На головну

техніка диференціювання

  1.  III. Акцентування теоретичного моменту по темі «Техніка диференціювання», розгляд прикладів - 8 хвилин
  2.  Квиток № 60. Юридична техніка в професійній діяльності юриста.
  3.  Вид інгаляційного наркозу (показання до ендотрахеальної наркозу, його перевага). Техніка інтубації.
  4.  УВАГА!!! ТЕХНІКА БЕЗПЕКИ!!!
  5.  Питання 59: Огляд шийки матки після пологів за допомогою дзеркал. Показання, техніка
  6.  Питання 6. Тимчасові протези. Призначення, техніка виготовлення
  7.  Питання 67. Техніка безпеки при використанні балонів з газами.

Нехай на безлічі  визначена функція  . Припустимо, що  - Довільна точка множини  , а  - Близька до неї точка, що теж належить цій безлічі (рис. 1).

величина  називається приростом аргументу, а  - Збільшенням функції, відповідним приросту аргументу .

Мал. 1

Визначення 8. похідною функцією  в точці  називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

.

Якщо в точці  похідна існує, то функція  називається дифференцируемой в цій точці.

якщо  - Час, а  - Певний процес (фізичний, хімічний, біологічний, економічний), то  є швидкість (миттєву) протікання цього процесу в момент .

Теорема 13. якщо функція  диференційована в точці  , То вона неперервна в цій точці.

Протилежне твердження невірно. Так, функція  неперервна в точці  , Але не диференційована в цій точці.

Виходячи з визначення похідної, виведені формули для похідних всіх основних елементарних функцій і отримані основні закони диференціювання:

 1.  2.
 3.  4.
 5.  6.
 7.  8.
 9.  10.
 11.  12.

якщо и  - Диференціюються, то

I.

II.

III.

IV.

V. якщо  - Диференційована функція в точці  , а  - Диференційована в точці  , То похідна складної функції  дорівнює похідною зовнішньої функції за своїм аргументу, помноженої на похідну внутрішньої функції за своїм:

.

Приклади знаходження похідних.

Приклад 1.  . знайти .

Рішення. Використовуючи закони диференціювання I і II, а також формули 3), 5), 2), 1), маємо:

 .n

Приклад 2.  . знайти .

Рішення. Спочатку перепишемо цю функцію в більш зручному вигляді, замінивши все коріння на ступеня.

.

Тепер знаходимо похідну, використовуючи закони I, II і формулу 2):

 .n

Приклад 3.  . знайти .

Рішення. Використовуємо закон III і формули 2) і 5):

 .n

Приклад 4.  . знайти .

Рішення. Скористаємося законом IV, тобто формулою для похідної приватного:

 .n

Тепер звернемо увагу на закон V, що дає можливість диференціювати складні функції.

Приклад 5.  . знайти .

Рішення. Перед нами складна функція, у якій зовнішньої є п'ятий ступінь, а внутрішньої - тангенс. Похідна зовнішньої функції дорівнює  , А похідна внутрішньої  . Тому, отримуємо:

 .n

Приклад 6.  . знайти .

Рішення. Похідна зовнішньої функції за своїм аргументу дорівнює  , А похідна внутрішньої функції, тобто похідна виразу, що стоїть в дужках, дорівнює  ; тому

 .n

Приклад 7.  . знайти .

Рішення. Тут складна функція полягає вже з трьох ланок: зовнішня - дев'ята ступінь, її аргументом є - арктангенс, а аргументом арктангенса - вираз  . Тому, диференціюючи в ланцюжок, отримуємо:

 .n

Приклад 8.  . знайти .

Рішення. Ця функція являє собою частку. Тому в основу диференціювання закладаємо закон IV, але в ході диференціювання враховуємо, що перший доданок чисельника, а також обидва доданків знаменника - функції складні:

 .n

Наведемо ще два приклади без пояснень.

Приклад 9.  . знайти .

Рішення.

 .n

приклад 10.  . знайти .

Рішення.

 .n

Знайти похідні наступних функцій

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5)  6) ;
 7) ;  8) ;
 9) ;  10) ;
 11) ;  12) ;
 13) ;  14) ;
 15) ;  16) ;
 17) ;  18) ;
 19) ;  20) ;
 21) ;  22) ;
 23) ;  24) ;
 25) ;  26) ;
 27) ;  28) ;
 29) ;  30) ;
 31) ;  32) ;
 33) ;  34) .


© um.co.ua - учбові матеріали та реферати