Головна

криві Безьє

  1.  V. Криві Енгеля.
  2.  Питання 29. Криві байдужості.
  3.  Тимчасова структура процентних ставок. криві доходності
  4.  Довготривалі криві попиту і пропозиції.
  5.  Ацидиметрія. Криві титрування. Точка еквівалентності. Вибір індикатора. Застосування в медицині.
  6.  Компресійні криві структурно нестійких ґрунтів
  7.  Криві (Curves)

В даний час для задач апроксимації найбільш широко застосовуються криві Безьє. Це пов'язано з їх зручністю як для аналітичного опису, так і для наочного геометричного побудови (стосовно комп'ютерній графіці це означає, що користувач може задавати форму кривої інтерактивно, тобто рухаючи опорні точки курсором на екрані).

Наочний метод побудови цих кривих було запропоновано de Casteljau в 1959 році. Побудуємо криву по 3 опорних точках (Рис. 5). Метод de Casteljau заснований на розбитті відрізків, що з'єднують вихідні точки відносно t (значення параметра), а потім в рекурсивном повторенні цього процесу для отриманих відрізків.

Мал. 5. Крива Безьє з 3 опорними точками. Позначимо опорні точки як ,  , Початок кривої покладемо в точці  (T = 0), а кінець в точці  (T = 1), для кожного  знайдемо точку  , Таким чином, отримаємо криву другого порядку.

Тепер постоїмо аналогічним методом криву Безьє з 4 опорними точками.

Мал. 6. Крива Безьє з 4 опорними точками.

Можна продовжувати подібні побудови і для більшого числа вузлів, отримуючи аналогічні викладки. Запишемо загальне аналітичне уявлення для кривої Безьє з N + 1 опорною точкою:

 , де  , де  - Біноміальні коефіцієнти,

 називаються базисними многочленами Бернштейна nступеня (а також ваговими функціями Безьє / Бернштейна). На малюнках нижче зображено многочлени Бернштейна 3 і 4 ступенів

Мал. 7. Базисні функції Бернштейна для кривої Безьє з 3 опорними точками.  
Мал. 8.. Базисні функції Бернштейна для кривої Безьє з 4 опорними точками.  



 II. Інтерполяція. |  Многочлен Лагранжа |  Кубічна інтерполяція Ерміта |  прямий метод |  Метод розбивки (subdivision) |  Сплайни, складені з кривих Безьє |  Сплайни, складені з раціональних кривих Безьє |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати