На головну

Монотонність функцій. точки екстремуму

  1.  IV. а) У правій колонці замініть точки відповідними прикметниками в жіночому роді.
  2.  IV. а) У правій колонці замініть точки відповідними прикметниками в чоловічому роді.
  3.  Автоматична зміна точки актуальності підсумків
  4.  Аксіоми динаміки точки.
  5.  Аналіз деяких популярних ОС з точки зору їх захищеності.
  6.  В) фразеологічні звороти з точки зору їх походження
  7.  Погляд на дитинство з точки зору психоаналізу б 1

функція  називається зростаючої (Рис. 3) на інтервалі  , якщо :

.

функція  називається спадної (Рис. 4) на інтервалі  , якщо :

.

Зростаючі і спадні функції мають загальну назву - монотонні.

 
 


Виявляється, монотонністю функції управляє знак її похідної. Справедлива наступна теорема:

Теорема 15. Для того щоб диференційована функція  зростала на інтервалі  , Необхідно і достатньо, щоб

.

Для того щоб  спадала на  , Необхідно і достатньо, щоб

.

Нехай на безлічі  визначена функція .

Визначення 9. Крапка  називається точкою максимуму функції  , Якщо існує околиця цієї точки  така, що

.

аналогічно,  крапка мінімуму, якщо існує околиця цієї точки  така, що

.

Точки максимуму і мінімуму мають загальну назву - точок екстремуму. Звертаємо Вашу увагу на те, що екстремум поняття локальне. Це означає, що зазначені нерівності виконуються не на всій множині  , А в какой то, можливо дуже малій околиці точки .

Поряд з екстремумами існують поняття найбільшого і найменшого значень функції на даному безлічі  . Це - поняття глобальне. Може статися (див. Рис. 5, де  ), Що на безлічі  функція  має навіть кілька точок екстремуму і не має на ньому ні найменшого, ні найбільшого значень.

Однак, відповідно до теореми 11, безперервна на замкнутому відрізку  функція хоча б в одній точці цього відрізка приймає найбільше і хоча б однієї - найменше значення. Так, функція  , Зображена на рис. 6 приймає найменше значення в точці мінімуму  , А найбільше - на правому кінці відрізка  , Тобто в точці .

x4

У загальному випадку, безперервна на відрізку  функція може досягати максимального значення або в точці максимуму, або на кінці відрізка, або і там, і там. Аналогічне становище має місце і з найменшим значенням.

Про локальності поняття екстремуму говорить ще такий факт: значення функції в точці мінімуму може виявитися більше її значення в точці максимуму (рис.6, точки и  ).

 




 Межі і похідні |  Теорема 1. |  техніка диференціювання |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати