На головну

Визначення векторного простору. Приклади векторних просторів. Арифметичне n-мірне векторний простір.

  1.  I. Визначення термінів і предмет дослідження
  2.  II. Визначення закону руху системи.
  3.  N-мірне векторний простір. його базис
  4.  V. Визначення ціни і обсягу виробництва в умовах монополії.
  5.  А) Визначення сторін горизонту за Сонцем
  6.  А. Визначення зносу об'єкта нерухомості
  7.  А.1 Визначення освітленості на робочих місцях

Нехай Р - поле. Елементи a, b, ... IР будемо називати скалярами.

Визначення 1. клас V об'єктів (елементів) , ,  , ... Довільної природи називається векторних простором над полем Р, А елементи класу V називаються векторами, Якщо V замкнуто щодо операції «+» і операції множення на скаляри з Р (тобто для будь-яких ,  IV + IV; "AI Р a  IV), і виконуються наступні умови:

А1: Алгебра - абелева група;

А2: Для будь-яких a, bIР, для будь-якого  IV виконується a (b  ) = (Ab)  - Узагальнений асоціативний закон;

А3: Для будь-яких a, bIР, для будь-якого  IV виконується (a + b)  = a  + b ;

А4: Для будь-якого a з Р, для будь-яких ,  з V виконується a ( +  ) = A  + a  (Узагальнені дистрибутивні закони);

А5: Для будь-якого  з V виконується 1 =  , Де 1 - одиниця поля Р - властивість унітарності.

Елементи поля Р будемо називати скалярами, а елементи множини V - векторами.

Зауваження. Множення вектора на скаляр не є бінарною операцією на безлічі V, так як це відображення P'V®V.

Розглянемо приклади векторних просторів.

Приклад 1. Нульове (нуль-мірне) векторне простір - простір V0= {  } - Що складається з одного нуль-вектора.

+ =  і для будь-якого aIР a =  . Перевіримо здійсненність аксіом векторного простору.

Зауважимо, що нульове векторний простір істотно залежить від поля Р. Так, нульмерние простору над полем раціональних чисел і над полем дійсних чисел вважаються різними, хоч і складаються з єдиного нуль-вектора.

Приклад 2. Поле Р саме є векторним простором над полем Р. Нехай V = P. Перевіримо здійсненність аксіом векторного простору. Так як Р - поле, то Р є адитивною абельовой групою і А1 виконується. В силу здійсненності в Р асоціативності множення виконується А2. аксіоми А3 і А4 виконуються в силу здійсненності в Р дистрибутивности множення щодо складання. Так як в поле Р існує одиничний елемент 1, то виконується властивість унітарності А5. Таким чином, поле Р є векторним простором над полем Р.

Приклад 3.Арифметичне n-мірне векторний простір.

Нехай Р - поле. Розглянемо безліч V = Pn = {(A1, a2, ..., An) ? ai I P, i = 1, ..., n}. Введемо на безлічі V операції додавання векторів і множення вектора на скаляр за такими правилами:

"  = (A1, a2, ..., An),  = (B1, b2, ..., Bn) I V, "aI P +  = (A1 + b1, a2+ b2, ..., An+ bn) (1)

a  = (Aa1, aa2, ..., Aan) (2)

Елементи множини V будемо називати n-мірними векторами. Два n-мірних вектора називаються рівними, якщо їх відповідні компоненти (координати) рівні. Покажемо, що V є векторним простором над полем Р. З визначення операцій додавання векторів і множення вектора на скаляр слід, що V замкнуто щодо цих операцій. Так як складання елементів з V зводиться до складання елементів поля Р, а Р є адитивною абельовой групою, то і V є адитивною абельовой групою. причому, =  , Де 0 - нуль поля Р, -  = (-a1, -a2, ..., -an). Таким чином, А1 виконується. Так як множення елемента з V на елемент з Р зводиться до множення елементів поля Р, то:

- А2 виконується в силу асоціативності множення на Р;

- А3 і А4 виконуються в силу дистрибутивности множення щодо складання на Р;

- А5 виконується, так як 1 I Р - нейтральний елемент відносно множення на Р.

Визначення 2. Безліч V = Pn з операціями, визначеними формулами (1) і (2) називається арифметичним n-мірним векторних простором над полем Р.




 Множення матриці на скаляр, транспонування матриць, множення матриць і їх основні властивості. |  Розкладання визначника по ряду. Мінор і алгебраїчне доповнення до елемента визначника. Зв'язок алгебраїчних доповнень з минорами. |  Системи лінійних рівнянь (СЛР). Рішення системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення слу. Елементарні перетворення матриці. |  Формула для обчислення зворотної матриці. |  Лінійна комбінація системи векторів. Лінійно залежна і лінійно незалежна системи векторів. |  Властивості лінійно залежної системи векторів. |  Базис системи векторів. Координати вектора в даному базисі. Розкладання вектора по базису - існування і єдиність. |  Теорема про те, що будь-які два базису системи векторів складаються з одного і того ж числа векторів. Ранг системи векторів. Скінченновимірні векторні простору. Приклади. |  Ізоморфізм векторних просторів однаковою розмірності. |  Простір всіх рішень однорідної системи рівнянь. Фундаментальний набір рішень однорідної системи лінійних рівнянь. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати