Головна

Вступ

  1.  I. ВСТУП
  2.  I. Вступ
  3.  I. Вступ
  4.  I. ВСТУП
  5.  I. ВСТУП
  6.  I. Вступ.
  7.  I. ВСТУП.

Іноді невизначеність ситуації вдається в деякій мірі послабити за допомогою знаходження ймовірностей станів на базі даних статистичних спостережень.

Нехай ймовірності станів природи відомі

якщо  - Середнє значення (математичне очікування) виграшу, яке гравець I прагне максимізувати, то:

В якості оптимальної стратегії вибирається та з стратегій  , Яка відповідає максимальному середньому значенню виграшу:

 . (4.9)

Оптимальну стратегію при відомих ймовірності станів природи можна знайти, використовуючи показник ризику. Для цього необхідно визначити середнє значення ризику:

В якості оптимальної стратегії в даному випадку вибирається та, яка забезпечує мінімальне середнє значення ризику

.

Легко показати, що застосування критеріїв середнього виграшу і середнього ризику для одних і тих же вихідних даних призводить до одного й того ж результату, т. Е. Оптимальна стратегія, отримана при застосуванні критерію оптимізації середнього виграшу, збігається з оптимальною стратегією, отриманої за критерієм мінімізації середнього ризику.

Надзвичайно важливо те обставина, що в разі відомих ймовірностей станів природи  , Гравцеві I немає сенсу користуватися змішаними стратегіями.

Попередній розгляд відносилося до випадку, коли ймовірності станів природи відомі. Якщо об'єктивні оцінки ймовірностей станів отримати неможливо, то вони можуть бути оцінені суб'єктивно на основі:

- Принципу недостатнього підстави Лапласа

який застосовується тоді, коли жодне стан природи не можна віддати перевагу іншому;

- Спадної арифметичної прогресії - в тому випадку, якщо можна розташувати стану природи в порядку убування їх правдоподібності (ймовірності звершення):

,

де:

- Використання оцінки групи експертів (наприклад, в разі, коли необхідно оцінити можливості різноманітних погодних умов, можна використовувати дані метеорологічних спостережень за тривалий період часу).

Розглянемо використання інформаційних технологій пошуку оптимальних стратегій в іграх з природою для випадку відомих ймовірностей її станів.

приклад 2

Є три ділянки землі, що відрізняються за ступенем вологості. Можливі стратегії сільськогосподарського підприємства

полягають у тому, що воно може висаджувати деяку культуру на ділянках 1, 2 або 3. Врожайність на будь-якому з трьох ділянок, природно, залежить від кількості опадів, що випали в період вегетації. Позначимо можливі варіанти погодних умов (стратегії природи) через П1, П2 і П3, де П1 - відповідає випадання опадів нижче норми, П2 - нормального кількості опадів, і П3 - кількістю опадів нижче норми.

Виграш сільськогосподарського підприємства природно асоціювати з врожайністю культури з 1 гектара. Платіжна матриця, т. Е. Сукупність значень врожайності для кожної стратегії підприємства і природи, наведена нижче.

Платіжна матриця прикладу 2

   П1  П2  П3
 A1
 A2
 A3

Нехай на основі обробки багаторічних статистичних даних про погодні умови в даному регіоні отримані наступні значення ймовірностей посушливого, нормального за кількістю опадів і дощового сезонів

Потрібно вибрати стратегію, що забезпечує максимальний середній виграш (максимальний середній урожай).

Рішення

Введемо дані на робочий лист відповідно до Рис. 4.3.

Мал. 4.3. Дані для вирішення прикладу 2.

У осередок E3 введемо формулу для визначення середнього виграшу

= СУММПРОИЗВ (B3: D3; $ B $ 13: $ D $ 13)


і скопіюємо її в осередку E4, E5. У осередок E6 введемо формулу для визначення максимального середнього виграшу = Максим (E3: E5); нарешті, в осередок E7 введемо логічну функцію, за допомогою якої буде автоматично визначатися оптимальна стратегія поведінки підприємства:

= Якщо (і (E3> E4; E3> E5); A3; якщо (і (E4> E3; E4> E5); A4; A5))

В результаті отримаємо наступне рішення задачі

 Стратегія сільськогосподарського підприємства П1 П2 П3  Середній виграш (середня врожайність)
A1  175,3
A2  196,1
A3  219,1
   Максимальний середній виграш  219,1
   оптимальна стратегія  A3

В умовах повної невизначеності, на відміну від щойно розглянутого випадку, використовується ряд критеріїв, які не потребують знання ймовірностей станів природи. Найбільш широко використовуваними є при цьому критерії Вальда, Севіджа і Гурвіца.

критерій Вальда

Цей критерій базується на принципі найбільшої обережності і використовує вибір найкращої з найгірших стратегій (в зв'язку з чим його відносять до групи критеріїв крайнього песимізму).

Якщо у вихідній матриці (за умовою завдання) результат являє собою втрати ЛПР, то при виборі оптимальної стратегії використовується мінімаксний критерій. У цьому випадку для визначення оптимальної стратегії необхідно в кожному рядку матриці результатів знайти найбільший елемент, а потім вибирається дію (рядок), якому буде відповідати найменший елемент з цих найбільших елементів.

Навпаки, якщо у вихідній матриці за умовою задачі результат являє виграш, то при виборі оптимальної стратегії використовується максимина критерій. Інакше кажучи, в якості оптимальної рекомендується вибирати ту стратегію, яка гарантує в найгірших умовах максимальний виграш,

Слід зазначити, що критерій Вальда іноді призводить до нелогічним висновків внаслідок своєї надмірної "пессимистичности", в зв'язку з чим, часто при вирішенні аналогічних завдань використовується близький за змістом критерій Севіджа.

Критерій Севіджа (минимаксного ризику)

Цей критерій використовує матрицю ризиків. При використанні критерію Севіджа рекомендується вибирати ту стратегію, при якій в найгірших умовах величина ризику приймає найменше значення:

 (4.10)

Інакше кажучи, цей критерій рекомендує в умовах невизначеності вибирати ту стратегію, при якій величина ризику приймає найменше значення в самій несприятливій ситуації (коли ризик максимальний).

критерій Гурвіца

Критерій Гурвіца встановлює баланс між випадками крайнього песимізму і крайнього оптимізму шляхом введення деяких вагових коефіцієнтів и  , де  При цьому передбачається, що природа може перебувати в найбільш невигідному для ЛПР стані з ймовірністю  і в найвигіднішому - з ймовірністю .

Цей критерій називають ще принципом песимізму - оптимізму. Він може бути виражений у вигляді співвідношення:

 (4.11)

Очевидно, що при  критерій Гурвіца перетворюється в песимістичний критерій Вальда, а при  - В критерій крайнього оптимізму. значення  вибирається в залежності від схильності ОПР до песимізму або оптимізму, а також на підставі досвіду, здорового глузду і т. д.

Слід зазначити, що вибір критерію прийняття рішень в умовах невизначеності є найбільш складним і відповідальним етапом в процесі прийняття рішення. При цьому не існує яких-небудь загальних порад або рекомендацій. Вибір критерію повинен проводитися ЛПР, з урахуванням конкретної специфіки розв'язуваної задачі і відповідно до його цілями, на основі минулого досвіду і інтуїції.

Зокрема, в разі, коли навіть мінімальний ризик неприпустимий, слід застосовувати критерій Вальда. Якщо, навпаки, певний ризик цілком прийнятний і ЛПР має намір вкласти в деякий підприємство стільки коштів, щоб згодом не шкодувати про занадто малій величині вкладень, то вибирають критерій Севіджа.

Оцінка необхідності експерименту в умовах невизначеності

Для будь-якої економічної задачі, розв'язуваної за допомогою теорії статистичних ігор (ігор з природою), може бути визначено абсолютно мінімальне значення виграшу, який ОПР отримає в найгіршій для себе ситуації. Ця величина може бути дорівнює, наприклад, сумі витрат на виробництво продукції при нульовій виручці від її реалізації, максимально можливих втрат, що виникли внаслідок прийнятого рішення і т. Д. У процесі прийняття рішення для визначення найбільш вигідною стратегії ОПР необхідна інформація про можливості стану природи (довкілля). Зокрема, підвищення рівня інформованості може бути досягнуто при зверненні ЛПР до послуг консультаційної служби, здатної скласти добре обгрунтований прогноз розвитку ситуації. Можна розглядати дану дію як свого роду "експеримент", проведення якого, безсумнівно, вимагає витрати певних коштів.

З економічної точки зору експеримент доцільно проводити в тому випадку, якщо витрати на його проведення не перевищують виграшу, який можна отримати при більш точному знанні стратегії природи. Розглянемо рішення проблеми, засноване на відомих ймовірності станів природи, яке гарантує при багаторазовому повторенні гри в подібних умовах отримання максимального в середньому виграшу.

Нехай відомі матриця виграшів

гри з природою і ймовірності  різних станів природи  . Відомі також витрати на проведення експерименту, які складають  руб.

Якщо експеримент не проводиться, то середній виграш гравця I визначається виразом

Нехай експеримент проведений, і з'ясовано дійсний стан природи. Якщо цим станом виявилося  , То виграш першого гравця

якщо  , То виграш

 і т.д.

Нарешті, при дійсний стан природи  виграш гравця I

Якщо справжній стан природи невідомо, то гіпотетичний середній виграш  гравця I знаходиться з виразу

Таким чином, умова доцільності проведення експерименту можна записати у вигляді

Якщо ця умова не виконується, то експеримент проводити недоцільно і в якості оптимальної стратегії слід вибирати ту, для якої середній ризик мінімальний.

приклад 3

Матриця виграшів гри з природою наведена нижче. Ймовірності станів природи

відомі і рівні відповідно

Витрати на проведення експерименту для з'ясування умов, в яких буде здійснюватися операція, складають 0,8 млрд. Руб. Необхідно визначити доцільність проведення експерименту в припущенні, що він дозволяє точно визначити стан природи  , При якому буде здійснюватися операція.

Матриця виграшів для прикладу 3.

 II I
 А1
 А2
 А3

Рішення

Введемо дані на робочий лист відповідно до Рис. 4.4

Мал. 4.4 Дані для вирішення прикладу 3

Введемо необхідні формули для розрахунку введених вище параметрів  . У осередок F2 введемо формулу

= СУММПРОИЗВ (B2: E2; $ B $ 8: $ E $ 8)

і скопіюємо її в осередку F3, F4. У комірку F5 введемо формулу для розрахунку максимального значення за колонкою F: = Максим (F2: F4), а в осередку B5: E5 - формули для визначення максимальних значень чисел у шпальтах.

У осередок E11 введемо формулу для розрахунку параметра  (= СУММПРОИЗВ (B5: E5; B8: E8)), а в клітинку F11 формулу, яка здійснює зв'язок з осередком F5 (= F5). В осередку G11 розрахуємо різницю

У осередок E14 (під написом Рекомендація), введемо формулу

= Якщо (G11> A11; A15; A16)

для того, щоб автоматизувати процес отримання рекомендації про доцільність експерименту.

В результаті отримаємо відповідь

 стратегія П1 П2 П3 П4  виграш  
A1  3,55  
A2  2,65  
A3  2,85  
   3,55  
  q1 q2 q3 q4    
   0,25  0,15  0,2  0,4    
 Витрати на проведення експерименту (С)          різницю
 0,8        3,85  3,55  0,3
         рекомендація    
         Експеримент виробляти недоцільно    
           

Так як витрати на проведення експерименту перевершують величину виграшу, то в даному випадку експеримент проводити недоцільно.

приклад 4

Торговельне підприємство планує продаж сезонних товарів з урахуванням можливих варіантів поведінки купівельного попиту

( )

Підприємством розроблено три господарських стратегії продажу товарів

(  ).

Потрібно знайти оптимальну поведінку торгового підприємства, користуючись критеріями Вальда, Гурвіца (при  ) І Севіджа, якщо товарообіг, який залежить від стратегій підприємства і купівельного попиту представлений у вигляді такої платіжної матриці.

Платіжна матриця прикладу 4

 А1
 А2
 А3

Рішення

Введемо дані на робочий лист відповідно до Рис. 4.5 (а, б).

Розглянемо спочатку пошук оптимальних стратегій за критеріями Вальда і Гурвіца.

критерій Вальда. Введемо в комірку F5 формулу для знаходження мінімального значення рядка 5 (= хв (B5: E5)) і скопіюємо цю функцію в осередку F6, F7. У осередок F8 введемо формулу для знаходження максимального з значень осередків F5: F7 (= Максим (F5: F7)). У осередок F9 введемо логічну функцію, що дозволяє автоматизувати процес пошуку оптимальної стратегії за методом Вальда:

= Якщо (і (F5> F6; F5> F7); A5; якщо (і (F6> F5; F6> F7); A6; A7))

критерій Гурвіца. Введемо в комірку F15 формулу для знаходження твори мінімального зі значень рядка 15 на параметр  (= Хв (B15: E15) * $ A $ 22) і скопіюємо її в осередку F16, F17. У осередок G15 введемо формулу для розрахунку твори максимального з значень осередків рядка 15 на  (= Максим (B15: E15) * $ B $ 22) і скопіюємо цю формулу в комірки G16: G17.

Мал. 4.5 (а). Дані для вирішення прикладу 3
 (Критерії Вальда і Гурвіца)

В осередку H15 розмістимо формулу для суми значень, що знаходяться в осередках F15, G15 і скопіюємо її в осередку H16: H17. У осередок H18 введемо формулу для знаходження найбільшого з значень в осередках H15: H17 (= Максим (H15: H17)). У осередок H19 введемо логічну функцію

= Якщо (і (H15> H16; H15> H17); A15; якщо (і (H16> H15; H16> H17); A16; A17))

Критерій Севіджа. Введемо дані відповідно до Рис. 3.5 (б).

Спочатку розрахуємо і розмістимо в осередках B38: E40 матрицю ризиків. У осередок B32 введемо формулу = Максим (B29: B31) і скопіюємо її в осередку C32: E32. Введемо в комірку B38 формулу = B $ 32-B29 і скопіюємо цю формулу в діапазон комірок B38: E40. У осередок F38 введемо формулу = Максим (B38: E38) і скопіюємо її в осередку F39: F40.

Мал. 4.5 (б). Дані для вирішення прикладу 3 (критерій Севіджа)

У осередок 41 введемо формулу для розрахунку мінімального ризику = хв (F38: F40), а в клітинку F42 - логічну функцію, що має такий вигляд:

= Якщо (і (F38

Очевидно, дана логічна функція дозволяє автоматизувати процес вибору оптимальної стратегії при застосуванні розглянутого критерію.

Характерною особливістю ігрових методів теорії прийняття рішень є відносна простота знаходження оптимальних стратегій вибору. Стосовно до інформаційних технологій на базі Excel це виражається у відсутності необхідності використання пакета Пошук рішення.

Результат рішення:

 критерій Вальда        
 стратегії  купівельний попит      
   П1  П2  П3  П4    
 A1    
 A2    
 A3    
     виграш    
     оптимальна стратегія  A3    
               
 критерій Гурвіца        
 стратегії  купівельний попит      
   П1  П2  П3  П4
 A1
 A2
 A3
             виграш
           оптимальна стратегія  A3
 ? =  ??? =            
 0,4  0,6            
               
 критерій Севіджа        
       
 стратегії  купівельний попит      
   П1  П2  П3  П4      
 A1      
 A2      
 A3      
?j      
               
 стратегії  купівельний попит      
   П1  П2  П3  П4      
 A1    
 A2    
 A3    
     Ризик підприємства r =    
     оптимальна стратегія  A2    

Розміщено на Allbest.ru

Вступ

Основи лінійної алгебри та аналітичної геометрії включають в себе розділи: матриці і визначники, пряма на площині, пряма в просторі, рішення систем лінійних рівнянь і ін. Зазначені дисципліни та їх застосування грають істотну роль в багатьох медико-економічні завдання.

Мета даної дисципліни - набуття студентами знань по розділах курсу: матриці і визначники, пряма на площині, пряма в просторі, рішення систем лінійних рівнянь, а також можливість подальшого використання придбаних навичок при вивченні суміжних дисциплін і вирішенні прикладних задач конкретної спеціальності. Дисципліна базується на курсі математики середньої школи.

Мета курсу - викласти необхідний математичний апарат і прищепити навички його використання при вирішенні управлінсько-економічних завдань.

Завдання курсу - освоєння методів математичного опису економічних ситуацій, математичних методів їх дослідження і рішення, методів аналізу отриманих результатів. Придбання навичок використання лінійних рівнянь при вирішенні управлінсько-економічних завдань.

При вивченні економічної літератури доводиться мати справу з великою кількістю графіків. Зазначимо деякі з них.

Крива споживчого бюджету - Крива, що показує різні комбінації чисельності двох товарів, які споживач може купити за певного рівня його грошового доходу.

Крива виробничих можливостей - Крива, що показує різні комбінації двох товарів або послуг, які можуть бути зроблені в умовах повної зайнятості і повного обсягу виробництва в економіці з постійними запасами ресурсів і незмінною технологією.

Крива інвестиційного попиту - Крива, що показує динаміку відсоткової ставки і обсяг інвестицій при різних процентних ставках.

крива Філіпса - Крива, що показує існування стійкого зв'язку між рівнем безробіття і рівнем інфляції.

крива Лаффера - Крива, що показує зв'язок між ставками податків і податковими надходженнями, що виявляє таку податкову ставку, при якій податкові надходження досягають максимуму.

Вже просте перерахування термінів показує, як важливо для економістів вміння будувати графіки і розбиратися у властивостях найпростіших кривих, якими є прямі лінії і криві другого порядку - окружність, еліпс, гіпербола, парабола. Крім того, при вирішенні великого класу задач потрібно виділити на площині область, обмежену будь-якими кривими. Найчастіше ці завдання формулюються так: знайти оптимальний варіант виробництва при заданих ресурсах. Завдання ресурсів має зазвичай вид нерівностей. Тому доводиться шукати найбільше чи найменше значення, прийняті деякою функцією в області, заданої системою нерівностей.

Знання в області лінійної алгебри та аналітичної геометрії дозволять майбутньому фахівцю-економісту розробляти економічні плани і робити економічні прогнози.

ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА

1. Вища математика для економістів: підручник для студентів вузів, що навчаються за економічними спеціальностями / [Кремер Н. ш. та ін.]; під ред. проф. Н. ш. Кремера. - М .: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 479 с.

2. Основи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. навчальний посібник для студентів 1 курсу факультету «Економіка і управління в охороні здоров'я» / За редакцією доц. Пупирева Н. п. І доц. Трухачовою Н. ст.- Барнаул, 2007. - 120 с.

ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА

1. Данко П. е. Вища математика у вправах і завданнях. М., Вища школа, 1999. ч.1,2.

2. Карасьов А. і., Аксютина З. м., Савельєва Т. і. Курс вищої математики для економічних вузів. М., Вища школа, 1982. ч.1,2.

3. Кім Г. д., Ільїн В. А. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. - М .: Велбі, Проспект, 2007. - 272 с.

4. Клименко Ю. і. Вища математика для економістів в прикладах і задачах. - М .: Іспит, 2006. - 734 с.

5. Красс М. с., Чуприна Б. п. Основи математики і її застосування в економіці. М .: Справа, 2000..

6. Кремер Н. ш., Путко Б. а., Тришин Н. м., Фрідман М. м. Вища математика для економістів. М .: Банки і біржі, ЮНИТИ, 1997..

7. Малугін В. а. Математика для економістів: Лінійна алгебра. Курс лекцій. Серія: Вища економічна освіта. - М .: Ексмо, 2006. - 224 с.

8. Малугін В. а. Математика для економістів. Лінійна алгебра. Завдання і вправи. - М .: Ексмо, 2006. - 176 с.



© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати