Головна

Інтегрованість безперервних і монотонних функцій.

  1.  Виготський. Теорія вищих психічних функцій.
  2.  Декларація функцій.
  3.  Деталізований аналіз управлінських функцій.
  4.  Інтегрованість за Ріманом. Обмеженість ітегріруемой функції.
  5.  Використання функцій.
  6.  Локальні і глобальні змінні. Побічний ефект функції. Вкладеність процедур і функцій. Правила видимості.

Th: Якщо f обмежена і монотонна на [a, b], то f I L [a, b]:

Доведення:

P = {a = x0 12 <... n-1 n = B}; h = b-a / n

MK - Sup f (x); mK - Inf f (x), де x I [x + (k-1) h, x + kh]

xK = A + kh D (xK) = A + kh - (a + (k-1) h) = h

C (P) -c (P) = S1 ... N(MK-mK) D (xK) = S1 ... N f (xK) -f (XK-1) D (xK) = H [-f (a) + f (x1) -f (X1) + F (x2) -...- F (xK-1) + F (b)] = h (f (b) -f (a)) = ba / n * [f (b) -f (a)]

Th:Якщо а неперервна на [a, b], то f I L [a, b]:

Доведення:Wf (h) - supremum безлічі коливань функції на кожному проміжку розбиття C (P) -c (P) = S1 ... N (MK-mK) D (xK) = H * S1 ... N (MK-mK) ? h * n Wf (h) = (b-a) Wf (h)

14. Адитивність інтеграла. Замкнутість класу інтегрованих функцій щодо арифметичних дій і взяття модуля.

Th: Нехай a

Доведення:

P1 = {a = x0 12 <... n-1 n = B}; P2 = {b = y0 12 <... n-1 n = C}

C (P1) - c (P1)

P = P1EP2 = {a = x0 1N-1 1 <... n-1 n = C}

C (P) = C (P1) + C (P2), c (P) = c (P1) + c (P2) => C (P) - c (P)

Th: Нехай f, g I L [a, b] A, B I R тоді:

1) Af + Bg I L [a, b]

2) fg I L [a, b]

3) Якщо $ d> 0 | g | ? d, то f / g I L [a, b]

4) | f | I L [a, b] і |  | ? |

Доведення:

2) CFG(P) - cFG(P) = S1 ... N wK(Fg) D (xK)

wK(Fg) = sup (f (x ') g (x') - f (x '') g (x ''), де x ', x' 'I [xK-1, xK]

| F (x ') g (x') - f (x '') g (x '') | = | F (x ') g (x') - f (x ') g (x' ') - f (x' ') g (x' ') + f (x') g (x '') | =

= | F (x ') [g (x') - g (x '')] + g (x '') [f (x ') - f (x' ')] | ? | f (x ') | wKg + | g (x '') | wKf ? MfwKg + MgwKf, де Mf - sup | f (x) |, Mg - sup | g (x) | - На [a, b]; wKg і wKf - коливання функцій g (x) і f (x) на відрізку [xK-1, xK] Відповідно;

Отримали: S1 ... N wK(Fg) D (xK) ? S1 ... N MfwKgD (xK) + S1 ... N MgwKfD (xK)

З интегр. f (x): $ таке P1: S1 ... N wKfD (xK) 1 ... N wKfD (xK) =

= S1 ... N MgwKfD (xK)

З інтегрованості g (x): $ таке P2: S1 ... N wKgD (xK) 1 ... NwKgD (xK) = S1 ... N MfwKgD (xK)

Отримали: $ P = P1EP2: S1 ... NMfwKgD (xK) + S1 ...NMgwKfD (xK) S1 ... N wK(Fg) D (xK) fg I L [a, b]

1) Af I L [a, b]

= =

З интегр. функції f слід lim S1 ... Nf (mI) D (xK) = I => lim S1 ... N Af (mI) D (xK) - $ І дорівнює A * I => що Af теж інтегрується на [a, b], так як це вірно "A і" f (інтегрованої) => Bg - теж інтегрується на [a, b]

Доведемо що f + g також інтегрується на [a, b]:

h = dP = b-a / n

Обидва межі в сумі сущ-ют так як функції f і g інтегровними на [a, b], f сл-но сущ-ет lim hS1 ... N (F (mI) + G (mI)) Рівний  => F + g - інтегрована на [a, b] => сума функцій Af і Bg інтегруються на [a, b] також інтегрується на [a, b].

4) | f (x ') | - | F (x '') | ? | f (x ') - f (x' ') | ? wK(F) => wK(| F |) ? nK(F)

Cf (P) -cf (P) C | f | (P) -c | f | (P) | f | також інтегрується на [a, b]

Pn, dPN®0, MN ПР midPN

| Sf (PN, MN) | = | S1 ... N f (mI) D (xI) | ? | S1 ... N| f (mI) | D (xI) | = | S | f | (Pn, Mn) | => Lim | s f (Pn, Mn) | ?

lim | s | f | (Pn, Mn) | => |  | ?

3) Доведемо спочатку що з інтегрованості g слід інтегрованість 1 / g на тому ж проміжку за умови, що $ d> 0: | g | ?d:

| 1 / g (x ') - 1 / g (x' ') | = | g (x') - g (x '') | / | g (x ') g (x' ') | = wK/ (| G (x ') | * | g (x' ') |) ? wK/ d2=> WK(1 / g) ? wK(G) / d2

Так як g интегрируема, то S1 ... N wK(G) D (xK) 2 => 1 / d2 * S1 ... N wK(G) D (xK)

S1 ... N wK(1 / g) D (xK) ? S1 ... N wK(G) / d2D (xK) = 1 / d2 * S1 ... N wK(G) D (xK)

lim S1 ... N wK(1 / g) D (xK)) ? 0

Так як wK(1 / g)> 0 lim S1 ... N wK(1 / g) D (xK) = 0 => 1 / g - інтегрована на [a, b].




 Еквівалентність функцій. |  Інтегрування дробово-раціональних функцій (випадок простих коренів) |  Інтегрування дробово-раціональних функцій (випадок кратних коренів) |  Інтегрованість за Ріманом. Обмеженість ітегріруемой функції. |  Суми Дарбу та їх властивості |  І дифференцируемость. Існування первісної у безперервній функції. |  Формула Ньютона-Лейбніца |  Заміна змінної в певному інтегралі та інтегрування по частинах. |  Збіжність невласного інтеграла і ряду. Їх взаємозв'язок. Критерій Коші. |  Абсолютна і умовна збіжності. Теореми порівняння. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати