Головна

Дослідити та побудувати графік

  1.  D-графіка.
  2.  VI. Акцентування теоретичного моменту по темі «Рівняння дотичної до графіка функції», розгляд прикладів - 6 хвилин
  3.  аналіз графіків
  4.  Аналітичний прийоми. Графік дає уявлення про взаємозв'язок обсягу продажів, витрат і прибутку.
  5.  Б.2.08. КОМП'ЮТЕРНА ГРАФІКА
  6.  Векторна графіка
  7.  Векторна графіка

у = е 2х-х2

1. d (у) = (-?ж + ?)

2. е 2х - х2= е-х2 = е-?= 0 d = 0 ГА

3. у '= (е 2х - х2) '= Е 2х - х2 * (2-2х)

у '= 0

2-2х = 0

х = 1

23. Основні правила диференціювання функцій однієї змінної (одне з цих правил довести).Осн. правила диф-ня ф-ції однієї змінної: 1.Похідна постійної дорівнює нулю, т. Е. з '= 0.2.Вироб. арг-та дорівнює 1, т. к. х '= 1.3.Вироб-я алгебрач. суми кінцевого ч-ла диференціюються ф-ций дорівнює такій же сумі похідних цих ф-ций, т. е. (U + ?) '= u' + ?'.4.Вироб. творів 2-х діфференц-х ф-цій (U?) '= u'? + u?'.Следствіе1: Пост. множ-ль можна виносити за знак похідної: (cu) '= cu'.Следствіе2: (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'Доказательство: Нехай u = u (x) і ? = ? (x) - диференціюються ф-ції. Знайдемо похідну ф-ції y = u?.1?. дамо аргументу х приріст ?х ? 0. Тоді ф-ції u і ? отримають нарощені зн-я u + ?u і ? + ??, а ф-ція y - значення y + ?y = (u + ?u) (? + ??) .2?. знайдемо пріращена. ф-ціі?y = (u + ?u) (? + ??) -u? = u? + ?u? + u?? + ?u??-u? = ?u? + u?? + ?u??.3?. складемо відношення ?y / ?x, кіт. представимо в віде?y / ?x = (?y / ?x) ? + u (?? / ?x) + (?u / ?x) (?? / ?x) ?x.4?. знайдемо межа цього отнош-я при ?х > 0, використовуючи теореми про пределахlim?x> 0?y / ?x = lim?x> 0(?u / ?x) ? + u lim?x> 0(?? / ?x) + lim?x> 0(?u / ?x) • lim?x> 0(?? / ?x) • lim?x> 0?x.На підставі опр-я похідною отримали, що y '= u'? + u?' + u'? '• 0 або y' = u'? + u? '. чтд.5.Похідна частки двох диференційовних ф-цій м. Б. знайдена по ф-ле: (U / ?) '= (u'?-u?') / ?2. (? ? 0).25.. Теорема Ролля і Лагранжа (без доведення). Геометрична інтерпретація цих теорем.Теорема Ролля. Нехай ф-ція y = f (x) задовольняє след-м ум-ям: 1) безперервний на отр. [а; b]; 2) диференційовна на інт-ле (а; b); 3) На кінцях відрізка приймає рівні зн-я, т. е. f (a) = f (b).Тоді всередині відрізка сущ-ет принаймні одна така точка ?принавши. (А, b), в кіт. похідна ф-ція дорівнює нулю:f '(?) = 0.Геом. сенс т. роли: Якщо виконані ум-я теореми, то всередині відрізка [а; b] знайдеться хоча б одна точка, в кіт. касатся-я до гр-ку ф-ції буде || -на осі абсцис; в цій точці похідна і дорівнюватиме нулю.Теорема Лагранжа.Пусть ф-ція y = f (x) удовлетвор. след-м ум-ям: 1) безперервний на отр. [А; b]; 2) диференційовна на інт-ле (а; b); Тоді всередині відрізка сущ-ет принаймні одна така точка ?принавши. (А, b), в кіт. похідна дорівнює частці від ділення приросту ф-ції на приріст аргументу на цьому відрізку, т. е. f '(?) = (f (b) -f (a)) / b-a.Геом. сенс т. Лагранжа: Всередині отр. [А; b] знайдеться хоча б одна точка ?прінад. (А, b), в кіт. дотична до гр-ку ф-ції, проведена через т.? буде || -на січною (АВ).31. Функції декількох змінних. Приклади. Приватні похідні (визначення). Екстремум функції кількох змінних і його необхідні умови.Опр. Нехай є n змінних величин, і кожного набору їх значень з деякого безлічі Х відповідає дно цілком певне значення змінної величини z. Тоді кажуть, що задана фун-я кількох змінних z = f (x1, ..., Xn) .Приклад: Фун-я z = a1x1 + a2x2 + ... + Anxn + B, де a, b - постійні числа, наз-ся лінійної. Опр. Приватної похідною фун-й кількох переменнихпо однієї з цих змінних наз-ся межа відносини відповідного приватного збільшення фун-і до приросту даної незалежної змінної при прагненні останнього до нуля (якщо ця межа існує) .Опр. Точка M (x0, y0) Наз-ся точкою максимуму (мінімуму) фун-і z = f (x, y), якщо сущ-ет околиця точки Mб така, що для всіх точок (x, y) з цієї околиці виконується нерівність f (x0, y0) ? f (x, y), (f (x0, y0) ? f (x, y)). Теорема. Нехай точка (х0, y0) - Є точка екстремуму диф-мій фун-і z = f (x, y). Тоді, приватні похідні f 'x(x0, y0) І f 'y(x0, y0) В цій точці рівні нулю.Точкі, в яких виконані необхідні умови екстремуму z = f (x, y), т. Е. Приватні похідні z 'x і z 'y дорівнюють нулю, називаються критичними або стаціонарними. 27. Визначення екстремуму функції однієї змінної. Необхідна ознака екстремуму (довести).Опр. екстремуму ф-ції однієї пер-ной.Екстремум-це максимум і мінімум ф-ціі.Опр1: Точка х0 наз-ся точкою максімумаф-ції f (x), якщо в деякій околиці точки х0 виконується нерівність f (x) ?f (x0).Опр2: Точка х1 наз-ся точкою максимуму ф-ції f (x), якщо в деякій околиці точки х1 викон-ся нерівність f (x) ?f (x1).Значення ф-ції в точках х0 і х1 наз-ся соотв-но максимумом и мінімумом ф-ції. Максимум і мінімум ф-ції об'єднуються під загальною назвою екстремуму ф-ції.На одному проміжку ф-ція може мати кілька екстремумів, причому може статися, що мінімум в одній т-ке більше максимуму в інший fmin(x2)> Fmax(x0), Див. Рис. Необхідна ум-е екстремуму.Для того, щоб ф-ція y = f (x) мала екстремум в точці х0, Необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала 0 (f '(x0) = 0) або не існувало.Точки, в кіт. виконано необх. ум-е екстремуму, т. е. похідна дорівнює нулю або не сущ-і, наз-ся критичними (або стаціонарними). Ці точки повинні входити в обл. визначення ф-ції. (Якщо в точці х0 диференційована функція y = f (x) має екстремум, то в недо-ой околиці цієї точки виконані умови тео-ми Ферма, і, отже, похідна фун-і в цій точці дорівнює нулю. т. е.f '(x0) = 0. Але фун-я може мати екстремум і в точках, в яких вона не дифференцируема.) Перше достатня умова екстремуму. Теорема. Якщо при переході через точку х0 похідна диф-мій фун-і y = f (x) змінює свій знак з плса на мінус, то точка х0 є точка максимуму фун-і y = f (x), а якщо з мінуса на плюс, - то точка мінімума.Доказательство. нехай похідна змінює знак з плюса на мінус, т. е. в деякому інтервалі (а, х0) Похідна позитивна (f '(x)> 0), а в деякому інтервалі (х0, B) - негативна (f '(x) <0). Тоді відповідно до достатньою умовою монотонності функції f (x) зростає на інтервалі (а, х0) І зменшується на інтервалі (х0, B). За визначенням зростаючої функції f (x0)> F (x) при всіх х належить (а, х0), А за визначенням спадної функції f (x) 0) При всіх х належить (х0, B), т. Е. F (x0) ?f (x) при всіх х належить (а, b), отже, х0 - Точка максимуму функції y = f (x) Друге достатня умова екстремуму. Теорема. Якщо перша похідна f '(x) двічі диференціюється дорівнює нулю в деякій точці х0, А друга похідна в цій точці f "(x0) Позитивна, то х0 є точка мінімуму функції f '(x); якщо f "(x0) Негативна, то в x0 - Точка максімума.Доказательство. Нехай f '(x0) = 0, а f "(x0)> 0. Це означає, що f "(x) = (f '(x0)) '> 0 також і в деякій околиці точки х0, Т. Е. F '(x) зростає на деякому інтервалі (a, b), що містить точку х0. Але f '(x0) = 0, отже, на інтервалі (а, х0) F '(x)> 0, т. Е. F' (x) при переході через точку х0 змінює знак з мінуса на плюс, т. е. х0 - Точка мінімуму.41. Поняття про диференціальному рівнянні. Загальне і приватне рішення. Завдання Коші. Завдання про побудову математичної моделі демографічного процесу.Опр. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язують шукану функцію однієї або декількох змінних напрямків, ці змінні і похідні різних порядків даної фун-і.Общім рішенням диф-ного рівнян-я n-ого порядку називається таке рішення: y = ? (x, C1, ..., Cn), Яке є фун-їй змінної x і n довільних незалежних постійних C1, C2, ..., Cn.Приватна Рішенням диф-ного рівнян-я наз-ся рішення, що отримується із загального рішення при деяких конкретних числових значеннях постійних C1, C2, ..., Cn.Задачи Коші - це рішення рівнян-я б відповідала умовам x0 y0 : y0= F (x0).45. Гармонійний ряд і його розбіжність (довести).1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 / n + ... - гармонійний ряд. Док-во: lim при n прагне до беско-ти Un= Lim 1 / n = 0; S2n= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 / n + 1 / n + 1 + ... + 1 / 2n. Sn= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 / n. S2n-Sn= 1 / n + 1 + ... + 1 / 2n. S2n-Sn> 1 / 2n + ... + 1 / 2n = n * 1 / 2n = 1/2 або S2n-Sn> 1/2. lim при n-> бескно-ти Sn= Lim S2n= S, переходячи до межі в нерівності, отримаємо, що S-S>1/2 або 0>1/2. След-но, гармонійний ряд розходиться. 32. Поняття про емпіричні формулах і методі найменших квадратів. Підбір параметрів лінійної функції (висновок системи нормальних рівнянь).Метод найменших квадратов.Дана експериментальна залежність
x x1 x2  ... xn
y y1 y2 ... yn

n-експериментальних точок



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати