Головна

Розкладання визначника по ряду. Мінор і алгебраїчне доповнення до елемента визначника. Зв'язок алгебраїчних доповнень з минорами.

  1.  IV. Взаємозв'язок між економічною теорією і політикою
  2.  IX. Місце мовознавства в системі наук і його зв'язок з іншими науками.
  3.  VI. Телепатичний зв'язок.
  4.  Аналіз стійкості за допомогою алгебраїчних критеріїв.
  5.  Аналіз фінансової стійкості, її зв'язок з рентабельністю.
  6.  Антропологія - наука про людину. Завдання і об'єкт дослідження. Методи антропології. Зв'язок з іншими науками.
  7.  Аудиторія та її взаємозв'язок з оратором

Нехай ? = = .

Визначення 1. Якщо у визначнику ? згрупувати всі складові, які містять елемент aij і, згрупувавши, винести елемент aij за дужки, то вираз, отримане в дужках, позначається Aij і називається алгебраїчним доповненням до елемента aij определителе ?, i = , j = .

Так як всі елементи iтої рядки визначника ? входять в одне і тільки одна з складових, то ? =ai1Ai1+ ai2Ai2+ ... + ainAin (1). Рівність (1) називається розкладанням визначника ? по i-тому рядку.

Аналогічно: ? =a1jA1j+ a2jA2j+ ... + anjAnj (2) - розкладання визначника ? по j-тому стовпці, j = .

Рядки і стовпці визначника ? називаються його рядами. Таким чином, (1) і (2) - розкладання ? по ряду.

Визначення 2. Якщо у визначнику ? викреслити i-тую рядок і jтий стовпець, то на їх перетині вийде елемент aij, А інші елементи утворюють визначник (n-1) -го Порядку, який позначається Mij і називається мінор до елемента aij определителе ?, i = , j = .

Приклад 1. Нехай ? =  . тоді M23 =  і т.д.

Теорема 1. Пусть? - визначник n-гопорядка над полем P, Aij и Mij - алгебраїчне доповнення та мінор до елемента aij в?соответственно. тоді

Aij=(-1)i+ jMij, i = , j = .

Доведення. нехай ?1 - Сума всіх тих доданків з ?, які містять елемент aij, Т. Е ?1= =  (3). Другі індекси в (3) утворюють перестановку I1, Отриману з перестановки I видаленням символу j с i-того місця. Тоді, по теоремі про парності перестановки, отримаємо = =aij(-1)i+jMij, Т. Е ?1 = aij(-1)i+jMij (4). З іншого боку ?1 =aijAij (5). З (4) і (5) випливає, що aij(-1)i+jMij = aijAij. тоді Aij = (-1)i+jMij. Теорема доведена.

6. Властивості визначників.

Властивість 1. При транспонировании матриці її визначник не змінюється.

Доведення. нехай  - матриця n-го порядку над полем Р. Транспоніруя А, отримаємо  . Всілякі твори виду  будуть однаковими як для матриці А, так і для матриці tА. При цьому знак твори зберігається. Таким чином, |А| = | tА|.

З властивості 1 випливає, що всі твердження, справедливі для будь-якої рядки визначника, вірні і для його стовпчика

Властивість 2. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Доведення. У кожен твір визначника обов'язково входить один елемент рядка, що складається з нулів. Тому всі складові визначника рани нулю, а, значить, і визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Від перестановки двох рядків місцями визначник змінює знак.

Доведення. Нехай ? = .

У визначнику ? переставимо i-у і j-у (i<j) Рядки місцями. отримаємо:

? '=  . нехай  - Один із творів визначника ?. Тоді відповідним для визначника ? 'буде твір  . Ці твори відрізняються тільки індексами сомножителей. перестановка (k1 k2 ... kj ... ki ... kn) Отримана з перестановки (k1 k2 ... ki ... kj ... kn). Таке перетворення змінює парність перестановки, а, отже, знак розглянутого твору. Таким чином, при перестановці двох рядків місцями всі твори, що становлять визначник ?, поміняють знак. Отже, поміняє знак і ?.

Властивість 4. Визначник, що містить дві однакові рядки, дорівнює нулю.

Доведення. Нехай визначник ? містить дві однакові рядки: i-у і j-у. Поміняємо їх місцями. По властивості 3, визначник ? поміняє знак: ? '=-?. Але, так як рядки однакові, то ? '= ?. Значить, ? =-? і ? =0. Властивість доведено.

Властивість 5. Загальний множник всіх елементів деякого рядка визначника можна винести за знак визначника.

Доведення. ? = =  . нехай елементи i-ой рядки мають загальний множник ?. Так як в кожний доданок виду  входить елемент цього рядка, то все такі твори мають загальний множник ?, Який можна винести за знак всієї суми в ?.

Властивість 5 '. Якщо всі елементи деякого рядка визначника ? помножити на одне і теж число, то визначник множиться на це число.

Властивість 6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Доведення. Нехай ? =  , причому ai1= aj1, ai2= aj2, ..., ain= ajn. винесемо елемент ? з j-ої рядки за знак визначника ?. отримаємо:

? =  . Тоді, по властивості 4, ? =??0 = 0.

Властивість 7. Якщо всі елементи i-ої рядки визначника представлені у вигляді суми двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім i-ої, ті ж, що і у даного визначника, i-я рядок одного визначника складається з перших доданків i-ої рядки даного визначника, а i-я рядок другого - з других доданків i-ої рядки даного визначника.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

Властивість 9. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника n-го порядку на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка дорівнює нулю, тобто ai1Aj1+ ai2Aj2+ ... + AinAjn= 0 де i?j.


 




 Формула для обчислення зворотної матриці. |  Формули Крамера. |  Визначення векторного простору. Приклади векторних просторів. Арифметичне n-мірне векторний простір. |  Найпростіші властивості векторного простору |  Лінійна комбінація системи векторів. Лінійно залежна і лінійно незалежна системи векторів. |  Властивості лінійно залежної системи векторів. |  Базис системи векторів. Координати вектора в даному базисі. Розкладання вектора по базису - існування і єдиність. |  Теорема про те, що будь-які два базису системи векторів складаються з одного і того ж числа векторів. Ранг системи векторів. Скінченновимірні векторні простору. Приклади. |  Ізоморфізм векторних просторів однаковою розмірності. |  Простір всіх рішень однорідної системи рівнянь. Фундаментальний набір рішень однорідної системи лінійних рівнянь. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати