На головну

Ізоморфізм векторних просторів однаковою розмірності.

  1.  N-мірне векторний простір. його базис
  2.  Б) Синдром порушення просторових синтезів.
  3.  Б5. 1. Дія кримінального закону в просторі (принцип територіальності, принцип громадянства, універсальний принцип, реальний принцип). Видача осіб, які вчинили злочин.
  4.  Базис у векторному просторі.
  5.  Базис в просторі і на площині. Розкладання по базису
  6.  У віртуальному просторі
  7.  У віртуальному просторі

Визначення. нехай V1 і V2 - Векторні простори над одним і тим же полем P. Кажуть, що V1 ізоморфно V2 (Позначається V1 @ V2), Якщо існує взаємно-однозначне відображення j простору V1 на V2 таке, що виконуються наступні умови:

1) j ( +  ) = J (  ) + J (  ) Для будь-яких и  з V1;

2) j (a  ) = Aj (  ) І для будь-яких  I V1 і aIР.

Теорема. Нехай V - векторний простір над полем P і dimPV = n. Тоді V @ Pn, гдеPn - Арифметичне n-мірне векторний простір.

Доведення. нехай ,  , ...,  - Базис векторного простору V над полем P. Тоді для будь-яких и  з V існує єдине розкладання по базису:

 = a1  + a2  + ... + An = и  = b1  + b2  + ... + Bn = .

Задамо відповідність j за правилом j (  ) = (A1, a2, ..., An) Для будь-якого =  I V, т. Е. Кожному вектору з V поставимо у відповідність кортеж його координат. В силу єдиності розкладання вектора по базису, j є відображенням V в Pn. Покажемо, що j - біекція. Дійсно, для будь-якого (g1, g2, ..., Gn) I Pn, існує  = g1  + g2  + ... + Gn  I V, такий що j (  ) = (G1, g2, ..., Gn). Отже, j - сюр'єкція.

Перевіримо ін'єкційних j. Нехай j (  ) = J (  ). Тоді за визначенням j, маємо

(a1, a2, ..., An) = (B1, b2, ..., Bn). Це рівність можливо тільки в разі ai= bi, Для всіх i =  . Але тоді =  , що означає =  . Отже, j - ін'єкційних. Таким чином, відображення j биективно.

Перевіримо здійсненність умов 1) і 2) визначення ізоморфізму векторних просторів.

j ( +  ) = J ( +  ) = (Коммутативность «+» на V, узагальнений дистрибутивний закон) = j (  ) = (A1+ b1, a2+ b2, ..., An+ bn) = (A1, a2, ..., Ar) + (B1, b2, ..., Bn) = J ( +  ) Для будь-яких и  з V, т. е. умова 1) виконується.

Для будь-якого aіз Р і будь-якого  I Vj (a  ) = J (a  ) = (Узагальнений дистрибутивний закон, узагальнена асоціативність) = j (  ) = (Aa1, aa2, ..., Aan) = A (a1, a2, ..., An) = Aj (  ), Т. Е. Виконується умова 2) визначення. Значить, j є ізоморфізмом векторного простору V на арифметичне n-мірне векторний простір Pn, Т. Е.V@Pn. Теорема доведена.

слідство. Будь-які два n-мірних векторних простору над полем P ізоморфні.

Доведення. нехай V1 і V2 - N-мірні векторні простору над полем P. Тоді по теоремі V1@Pn і V2@Pn. Т. к. Ставлення ізоморфізму векторних просторів є відношенням еквівалентності, то воно симетрично і транзитивній. з V2@Pn слід Pn @ V2. з V1@Pn і Pn @ V2 отримуємо V1@V2. Слідство доведено.


 




 Множення матриці на скаляр, транспонування матриць, множення матриць і їх основні властивості. |  Розкладання визначника по ряду. Мінор і алгебраїчне доповнення до елемента визначника. Зв'язок алгебраїчних доповнень з минорами. |  Системи лінійних рівнянь (СЛР). Рішення системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення слу. Елементарні перетворення матриці. |  Формула для обчислення зворотної матриці. |  Формули Крамера. |  Визначення векторного простору. Приклади векторних просторів. Арифметичне n-мірне векторний простір. |  Найпростіші властивості векторного простору |  Лінійна комбінація системи векторів. Лінійно залежна і лінійно незалежна системи векторів. |  Властивості лінійно залежної системи векторів. |  Базис системи векторів. Координати вектора в даному базисі. Розкладання вектора по базису - існування і єдиність. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати