На головну

Зв'язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.

  1.  B. Чисельні значення різниці потенціалів в будь-який момент часу.
  2.  C. Найменша відстань між подразниками, при якому останні сприймаються як роздільні.
  3.  C. Різниця потенціалів, що виникає між внутрішньою і зовнішньою сторонами мембрани, виміряна в стані фізіологічного спокою.
  4.  C. Випадкова величина, яка може приймати будь-які значення всередині деякого інтервалу.
  5.  I. У ЯКОМУ СЕНС МОЖНА ГОВОРИТИ ПРО МІЖНАРОДНЕ ЗНАЧЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ РЕВОЛЮЦІЇ?
  6.  I. Компроміс між стратою і довічним
  7.  I. Процесуальні засади призначення і виробництва

Теорема 1. нехай Vn - n-мірне векторний простір над полем P. матриця Т n-го порядку над полем Р є матрицею переходу від одного базису векторного простору Vn до іншого тоді і тільки тоді, коли detТ ? 0.

Теорема 2. нехай Vn - n-мірне векторний простір над полем P, (1), (1 ') - базиси векторного простору Vn, Т - матриця переходу від базису (1) до базису (1 '), - лінійний оператор векторного простору Vn, А - матриця лінійного оператора в базисі (1), В - матриця лінійного оператора  в базисі (1 '). тоді

В = Т-1АТ.

Доведення. З визначення матриці лінійного оператора слід, що = (2) і = (3).

З формул переходу від базису до базису маємо

= (4) і = (5).

Підставами з (2) і (3) відповідні вирази в (5). отримаємо

= (6).

Тепер підставимо в (6) замість відповідне вираз з (4):

= (7).

З (7) випливає, що . Помноживши обидві частини останнього рівності зліва на Т-1, Остаточно отримаємо В = Т-1АТ. Теорема доведена.

Визначення 1. Нехай j - лінійний оператор векторного простору V над полем P. ненульовий вектор  називається власним вектором лінійного оператора j, якщо існує lIP таке, що

j (  ) = L  . (1)

При цьому, l називається власним значенням лінійного оператора j, а  - Власним вектором лінійного оператора  , Що належить своїм значенням l.

Лемма 1. нехай - власний вектор лінійного оператора векторного простору V над полем P. Есліl1 і l2 - власні значення лінійного оператора j, відповідні власному вектору  , То l1=l2.

Доведення. Нехай j (  ) = L1  і j (  ) = L2  . Так як j - відображення, то l1 =l2  . тоді l1 - l2 =  . Отже, (l1 - l2 =  . Так як  , То l1 - l2 і l1=l2. Лема доведена.

Лемма 2. нехай P - Безмежне поле, - власний вектор лінейногооператора j векторного простору V над полем P, Що належить своїм значенням l. Тоді існує безліч власних векторів лінійного оператора j, що належать своїм значенням l.

Доведення. для будь-якого  маємо  , Тобто вектор  є власним вектором лінійного оператора j, що належить своїм значенням l. Лема доведена.

 




 Множення матриці на скаляр, транспонування матриць, множення матриць і їх основні властивості. |  Розкладання визначника по ряду. Мінор і алгебраїчне доповнення до елемента визначника. Зв'язок алгебраїчних доповнень з минорами. |  Системи лінійних рівнянь (СЛР). Рішення системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення слу. Елементарні перетворення матриці. |  Формула для обчислення зворотної матриці. |  Формули Крамера. |  Визначення векторного простору. Приклади векторних просторів. Арифметичне n-мірне векторний простір. |  Найпростіші властивості векторного простору |  Лінійна комбінація системи векторів. Лінійно залежна і лінійно незалежна системи векторів. |  Властивості лінійно залежної системи векторів. |  Базис системи векторів. Координати вектора в даному базисі. Розкладання вектора по базису - існування і єдиність. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати