На головну

Геометричний зміст похідної

  1.  I. У ЯКОМУ СЕНС МОЖНА ГОВОРИТИ ПРО МІЖНАРОДНЕ ЗНАЧЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ РЕВОЛЮЦІЇ?
  2.  II. ПОЛІТИКА: ПОНЯТТЯ І ГРОМАДСЬКИЙ СЕНС
  3.  IV. Акцентування теоретичного моменту по темі «Механічний зміст похідної», розгляд прикладів - 7 хвилин
  4.  V. Акцентування теоретичного моменту по темі «Геометричний зміст похідної», розгляд прикладів - 17 хвилин
  5.  А сенс ?
  6.  А) Нескінченне розширення понять знищує сенс і істину
  7.  Альбер Камю (1913 - 1960) зробив головною проблемою своєї екзистенційної філософії проблему сенсу життя.

нехай  - Диференційована функція (рис.2),  - Точка графіка з абсцисою ,  - Точка з абсцисою , .

Нагадаємо, що дотичній до графіка функції  в точці  називається граничне положення січної  , Коли точка  , Рухаючись вздовж кривої, наближається до точки .

позначимо через  кут нахилу до осі абсцис хорди  , А через  - Кут нахилу дотичної до кривої в точці  . Ясно, що, коли  , то  . тоді

.

Тут ми скористалися безперервністю функції tg j.

P

Мал. 2

Таким чином, похідна функції  в точці  являє собою кутовий коефіцієнт дотичної, Проведеної до даної кривої в точці  . У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Складемо тепер рівняння дотичній, проведеної в точці  до кривої  . Рівняння будь-якої прямої, що проходить через точку  , має вигляд:  . Для того, щоб з цього пучка прямих виділити дотичну, треба взяти  . Таким чином, рівняння дотичної набуває вигляду:

.

Нормаллю до даної кривої в точці  називається пряма, проведена через  перпендикулярно дотичній. Використовуючи умови перпендикулярності двох прямих (  ), Отримаємо рівняння нормалі:

.

Приклад 11.Знайти рівняння дотичної та нормалі до параболи  в точці з абсцисою .

Рішення. Знайдемо ординату точки :  , Обчислимо похідну функції :  . тоді  . Значить, кутовий коефіцієнт дотичної  , А кутовий коефіцієнт нормалі .

Таким чином, рівняння дотичної матиме вигляд

,

а рівняння нормалі:

 .n

Написати рівняння дотичних і нормалей до кривих:

35)  в точці ;

36)  в точці ;

37)  в точці ;

38)  в точці ;

39)  в точках перетину з віссю ;

40)  в точках перетину з віссю .

Знаходження меж. правило Лопіталя

Наступна теорема дає потужний засіб обчислення меж.

теорема 14 (правило Лопіталя). нехай функції и  задовольняють умовам:

1) неперервні в точці  і в деякій її околиці;

2) мають похідні в околиці точки ;

3) , ;

4) існує .

Тоді існує межа відносини даних функцій і справедливо рівність:

.

Т. е. Межа відносини функцій дорівнює границі відношення їх похідних.

Приклад 12. обчислити .

Рішення. Умови 1) - 3) очевидно виконані. Умова 4) завжди перевіряється в ході обчислень. Застосовуючи правило Лопіталя, отримуємо:

 .n

Зауваження. Теорема залишається справедливою і в наступних випадках:

1) коли  або ;

2) коли  або ;

3) коли и .

Таким чином, правило Лопіталя можна застосувати, коли и  є або обидві нескінченно малими (невизначеність виду (  )), Або обидві - нескінченно великими (невизначеність виду (  )).

Приклад 13. обчислити .

Рішення. Тут ми знову зустрічаємо невизначеність виду (  ), Що і дозволяє використовувати правило Лопіталя:

 .n

Прімер14. обчислити .

Рішення. Чисельник і знаменник дробу є б. б. функціями, т. е. перед нами - невизначеність виду (  ). Застосувавши правило Лопіталя, отримаємо:

.

Результат говорить про те, що функція  хоч і прагне до + ?, але значно повільніше, ніж функція  . Переконайтеся самостійно в тому, що  значно повільніше, ніж функція  .n

Приклад 15. обчислити межа

Рішення. Оскільки чисельник і знаменник є б. б. ф. при х > + ?, то застосувавши правило Лопіталя два рази поспіль, маємо:

 .n

Приклад 16. обчислити .

Рішення.

 .n

Приклад 17. обчислити .

Рішення. Тут правило Лопіталя використовувати нераціонально. Справді, кожне застосування цього правила знижувало б ступінь чисельника на 1 і ступінь знаменника лише на 1. У той же час, замінюючи чисельник і знаменник еквівалентними б. б. функціями, відразу отримуємо:

 .n

У багатьох випадках корисно поєднувати використання правила Лопіталя з заміною еквівалентних.

Приклад 18. обчислити .

Рішення. Спочатку б. м. множники знаменника замінимо еквівалентними і вже потім можна застосувати правило Лопіталя:

 .n

Приклад 19. обчислити .

Рішення. Тут перед нами невизначеність виду  . Після приведення вираження в дужках до спільного знаменника отримаємо під знаком межі відношення двох б. м. ф., що дає можливість і заміни еквівалентних множників і застосування правила Лопіталя:

 .n

У разі невизначеностей виду ,  або  слід попередньо прологаріфміровать задану функцію, а потім знайти межа її логарифма.

Приклад 20. знайти .

Рішення. Прологаріфміруем обидві частини рівності і, з урахуванням того, що логарифм є безперервною функцією, переставимо знаки логарифма і межі:

.

Ми отримали невизначеність виду (  ). Значить, тепер можна застосувати правило Лопіталя:

.

Перед нами знову невизначеність виду (  ). Застосуємо правило Лопіталя ще двічі:

.

Отже,  . звідси,  .n

Знайти межі:

 1).  2).
 3).  4).
 5).  6).
 7).  8).
 9).  10).
 11).  12).
 13).  14).
 15).  16).
 17).  18).
 19).  20).
 21).  22).
 23).  24).
 25).  26).
 27).  28).
 29).  30).
 31).  32). .

Дослідження функцій та побудова графіків

 



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати