції.

теорема Ферма

якщо точка  - Точка екстремуму функції y = f (x) і в цій точці існує похідна, то

властивість опуклості (угнутості) функції як і монотонності інтуїтивно зрозуміло з геометричних уявлень про графік функції:

       
 
   
 


а) б)

Графік а) природно назвати опуклим вгору, а графік б) - опуклим вниз.

Введемо поняття опуклості для диференціюються на інтервалі в кожній точці графіка функції, в якій можна провести дотичну.

визначення. Дифференцируемая на інтервалі (А; b) функція f (x) називається опуклою вгору (вниз), Якщо для будь-якого и х з цього проміжку справедливо нерівність: ( )

Т. Є. диференціюється функція опукла вгору (вниз) на (А; b) якщо всі крапки графіка функції лежать не вище (не нижче) дотичній, проведеної до графіка функції в будь-якій точці з (А; b).

теорема(Достатня умова опуклості функції)

нехай функція у = f (x) визначена і двічі диференційована на (А; b), існує  тоді якщо  > 0 на (А; b), то на цьому проміжку функція опукла вниз (увігнута), якщо  <0, то на цьому проміжку функція опукла вгору (опукла).

Визначення.Крапка  з D (f) функції f (x) називається точкою перегину, якщо:

1. У цій точці функція неперервна;

2. Існує інтервал (А; b),  такий, що на інтервалах  напрямки опуклості протилежні, т. е в точці  опуклість змінюється увігнутістю або навпаки.

 
 


теорема. (Необхідна умова точки перегину)

Нехай дана функція у = f (x) двічі диференційована на (А; b). Якщо в точці  графік має перегин і існує кінцева друга похідна  , то  = 0.

Тепер можна вказати схему дослідження функції на опуклість (увігнутість):

1. Встановлюємо D (f)

2. Знаходимо другу похідну

3. Визначаємо точки розриву другої похідної і з рівняння  = 0 - нулі другої похідної

4. знайденої точки розбиваємо D (f) на інтервали, в кожному з яких визначаємо знак другої похідної. Будуємо криву знаків.

5. За кривої робимо висновок про опуклості (угнутості) функції і наявності точок перегину.

Приклад.

Дослідити на опуклість функції а)  , Б)

а) Область визначення цієї функції D (f) = R

нулів  не має . Точкою розриву є точка  = 0

- -


на інтервалах (- ; 0) и (0; )функція опукла вгору. Точок перегину немає.

б) D (y) = R \ {0}

Точка розриву другої похідної  = 0, нулі другої похідної знайдемо з рівняння

+ - +

                           
 
 
   
 -2
     
     
           
 
 
 
   


на (- ; -2) и (0; ) функція опукла вниз (увігнута), на (-2; 0) - опукла вгору (опукла),  точка перегину.

Найбільш повне дослідження функції та побудова її графіка можна провести за такою схемою:

1. Знайти область визначення функції.

2. Парність, періодичність.

3. Дослідити функцію на неперервність: наявність точок розриву, їх характеристика; асимптоти графіка.

4. Знайти точки перетину графіка з осями координат.

5. Визначити критичні точки, проміжки зростання і спадання функції, а також екстремуми функції.

6. Знайти інтервали опуклості і угнутості, точки перегину.

7. Побудова графіка.

Приклад.

Побудувати графік функції

1.

2. Функція не є ні парною ні непарної; крім того, вона не є періодичною.

3. Функція неперервна в області визначення.

х = 2 - Точка розриву

Досліджуємо функцію в околі точки х = 2

отже, х = 2 - Вертикальна асимптота

Знайдемо похилі:

 є похилій асимптотой графіка функції.

4. (0;  ), (-1; 0) - точки перетину з координатними осями.

5.

 - Критичні точки.

+ - - +


Знайдемо екстремуми функції:

6.

Друга похідна в нуль не зверталися на всій області визначення функції.

- +

       
   
 
 




 Безперервність функції. Точки розриву. Асимптоти графіка функції |  диференціювання функцій |  Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої |  еластичність функції |  Обчислення диференціала функції |  Основні властивості невизначеного інтеграла |  Кілька стандартних правил інтегрування |  Приклади. |  Визначений інтеграл |  Диференційне рівняння |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати