Головна |
Th: Якщо f обмежена і монотонна на [a, b], то f I L [a, b]:
Доведення:
P = {a = x0
MK - Sup f (x); mK - Inf f (x), де x I [x + (k-1) h, x + kh]
xK = A + kh D (xK) = A + kh - (a + (k-1) h) = h
C (P) -c (P) = S1 ... N(MK-mK) D (xK) = S1 ... N f (xK) -f (XK-1) D (xK) = H [-f (a) + f (x1) -f (X1) + F (x2) -...- F (xK-1) + F (b)] = h (f (b) -f (a)) = ba / n * [f (b) -f (a)] Th:Якщо а неперервна на [a, b], то f I L [a, b]: Доведення:Wf (h) - supremum безлічі коливань функції на кожному проміжку розбиття C (P) -c (P) = S1 ... N (MK-mK) D (xK) = H * S1 ... N (MK-mK) ? h * n Wf (h) = (b-a) Wf (h) 14. Адитивність інтеграла. Замкнутість класу інтегрованих функцій щодо арифметичних дій і взяття модуля. Th: Нехай a
Доведення: P1 = {a = x0 C (P1) - c (P1) P = P1EP2 = {a = x0 C (P) = C (P1) + C (P2), c (P) = c (P1) + c (P2) => C (P) - c (P) Th: Нехай f, g I L [a, b] A, B I R тоді: 1) Af + Bg I L [a, b] 2) fg I L [a, b] 3) Якщо $ d> 0 | g | ? d, то f / g I L [a, b] 4) | f | I L [a, b] і | | ? | Доведення: 2) CFG(P) - cFG(P) = S1 ... N wK(Fg) D (xK) wK(Fg) = sup (f (x ') g (x') - f (x '') g (x ''), де x ', x' 'I [xK-1, xK] | F (x ') g (x') - f (x '') g (x '') | = | F (x ') g (x') - f (x ') g (x' ') - f (x' ') g (x' ') + f (x') g (x '') | = = | F (x ') [g (x') - g (x '')] + g (x '') [f (x ') - f (x' ')] | ? | f (x ') | wKg + | g (x '') | wKf ? MfwKg + MgwKf, де Mf - sup | f (x) |, Mg - sup | g (x) | - На [a, b]; wKg і wKf - коливання функцій g (x) і f (x) на відрізку [xK-1, xK] Відповідно; Отримали: S1 ... N wK(Fg) D (xK) ? S1 ... N MfwKgD (xK) + S1 ... N MgwKfD (xK) З интегр. f (x): $ таке P1: S1 ... N wKfD (xK) = S1 ... N MgwKfD (xK) З інтегрованості g (x): $ таке P2: S1 ... N wKgD (xK) Отримали: $ P = P1EP2: S1 ... NMfwKgD (xK) + S1 ...NMgwKfD (xK) 1) Af I L [a, b] = = З интегр. функції f слід lim S1 ... Nf (mI) D (xK) = I => lim S1 ... N Af (mI) D (xK) - $ І дорівнює A * I => що Af теж інтегрується на [a, b], так як це вірно "A і" f (інтегрованої) => Bg - теж інтегрується на [a, b] Доведемо що f + g також інтегрується на [a, b]: h = dP = b-a / n Обидва межі в сумі сущ-ют так як функції f і g інтегровними на [a, b], f сл-но сущ-ет lim hS1 ... N (F (mI) + G (mI)) Рівний => F + g - інтегрована на [a, b] => сума функцій Af і Bg інтегруються на [a, b] також інтегрується на [a, b]. 4) | f (x ') | - | F (x '') | ? | f (x ') - f (x' ') | ? wK(F) => wK(| F |) ? nK(F) Cf (P) -cf (P) Pn, dPN®0, MN ПР midPN | Sf (PN, MN) | = | S1 ... N f (mI) D (xI) | ? | S1 ... N| f (mI) | D (xI) | = | S | f | (Pn, Mn) | => Lim | s f (Pn, Mn) | ? lim | s | f | (Pn, Mn) | => | | ? 3) Доведемо спочатку що з інтегрованості g слід інтегрованість 1 / g на тому ж проміжку за умови, що $ d> 0: | g | ?d: | 1 / g (x ') - 1 / g (x' ') | = | g (x') - g (x '') | / | g (x ') g (x' ') | = wK/ (| G (x ') | * | g (x' ') |) ? wK/ d2=> WK(1 / g) ? wK(G) / d2 Так як g интегрируема, то S1 ... N wK(G) D (xK) S1 ... N wK(1 / g) D (xK) ? S1 ... N wK(G) / d2D (xK) = 1 / d2 * S1 ... N wK(G) D (xK) lim S1 ... N wK(1 / g) D (xK)) ? 0 Так як wK(1 / g)> 0 lim S1 ... N wK(1 / g) D (xK) = 0 => 1 / g - інтегрована на [a, b]. Еквівалентність функцій. | Інтегрування дробово-раціональних функцій (випадок простих коренів) | Інтегрування дробово-раціональних функцій (випадок кратних коренів) | Інтегрованість за Ріманом. Обмеженість ітегріруемой функції. | Суми Дарбу та їх властивості | І дифференцируемость. Існування первісної у безперервній функції. | Формула Ньютона-Лейбніца | Заміна змінної в певному інтегралі та інтегрування по частинах. | Збіжність невласного інтеграла і ряду. Їх взаємозв'язок. Критерій Коші. | Абсолютна і умовна збіжності. Теореми порівняння. |