На головну

Рішення

  1.  I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки
  2.  II. Рішення логічних задач табличним способом
  3.  III. Рішення логічних задач за допомогою міркувань
  4.  VII. Управлінське рішення як важлива складова управлінської діяльності.
  5.  Аналітичне рішення змішаної гри.
  6.  У грудні 1929 р на сесії ІНК затверджується рішення вимагати незалежності для Індії і почати підготовку до нової сатьяграхи.
  7.  У Квебеку і Луїзіані вирішення питання про те, чи прийняти норму загального права або французького, цілком залежить від позиції судді.

1. Визначаємо мінімальні моменти інерції перерізів першої і вто
 рій тяг. Imin= B · h3 / 12 = 10 · 0,53 / 12 = 0,1 мм4

Перетин другий тяги складається з трьох частин - двох однакових прямокутників 1 (2,645 '0,5) і половини кільця 2 діаметром d = 3 мм:

I(min) 2= 2I1+ I2= 2 · 2,645 · 0,53/ 12 + 0,5 p (3)4/ 64 = 0,055 + 1,98 = 2,04 мм4 (Вважаємо, що нейтральна вісь перетину збігається з віссю симетрії прямокутників).

2. Визначаємо критичні напруги по формулі (7.4):

мінімальні радіуси інерції:

, ;

гнучкості тяг:

, ;

критичні напруги:

, ;

3. Оскільки sКР1 т , Перша тяга втратить стійкість при sкр = 24,2 МПа, тому граничне значення стискаючої сили Fmax1 визначимо з умови перевірки на стійкість (7.6):

Fmax1 ? sкр ? А / [n] = 24,2 ? 5 / 1,5 = 80,6 Н.

приймаємо Fmax1 = 80 Н.

У другій тяги sКР2 > sт, Тому перш ніж втратити стійкість, вона піддасться пластичної деформації, тобто втратить міцність. З умов міцності відповідно до рівняння (2.7) отримаємо:

Fmax2 ? sкр ? А / [n] = 490 ? 5 / 1,5 = 1633 Н.

приймаємо Fmax2 = 1600. Н.

висновок: Зміна профілю тяги згідно ріс7.3 (що легко можна здійснити, наприклад, штампуванням) дозволить збільшити величину граничної стискає сили в 20 (!) Разів, причому в першому випадку можна побоюватися втрати стійкості, а в другому - міцності.

8. Складний опір

8.1. Загальні відомості. Поняття про теорії міцності

У всіх вищерозглянутих випадках в поперечних перетинах деталей під впливом зовнішніх навантажень виникало тільки одне внутрішнє зусилля: або поздовжня сила, або крутний або вигинає момент. Виняток склав лише плоский поперечний вигин, коли в поперечних перетинах балки виникають два внутрішніх зусилля - згинальний момент і поперечна сила. Але і в цьому випадку при розрахунку на міцність і жорсткість зазвичай враховують тільки згинальний момент.

На практиці часто зустрічаються більш складні деформації, коли в поперечних перетинах діють два, три і більше внутрішніх зусилля одночасно. Ці випадки називаються складним опором.

Порядок вирішення таких завдань:

1) за допомогою методу перетинів визначають внутрішні силові фактори, що виникають в поперечних перетинах стрижня (балки, вала);

2) будують епюри внутрішніх зусиль, що дозволяють визначити координати небезпечногоперетину (в ряді випадків двох і більше), де внутрішні зусилля максимальні;

3) в небезпечних перетинах на підставі принципу незалежності дії сил визначають нормальні і дотичні напруження від кожного внутрішнього зусилля окремо;

4) досліджуючи розподіл напружень по перерізу, встановлюють небезпечні ділянки (лінії, точки), для яких і складають умова міцності;

5) якщо виявиться, що в небезпечній ділянці є одновісне напружений стан (наприклад, при розтягуванні і вигині), то при розрахунку на міцність порівнюють сумарне нормальне напруга з допускаються простим, наприклад розтягують або изгибающим. Якщо напружений стан в точці двовісне (наприклад, крутіння і вигин), розрахунок виконують, використовуючи ту чи іншу теорію (гіпотезу) міцності.

Суть теорій міцності полягає в тому, що при розрахунку складних напружених станів їх комбінація умовно замінюється однієї простої деформацією, равноопасной (еквівалентної) складною. В курсі «Опір матеріалів» розглядаються такі теорії, як «теорія найбільших нормальних напружень», «теорія найбільших деформацій», «теорія найбільших дотичних напружень». У «Технічної механіки» для розрахунків деталей авіаційних механізмів застосовується в основному четверта, енергетична теорія міцності. Відповідно до цієї теорії два напружених стану деталі - складне і еквівалентну йому просте вважаються одно-небезпечними, якщо рівні питомі потенційні енергії зміни їх форми. В основному ця теорія застосовується при розрахунках деталей з пластичних матеріалів.

8.2. Вигин з розтяганням або стисканням

Розглянемо консольную балку довжиною l прямокутного перетину b'h (Рис. 8.1, а), яка піддається осьовому розтягу силою Fх і плоскому поперечному вигину від сили FZ.

Завдання визначення небезпечногоперетину і подальші розрахунки на міцність проведемо за допомогою принципу незалежності дії сил. Згідно з цим принципом розглянемо окремо вигин і розтягнення. Побудуємо епюри згинальних моментів Ми і поздовжніх сил N (Рис. 8.1, б).

sр
sи
Fz
D
z


рис 8.1

З епюр видно, що максимальних значень вигинає момент Ми досягає в перерізі АВСD, Де він дорівнює FZl, А значення поздовжньої сили N = Fх постійно по всій довжині балки. Епюри напружень від вигину sи і від розтягування в перерізі АВСD показані на рис. 8.1, в. Як видно, найбільшого значення напруга sи досягає в шарах А D и ВС, Найбільш віддалених від нейтральної осі: sи = Ми/Wу = FZl / (bh2/ 6). напруга sр однаково в будь-якому перетині і одно sр = N / А = Fx / bh.

Нормальні напруги sи і sр, Спрямовані по одній прямій, можна складати алгебраїчно. Очевидно, що в підсумку найбільш небезпечним буде перетин в закладенні, а в ньому найбільш небезпечним є шар А D, Де напруги sи і sр мають однаковий знак. Умова міцності балки при цьому буде мати вигляд:

sэ = sи + sр = Ми / Wу+ Fх / А ? [sи], (8.1)

де sэ - еквівалентне напруження.

якщо сила Fх буде стискає, рівняння міцності не зміниться, напруги sи і sр також будуть складатися, але небезпечним буде шар ВС. З тієї ж причини не має значення напрямок сили FZ, т. е. знак моменту Ми в рівнянні (8.1) також береться за абсолютною величиною.

8.3. Косий вигин (вигин у двох площинах)

Вигин називається косим, ??якщо площину деформації (розташування зігнутої осі балки) не збігається з площиною дії зовнішніх сил і моментів.

Нехай на балку діє сила F, складова кут AС віссю симетрії перетину z (рис. 8.2, а).


Балка має прямокутний перетин, в якому висота h більше ширини b, Внаслідок чого і осьові моменти інерції перерізу різні:

Jу = bh3/ 12> Jz = hb3/ 12.

В даному випадку найбільші напруги виникають в точках поперечного перерізу, найбільш віддалених від нейтральної осі, де напруга дорівнює нулю. Для визначення значень найбільших напружень в небезпечному перерізі АВСД сила F розкладається на дві складові - горизонтальну Fу і вертикальну FZ за напрямками головних осей інерції перерізу (рис 8.2, а). В цьому випадку епюри напруг s гір в горизонтальній і s верт у вертикальній площинах будуються на підставі правил і формул, отриманих раніше для плоского поперечного вигину (рис. 8.2, б). Максимальні напруги будуть в точках небезпечного перерізу, найбільш віддалених від відповідних нейтральних осей. Так як розтягують напруженням приписується знак плюс, а стискає - знак мінус, то неважко побачити з рис. 8.2, б, що найбільш напруженими будуть точки В и Д перетину. Виникаючі в них напруги sверт и sгір відповідно до принципу незалежності дії сил підсумовуються. Таким чином в розглянутому випадку косого згину балки прямокутного перерізу умова міцності в небезпечному перерізі набуває вигляду:

 (8.2)

8.4. Вигин і крутіння

При навантаженні круглого бруса (вала) крутним Мкр і изгибающим Ми моментами еквівалентне напруження в перерізі визначається на підставі енергетичної теорії міцності при статичному навантаженні за формулою

 (8.3)

Враховуючи що Wр = 2Wу ,отримаємо умови міцності у вигляді

 (8.4)

де МЭ =  - Еквівалентний момент.

При змінних навантаженнях перевірку на міцність проводять за формулою

 (8.5)

де и - розрахункові значення запасів міцності по нормальних і дотичних напруг (детальніше див. розділ «Змінні напруги»)

8.5. Розрахунок тонкостінних судин

До тонкостінних судинах відносяться ємності для зберігання рідин і газів, елементи теплообмінників, трубопроводів, регуляторів тиску, сильфонів, товщина стінок яких не перевищує 0,1 мінімального радіуса кривизни. Конструктивні виконання тонких судин може бути різне, а методика розрахунку на міцність відрізняється незначно.

Якщо судини мають форму тіл обертання, то без великої погрішності можна прийняти, що в стінках виникають тільки нормальні напруги (розтягують або стискають) і що ці напруги розподілені рівномірно по товщині стінки.

Розглянемо тонкостінний посудину з товщиною стінки t, що знаходиться під внутрішнім тиском р (Рис. 8.3).

Виріжемо з його стінки елемент площею d А = d11d12, радіуси кривизни поверхні судини в даному місці r1и r2.

Використовуючи метод перетинів, замінимо взаємодія елемента dA Склад частиною судини внутрішніми силами N1 и N2, Інтенсивність яких дорівнює s1 і s2. Складемо умова статичної рівноваги елемента, для чого спроеціруем сили, що діють на елемент, на напрям нормалі п - п до поверхні елемента.

зовнішня сила N від внутрішнього тиску р буде дорівнює N = рdА = рdl1dl2 .

Проекція на нормаль п - п внутрішніх сил N1 и N2, Що діють попарно на чотирьох гранях, дорівнює 2N1sin (dj 1/ 2) + 2N2sin (dj 2/ 2) = 2s1A1sin (dj 1/ 2) + + 2s2A2sin (dj 2/ 2).

З урахуванням малості розмірів елемента приймемо sin (dj 1/ 2) = dj 1/ 2, a sin (dj 2/ 2) = dj 2/ 2.

Тоді рівняння рівноваги елемента записується у вигляді

 рdl1dl2= 2s1 A1 dj 1/ 2+2s2 A2dj 2/2 =s1 A1 dj 1+ s2 A2dj 2.


з умови dl1 = r1dj 1, dl2 = r2dj 2 висловимо dj 1 = dl1/r1, dj 2 = dl2/r2 . Підставивши ці значення в рівняння з урахуванням того, що A1 = t dl2, а A2 = t dl1 (Див. Рис. 8.3) отримаємо:

рdl1dl2= s1 tdl2 dl1 / r1+s2 t dl1dl2 / r2

Розділивши ліву і праву частини рівняння на tdl1dl2отримаємо остаточну формулу для розрахунку тонкостінних судин, яку називають формулою Лапласа:

s1/r1+s2/r2=p / t (8.6)

Розглянемо розрахунок двох видів судин, що найчастіше зустрічаються на практиці: сферичного і циліндричного. При цьому обмежимося випадками дії внутрішнього газового тиску.

1. сферичний посудину. В цьому випадку r1= r2= r, де r - радіус сфери, а s1 =s2= s. З формули (8.6) випливає, що

s =РR / 2t (8.7)

Дослідження показують, що оскільки в даному випадку має місце плоский напружений стан, то згідно з енергетичною теорії перевірка міцності ведеться, як у випадку одноосного напруженого стану:

s =РR / 2t? [s] (8.8)

2. циліндричний посудину. У цьому випадку (рис. 8.4, а) r1= r - радіус циліндра, r2= ?.


З рівняння Лапласа отримуємо s1/r = p / t, звідки

s1= Pr / t (8.9)

Для визначення напруги s2 використовуємо метод перетинів. Розсічений посудину площиною п-п, перпендикулярної його осі, подумки відкинемо праву частину і розглянемо умова рівноваги лівої частини (рис. 8.4, б). На неї діють сила тиску газу на днище F = РА1 = рpr2, А також внутрішня сила від напруги s2, що дорівнює N2 =s2А2 = s22prt. Проектуючи ці сили на вісь судини, отримуємо:

-F + N2 =0; рpr2+ s22prt = 0, звідки s2= Pr /2t. (8.10)
 З залежностей (8.9) і (8.10) видно, що в циліндричній посудині напруга в поздовжньому перетині в 2 рази більше, ніж в поперечному. Це враховують на практиці при виготовленні складових циліндричних резервуарів: поздовжні зварні шви виконують більш міцними, ніж поперечні.
 При розрахунку на міцність циліндричної посудини рекомендується застосовувати
 формулу, засновану на енергетичній теорії міцності:
sЭ= 0,86s1 = 0,86pr / t ? [s] (8.11)


9. Напруга в елементах конструкцій при динамічних навантаженнях

9.1. Загальні відомості

Динамічними вважаються навантаження, що змінюються в часі з великою швидкістю. Напруження, що виникають при коливаннях від дії динамічних навантажень, можуть у багато разів перевищувати за своїм значенням напруги від статичних навантажень. Крім того, багато пластичні матеріали при динамічній дії стають крихкими, при дії багаторазово повторюваного змінному навантаженні міцність матеріалів різко знижується.

Загальний метод розрахунку на динамічне навантаження заснований на відомому з теоретичної механіки принципу Даламбера, згідно з яким будь-яке рухається тіло може розглядатися як таке, що в стані миттєвого рівноваги, якщо до діючих на нього зовнішнім силам додати силу інерції, що дорівнює добутку маси тіла на його прискорення і спрямовану в сторону, протилежну прискоренню.

Тому у випадках, коли відомі сили інерції, можна застосовувати метод перетинів, а для визначення внутрішніх навантажень використовувати рівняння статичної рівноваги.

У тих же випадках, коли визначення сил інерції утруднено, наприклад, при ударі, для визначення динамічних напружень і деформацій використовують закон збереження енергії.

9.2. Напруження при рівноприскореному русі

Розглянемо найпростіший приклад. Нехай вантаж 1 вагою С піднімається вгору з прискоренням а (Рис. 9.1, а). Визначимо напругу в тязі 2, що тримає вантаж, якщо її площа перерізу дорівнює А.

Прикладаємо до вантажу силу інерції та = (G / g) А і спрямовану вниз. Використовуючи метод розтину, робимо подумки розріз тяги по перетину п - п, відкидаємо верхню частину, позначивши внутрішнє зусилля в перетині Nдн (Динамічний). Оскільки напруга розподілено по перетину тяги А рівномірно, можна записати, що Nдн= sднА, де sдн - шукане динамічне напруження в тязі.

Спроектувавши все на вертикальну вісь одержимо: sдн А - G(1+ a / g) = 0,

звідки

sдн= G / A(1+a / g) = sст Кдн, (9.1)
 де sст = G / A - напруга при статичній дії вантажу, Кдн =(1+ a / g)
-
динамічний коефіцієнт.

Таким чином, динамічна напруга може бути виражено через статичну електрику і динамічний коефіцієнт. Це особливо зручно в тих випадках, коли динамічний коефіцієнт доводиться визначати дослідним шляхом.

9.3. Напруження при поздовжньому ударі

 Нехай вантаж вагою G падає з висоти h на нерухомий стрижень (рис. 9.2, а). Під дією ваги вантажу, а також сил інерції, яку він придбав при падінні, стрижень коротшатиме на величину ?lдн (Рис. 9.2, б), при цьому в ньому виникне відповідне динамічне напруження sдн , яке визначається з

допомогою закону збереження енергії. При цьому використовуються такі припущення:

1) при ударі sдн T, т. е. закон Гука зберігає свою силу;

2) тіла після удару не відскакують один від одного;

3) маса вантажу >> маси стерня;

4) нехтуємо втратами енергії.

Прирівнявши роботу падаючого вантажу до потенційної енергії деформації стрижня, отримуємо:

?lдн= ?lст(1+  ) =?lстКдн (9.2)
 Помноживши ліву і праву частини (9.2) на (Е / l), на підставі закону Гука

отримаємо

sдн = sст Кдн (9.3)

де динамічний коефіцієнт Кдн дорівнює:

К дн = 1 +  (9.4)

З цих формул видно, що динамічні деформації і напруги залежать від статичної деформації наголошеного тіла. Чим більше статична деформація (при інших рівних умовах), тим менше динамічне напруження. Ось чому для зменшення динамічного напруження намагаються конструктивними методами збільшити статичну деформацію (наприклад, застосуванням амортизаторів, пружин, м'яких прокладок та ін.).

Розглянемо два окремих випадки.

1. Раптове додаток навантаження (h = 0):

Кдн = 2, sдн = 2sст , т. е. напруги і деформації вдвічі більше, ніж при статичній дії того ж вантажу.

2. Вантаж падає з великої висоти (h>>?lст):

Кдн =  (9.5)

Наприклад, нехай ?lст = 5 · 10 -3 мм, h = 250 мм, тоді згідно (9.5) Кдн = 300. Застосуємо амортизатор, у якого при даній статичному навантаженні ?lст = 5мм. отримаємо Кдн = 10 - напруга зменшилася в 30 (!) Разів.

10. Міцність при змінних напругах

10.1. Поняття про втомної міцності. Основні визначення

Багато деталей авіаційних механізмів в процесі роботи піддаються дії періодично змінюються в часі навантажень (напруг). Встановлено, що при цьому в матеріалі деталей виникають мікротріщини, які поступово розвиваються і значно послаблюють перетин деталей. При руйнуванні на поверхні зламу деталі спостерігаються дві яскраво виражені зони: гладка - результат поступового розвитку тріщини і грубозерниста - слід раптового руйнування. Таке явище називається втомою матеріалу.

При змінних напругах руйнування деталі буде проходити при напрузі, що значно менших межі міцності. Додатковою характеристикою властивостей матеріалу, що визначають можливість сприймати багаторазове дію змінних напруг без руйнування, є межа витривалості. Значення межі витривалості для одного і того ж матеріалу залежить від ряду факторів, зокрема від закону зміни напруги в часі. В деталях механічних систем найбільш часто напруги змінюються за циклічним законом, близьким до синусоїдального. На рис. 10.1 показано періодична зміна нормального напруги в часі від найменшого ?min до найбільшого ?max. Одноразова зміна напружень називається циклом зміни напружень, tц - Час циклу.




© um.co.ua - учбові матеріали та реферати