На головну

лінія вузлів

  1.  Quot; Кругова "або циклічна лінія часу
  2.  Аналіз теплотехнічних якостей вузлів сполучень вікон із зовнішніми стінами.
  3.  ангиит вузлуваті
  4.  ВКЛЮЧЕННЯ МАЛИХ АТС ПО абонентських ліній: ВХІДНИЙ ВИКЛИК
  5.  ВКЛЮЧЕННЯ МАЛИХ АТС ПО абонентських ліній: ВИХІДНИЙ ВИКЛИК
  6.  Друга інтерполяціонная формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції
  7.  виділення вузлів

Традиційно кути Ейлера вводяться наступним чином. Перехід з відлікового

положення  в актуальне  здійснюється трьома поворотами (рис.4.3):

1. Поворот навколо  на кут прецесії  При цьому  переходить в стан  , ( в ).

2. Поворот навколо  на кут нутації  . При цьому ,  . (4.10)

4. Поворот навколо  на кут власного (чистого) обертання

Для кращого розуміння на рис.4.4 зображений дзига і кути Ейлера, що описують його

орієнтацію.

Зауважимо, що можна довести (здогадатися важко), що традиційна послідовність

поворотів (4.10) може бути замінена на послідовність поворотів на ті ж самі

кути навколо нерухомих осей:

1. Поворот навколо  на кут власного (чистого) обертання

2. Поворот навколо  на кут нутації  . . (4.11)

4. Поворот навколо  на кут прецесії

Недолік кутів Ейлера в тому, що при малому куті нутації  кути и  в лінійному

наближенні стають невиразні і входять в рівняння у вигляді суми ( + .

Цього недоліку позбавлені літакові (корабельні) кути (рис.4.5).

 рис.4.5

Перехід з відлікового положення  в актуальне  можна здійснити

трьома поворотами (повернути самостійно!) (рис.4.5):

1. Поворот навколо  на кут рисканья  , при цьому

2. Поворот навколо  на кут тангажу  , при цьому  (4.12)

4. поворот на кут крену  навколо

Вираз «можна здійснити» невипадкове; неважко зрозуміти, що можливі й інші

варіанти, наприклад, повороти навколо фіксованих осей

1. Поворот навколо  на кут крену  (Ризикуючи зламати крила)

2. Поворот навколо  на кут тангажу  (Підйом «носа») (4.13)

4. Поворот навколо  на кут рисканья

Втім, тотожність (4.12) і (4.13) також необхідно довести.

4.2.4. матриця повороту. Матриця спина. Вектор кутової швидкості.

z В

В

В

А

 А y

x  рис.4.6

Запишемо очевидну векторну формулу для вектора положення  будь-якої точки

 (Рис.4.6) в матричному вигляді. Знайдемо координати вектора  щодо

отсчетного базису.

розкладемо вектор  по актуальному базису  і введемо «перенесений» вектор

 , Координати якого в відліковому базисі рівні координатам  в актуальному;

іншими словами  - «Схиблений» разом з тілом вектор  (Рис.4.6).

розкладаючи вектори  по отсчетному базису, отримаємо

Введемо матрицю повороту  і стовпці ,

векторна формула  в матричної записи має вигляд

 (4.14)

1. Матриця повороту  є ортогональною, т. е.

 (4.15)

Доказ цього твердження - формула (4.9)

Обчислюючи визначник твори (4.15), отримаємо  а так як

в відліковому положенні  , то  (Ортогональні матриці з визначником,

рівним (+1), називають власне ортогональними або матрицями повороту). матриця

повороту при множенні на вектори не змінює ні довжин векторів, ні кутів між ними,

т. е. справді їх повертає.

2. Матриця повороту має один власний (нерухомий) вектор  , Який задає

вісь повороту. Іншими словами, треба показати, що система рівнянь  , де

має єдине рішення. Запишемо систему у вигляді (  . визначник цієї

однорідної системи дорівнює нулю, так як

,

отже, система має ненульовий розв'язок. Припустивши, що є два рішення

 , Тут же прийдемо до висновку, що перпендикулярний до них  також

є рішенням (кути між векторами не змінюються), а це означає, що

т. е. повороту немає ..

Надалі будемо вважати нерухомий вектор осі повороту  одиничним, а

позитивний напрямок відліку кута повороту  узгодженим з напрямком

відповідно до прийнятої орієнтацією простору (т. е. з кінця  позитивний поворот

видно проти годинникової стрілки) (рис.4.7). Матрицю повороту будемо позначати

матриця  в ортонормированном базисі  має вигляд

.

 рис.4.7

2. Диференціюючи (4.15), отримаємо  або, позначивши -

матриця сп на (англ. to spin - вертіти) .Таким чином, матриця спина

кососімметріческіх:  . Помноживши справа  на  , Отримаємо формулу

Пуассона для матриці повороту:

 (4.16)

Ми підійшли до найважчого в рамках матричного опису моменту - визначення

вектора кутової швидкості.

Можна, зрозуміло, вчинити стандартним (див., Наприклад,  способом і написати:

«Введемо позначення для елементів кососімметріческіх матриці S по формулі

Якщо скласти вектор  , То результат множення матриці  на

вектор  може бути представлений у вигляді векторного твори »

У наведеній цитаті  - Вектор кутової швидкості.

Диференціюючи (4.14), отримаємо матричну запис основної формули кінематики твердого

тіла :

 (4.17)

Матричний підхід, будучи зручним для обчислень, дуже мало підходить для аналізу

і виведення співвідношень; всяку формулу, написану на векторному і тензорному мовою, без

праці можна записати в матричному вигляді, а ось отримати компактну і виразну

формулу для опису будь-якого фізичного явища в матричному вигляді важко.

Крім того, не слід забувати, що елементи матриці є координатами

(Компонентами) тензора в будь-якому базисі. Сам тензор не залежить від вибору базису, а його

компоненти залежать. Для безпомилкової записи в матричному вигляді необхідно, щоб всі

вектори і тензори, що входять у вираз, були записані в одному базисі, а це не завжди

зручно, оскільки різні тензори мають «простий» вид в різних базисах, тому потрібно

перераховувати матриці за допомогою матриць переходу.

4.2.4. Опис положення твердого тіла за допомогою тензора повороту.

Теорема Ейлера про тензор повороту.

Положення тіла описується вектором положення будь-якої точки А і орієнтацією

за допомогою тензора повороту  , Що переводять жорстко пов'язану з тілом трійку

векторів з відлікового положення в актуальне:  (Рис.4.8)

z В

В

В

А

 А y

x  рис.4.8

розкладаючи  по отсчетному базису, матимемо

 , де  називаються

напрямними косинусами.

теорема Ейлера. Довільна орієнтація твердого тіла виходить з відлікової одним

поворотом на кут  навколо осі повороту.

У математичному вигляді теорема зводиться до наступній теоремі:

Теорема про представлення тензора повороту.

тензор повороту  , Що не рівний  , Єдиним чином можна представити у вигляді

 + ( )  (4.18)

де  -кут повороту, а одиничний вектор  задає пряму в просторі, звану віссю повороту; позитивний напрямок відліку кута повороту  згідно з

напрямком  відповідно до прийнятої орієнтацією простору, т. е. в

правоорієнтованого просторі позитивний поворот з кінця  видно проти

годинникової стрілки (рис. 4.7).

Доведення.

Покажемо, що існує єдиний нерухомий вектор  , Т. Е. Рівняння

 має єдине рішення. Перепишемо його у вигляді однорідного

рівняння  , Яке має рішення, тільки якщо визначник дорівнює нулю,

що і випливає з ланцюжка

Припускаючи, що існують два рішення = и =  , Отримаємо за допомогою

тотожності # 2 (1.13)  , що і  також є нерухомим вектором, що неможливо (  ).

покладемо .

Підставляючи ці вирази в тензор  і, замінюючи комбінації,

містять  на незалежні від їх вибору вираження  , Прийдемо до (4.18):  + ( ) .

Можна довести [2], що тензор повороту аналітично виражається через

твір  , Званим вектором повороту, тому в подальшому тензор повороту будемо в необхідних випадках позначати .

Подання (4.18) дозволяє довести дуже важливу теорему:

теорема. Якщо нерухомий вектор  тензора  ), Що визначає вісь повороту, сам

отримано поворотом  , то  . (4.19)

Іншими словами: «тензор повороту з поверненою віссю дорівнює повернуто тензора»

Доведення. Підставляючи в (4.18)  , отримаємо

,  , І, вважаючи в тотожність # 4 (1.16)

=  . таким чином,

 + ( )  + ( ) .

4.2.5. Тензор спина, вектор кутовий швидкості, формула Пуассона.

Диференціюючи за часом рівняння  , отримаємо

 або, позначивши : ,

тобто тензор =  , Званий тензором сп на - Кососімметрічний, тому він

може бути записаний у вигляді (1.10):

 , де  (4.20)

називається вектором кутової швидкості. вектор  задає вісь обертання.

Виходячи з уявлення Ейлера (4.18) можна прямим обчисленням з (4.20) отримати

 (4.21)

З (4.21) видно, що вісь повороту і вісь обертання збігаються тільки коли вісь повороту

нерухома (  , тоді .

помноживши рівність  праворуч скалярно на  , Отримаємо формулу Пуассона

 . (4.22)

4.2.6. теорема про складання кутових швидкостей

теорема. Якщо тензор повороту  є композицією (твором) поворотів

 , то

 , де  - (4.23)

кутові швидкості, відповідні тензор повороту .

Доведення. Доведемо спочатку лемму:

нехай  - Тензор повороту,  - Довільний тензор, тоді

 , (4.24)

«Векторний інваріант повернутого тензора дорівнює повернуто векторному інваріанта».

Доказ леми негайно випливає з тотожності # 3 (1.15)

 , В якому досить покласти .

Втім, лема має простий геометричний зміст. Приймемо як  одну діаду

 (В лемму тензор  входить лінійно). нехай вектори  перетворюються

тензором в = , = , =  . Оскільки трійка повертається як жорстка

система, то  т. е.  ) =  ) або .

Обчислюючи тепер тензор спина

+ =

і супутні вектори лівої і правої частин за допомогою леми (4.24) отримаємо (4.23).

упражнение. Показати, що якщо  , то

Диференціюючи (4.23), отримаємо формулу складання кутових прискорень

.

Замінивши за формулою Пуассона =  , Будемо мати

=  або, помітивши, що

=  (4.25)

Зауваження.

Практично у всіх підручниках не дається суворого визначення кутової швидкості, це поняття

залишається затіненим інтуїтивними міркуваннями (крім випадку фіксованої осі

повороту, коли  ). Доводяться «теореми» про те, що  «Можна переносити вздовж

осі повороту », що кутові швидкості можна складати, якщо тіло обертається навколо

паралельних або пересічних фізичних осей, але не розглядається випадок, коли осі не перетинаються і т. д. і т. п.

Теорема додавання кутових швидкостей завжди наводиться у вигляді  . Очевидно, що під  тут розуміється

4.2.7. Приклади обчислення вектора кутової швидкості.

1. Кути Ейлера

Мал. 4.9  Рис 4.10.




 Глава 2. Статика |  Глава 3. Кінематика точки |  Швидкість і прискорення в декартовій системі координат. |  Швидкість і прискорення в циліндричній системі координат |  Швидкість і прискорення при траєкторних (природному) способі опису руху. |  Глава 4. Кінематика твердого тіла |  Головному моменту зовнішніх впливів плюс швидкість підведення кінетичного моменту |  Теорема про приведення тензора інерції до головних осей. |  Глава 6. Третій фундаментальний закон механіки (закон балансу енергії). |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати