На головну

Розв'язання.

Спочатку за допомогою елементарних перетворень доб'ємося того, щоб перший елемент в першому стовпці був відмінний від нуля, в той час як останні елементи цього стовпця перетворились в нулі. Для цього залишимо перший рядок без зміни, а до кожного із останніх рядків додамо перший, помножений на відповідне число; до другого - перший, помножений на 1, до третього - перший, помножений на -3, до четвертого - перший, помножений на -7. Одержимо матрицю

Тепер доб'ємося, щоб другий елемент другого стовпця був відмінний від нуля, а всі наступні за ним елементи цього стовпця були рівні нулю. Для цього другий рядок залишаємо без зміни, а до кожного із наступних за ним рядків додаємо другий, помножений на відповідне число; до третього - другий, помножений на 2, до четвертого - другий, помножений на 4. Одержимо матрицю:

Третій рядок складається із нулів; викреслимо його, одержимо матрицю:

яка має той же ранг, що і матриця А. Третій елемент в третьому стовпці рівний нулю, але можна перетворити так, щоб він був відмінний від нуля, якщо переставити третій і четвертий стовпці. Одержимо матрицю

яка має вигляд, що вимагається. Ранг В дорівнює 3, отже, і ранг даної матриці А також дорівнює 3.

Приклад №2.

Знайти який-небудь базис даної системи векторів і виразити всі вектори системи, що ні входять в цей базис, через базисні вектори: a1=(1, 2, 3, 2), a2=(-2, 1, -2, -5), a3=(1, -1, -1, 1), a4=(-1, 2, 1, -2), a5=(1, -3, -2, 2).

Розв'язання.

Складаємо матрицю А, рядками якої є компоненти відповідних векторів; справа від кожного рядка запишемо його вираз через

За допомогою елементарних перетворень доб'ємося того, щоб перший елемент в першому стовпці був відмінний від нуля, в той час як останні елементи цього стовпця перетворились в нулі. Для цього залишимо перший рядок без зміни, а до кожного із останніх рядків додамо перший, помножений на відповідне число; до другого - перший, помножений на 2, до третього - перший, помножений на -1, до четвертого - перший, помножений на 1, до п'ятого - перший, помножений на -1. Справа від матриці запишемо перетворення над векторами. Одержимо матрицю:

В одержаній матриці поміняємо місцями другий та четвертий стовпці. Маємо матрицю:

В одержаній матриці перший, другий, четвертий і п'ятий рядки залишаємо без зміни, а до третього рядка додамо другий, помножений на -1. Одержимо матрицю:

За допомогою елементарних перетворень добиваємося того, щоб четвертий і п'ятий елементи третього стовпця були нулі. Для цього, перший, другий і третій рядки залишаємо без зміни, а до останніх рядків додамо третій рядок, помножений на відповідне число: до четвертого - третій, помножений на 1/2, до п'ятого - третій, помножений на -5/8. Справа від матриці записуємо всі елементарні перетворення над векторами a1, a2, a3, a4, a5.

Після всіх перетворень четвертий та п'ятий рядки матриці А перетворились в нулі. Звідси, рядки a1, a2, a3 утворюють базис системи векторів. Таким чином, ранг матриці А дорівнює 3. Із рівностей

a1+a4+1/2(-3a1-a2+a3)=0,

-a1+a5-5/8(-3a1-a2+a3)=0,

знаходимо вирази векторів a4 і a5 через базисні вектори:

a4=1/2a1+1/2a2-1/2a3

a5=-7/8a1-5/8a2-+5/8a3



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Викладачи: доцент Воробйова А.І., викладач Гапонова О. В. | МАТРИЦI ТА ОПЕРАЦIЇ НАД НИМИ | Властивості детермінанта | ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ | Приклад №1. | МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ | СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ | МЕТОД ГАУССА | Приклад №1. | МЕТОД КРАМЕРА |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати