Головна

гармонійнеколивання

  1.  Акселерація. Епохальні коливання темпів розвитку.
  2.  акустичні коливання
  3.  Арифметичні і гармонійні
  4.  ПИТАННЯ 7: Циклічні коливання, інфляція, безробіття і їх взаємозв'язок
  5.  вимушені коливання
  6.  вимушені коливання
  7.  Вимушені коливання в консервативній системі з двома ступенями свободи. Ефект динамічного гасіння коливань.

Отримаємо закон гармонійних коливань на прикладі механічного руху механічних коливань. Це вид коливань, при якому тіло по черзі і багаторазово здійснює відхилення від свого положення рівноваги в одну і іншу сторону.

 Розглянемо коливання пружинного маятника уздовж горизонтальної осі при відсутності сили опору. Пружинний маятник являє собою масивний кулька масою m, прикріплений до пружини з мізерно малою масою і жорсткістю k. Інший кінець пружини закріплений нерухомо. Якщо вивести кульку з рівноваги і відпустити, то під впливом сили пружності деформованої пружини система пружина-кулька прийде в коливальний рух. Положення кульки на осі будемо визначати зміщенням s, т. Е. Відстанню від положення рівноваги до кульки (рис.1). Наша мета вирішити основне завдання механіки - знайти відповідь на питання: де буде знаходитися тіло в довільний момент часу t, т. Е. Знайти вид функції s = f (t)?

Приймемо за початок відліку точку 0, в якій знаходиться центр кульки в рівноважному стані системи, т. Е. За відсутності деформації в пружині. Нехай в момент часу t кулька знаходиться на відстані s від положення рівноваги. Характер руху в даний момент часу визначається рівнодіючої прикладених до кульки сил:  . Т. к. Тертя за умовою відсутня, а сила тяжіння  перпендикулярна стрижню, то характер руху буде визначатися тільки силою пружності деформованої пружини:

 . (1)

Відповідно до 2-х законом Ньютона ця сила повідомляє кульці прискорення  , Тоді в скалярному вигляді (1) можна записати:

 , (2)

але т. к. a = d2s / dt2, то

 . (3)

Розділимо праву і ліву частину (3) на m і позначимо k / m = . Згрупувавши всі члени в лівій частині рівності, отримаємо диференціальне рівняння гармонійних коливань.

 або  . (4)

Це диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його характеристичне рівняння: до2 +  = 0, коріння якого до1,2 = ±i?0 - Уявні числа. Тоді загальним рішенням (4) буде:

s = С1cos?0t + C2sin?0t. (5)

Для будь-яких С1 і С2 завжди можна підібрати інші довільні постійні А і ?0 такі, що С1 = Аsin ?0,1 а З2 = Аcos?0,1, Тоді загальне рішення (5) набуде вигляду:

s = А (sin ?0,1 ·cos?0t + cos?0,1 ·sin?0t) = Аsin (?0t + ?0,1). (6)

Якщо вираження для З1 і C2 поміняти місцями (С1 = Аcos?0,2 а З2 = Аsin ?0,2), То загальне рішення буде мати вигляд:

s = А (cos ?0,2 ·cos?0t + sin?0,2 ·sin?0t) = Аcos (?0t + ?0,2). (7)

дані функції (6) і (7) і є шукані кінематичні рівняння гармонійного коливання. Аргумент цієї функції (w0t + ?0) Називається фазою коливання; j0 - Постійна складова фази називається початковою фазою;  - Власна циклічна (кругова) частота коливань даного пружинного маятника ( ,  , тоді  ); А - амплітуда коливань, в даному випадку максимальне значення зміщення s. У загальному випадку, амплітуда А - це найбільше значення величини, зміна якої з плином часу вибрали для опису досліджуваних коливань. Графіки гармонійного коливання являють собою синусоїди (рис.2):

 Отримаємо рівняння, що описують зміни швидкості і прискорення тіла, що здійснює гармонійні коливання. Нехай s = Аcos (?0t + ?0), Тоді:

 , (8)

 . (9)

 Як видно, швидкість і прискорення теж змінюються по гармонійним законам, але швидкість випереджає по фазі зсув на p / 2, а прискорення на p (рис.3), т. Е. Прискорення знаходиться в протифазі зі зміщенням. В цілому, тіла, на які діють рівнодіюча-ющие виду F = -ks (Такі сили називаються квазіупругая), будуть здійснювати гармонічні коливання.

Розглянемо процес коливального руху з енергетичної точки зору. Зміщуючи тіло з положення рівноваги, ми деформуємо пружину, повідомляючи тим самим системі запас потенційної енергії. Відпустивши тіло, ми даємо йому можливість рухатися до стану рівноваги. При цьому потенційна енергія системи перетворюється в кінетичну. У момент проходження положення рівноваги потенційна енергія повністю перетворюється в кінетичну. Продовжуючи рух за інерцією, тіло знову деформує пружину, т. Е. Кінетична енергія починає перетворюватися в потенційну. У момент, коли кінетична енергія повністю превра  тится в потенційну, зміщення досягне амплітудного значення, тіло зупиниться і почне рухатися назад. Знову потенційна енергія буде перетворюватися в кінетичну і т. Д. (Рис.4). Т. о., З точки зору енергетичної, механічне коливання - це процес багаторазових, послідовних перетворень потенційної енергії в кінетичну і назад.

 , (10)

 , (11)

 , (12)

т. е. повна енергія системи величина постійна.

 




 МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ. |  Коливання, які відбуваються під впливом змінної сили, називаються вимушеними. |  Биття. Рівняння биття |  ДОДАВАННЯ взаємно КОЛИВАНЬ. |  СКЛАДНЕ КОЛИВАННЯ І ЙОГО гармонійного СПЕКТР |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати