Головна

Перетворення форм представлення моделей

  1.  C) при переведенні результатів підприємства та його фінансового становища в валюту подання звітності.
  2.  IV. Розробка моделей
  3.  Автоматизація розробки моделей даних
  4.  Адресата бухгалтерської звітності ВІДПОВІДНО ДО ЗАКОНОДАВСТВА РФ. ТЕРМІНИ ПОДАННЯ бухгалтерської звітності.
  5.  Аналіз математичних моделей.
  6.  Аналіз статистичних даних. Способи подання і систематизації даних. Найпростіші статистичні характеристики
  7.  Асортимент - більш Широке Поняття, ПЕРЕЛІК найменувань виробів та їх модіфікацій (моделей) Із зазначену ОБСЯГИ випуску по кожному виду.

2.1 Моделі "вхід - вихід"

2.1.1 Диференціальні рівняння типових ланок і систем

2.1.1.1 Постановка завдання математичного опису лінійної САУ

Типові завдання ТАУ (аналіз и синтез) Для свого вирішення потребують математичного опису САУ. Створення такого опису, т. Е. Побудова математичної моделі системи (ММ), зазвичай проводять за допомогою декомпозиції САУ. Систему поділяють на елементи і складають рівняння, що описують їх поведінку (рух) - зміна стану в часі. Рівняння складають на основі законів збереження енергії або речовини. При цьому САУ ідеалізують (лінеаризація, стаціонаризації). Результуючими рівняннями зазвичай є звичайні диференціальні рівняння (ОДУ) з постійними коефіцієнтами. Крім диференціальних рівнянь в якості ММ застосовують передавальні функції (ПФ), які дозволяють представляти ММ системи у вигляді алгоритмічних структурних схем. До ММ відносять також временнIе і частотні характеристики САУ, які спільно з ПФ становлять класичний математичний апарат ТАУ, що дозволяє аналізувати і синтезувати САУ без інтегрування рівнянь.

2.1.1.2 Поняття динамічного ланки

 Для розрахунку САУ їх розбивають на динамічні ланки (ДЗ). Під ДЗ розуміють ММ деякої частини САУ будь-якого фізичного вигляду і конструктивного оформлення. Елементи САУ, різні по фізичній природі, конструкції, потужності і т. Д., Але описувані лінійними диференціальними рівняннями одного і того ж виду, є однаковими ДЗ. У кожного ДЗ може бути лише одна вхідна і одна вихідна величини (рисунок 2.1).

ДЗ мають властивість односпрямованість. Складні ланки поділяють на найпростіші складові частини - типові ДЗ. Під типовим ДЗ розуміють ланка, порядок диференціального рівняння якого не перевищує другого.

2.1.1.3 Диференціальне рівняння динамічного ланки

У загальному випадку ДЗ описують наступним ОДУ:

 , (2.1)

де x(t) і y(t) - Вхідна і вихідна величини ДЗ;

a2 a0; b1 b0 - коефіцієнти (постійні) рівняння.

Більш споживані в ТАУ інші форми запису цього ДУ. Зазвичай рівняння (2.1) записують у символічному вигляді

 , (2.2)

де  - Оператор диференціювання.

Для вирішення типових задач ТАУ диференціальне рівняння ДЗ (2.1) перетворять по Лапласа (або Карсону-Хевісайда) заміною оператора диференціювання p комплексною величиною перетворення Лапласа s = jw. Метою названого перетворення є заміна операцій диференціювання і інтегрування оригіналів функцій y(t) і x(t) Алгебраїчними діями над їх зображеннями Y(s) і X(s), Оскільки рівняння (2.1) перетворюється в алгебраїчне

 (2.3)

При нульових початкових умовах p ? s.

Якщо вільні члени a0 = 1 і b0 = 1, рівняння (2.3) набуває нормований вид

 . (2.4)

Таку форму записи ДЗ або САУ називають першу стандартну символічної (операторної) Формою записи. Рівняння (2.1) - (2.4) відносять до рівнянь типу "Вхід вихід".

2.1.1.4 Диференціальне рівняння САУ

У загальному випадку замкнуту САУ описують неоднорідним ДУ n-го порядку:

 (2.5)

де x(t) - Вхідна (керуюча або обурює) величина;

y(t) - Вихідна (керована) величина;

an, an-1, ..., a0; bm, bm-1, ..., b0 - постійні коефіцієнти (m < n),

або на операційному вигляді

 . (2.6)

однорідне рівняння

 (2.7)

називають характеристичним рівнянням замкнутої САУ.

Позначивши поліноми від s

 (2.8)

и

 , (2.9)

характеристичне рівняння можна записати у вигляді

 = 0,

а операторний рівняння замкнутої САУ у вигляді

 . (2.10)

2.1.1.5 Лінеаризація диференціальних рівнянь реальних САУ

 Реальні САУ практично є нелінійними. Система містить один або кілька нелінійних елементів (люфт, насичення, упор і т. Д.). Виділяють нелінійні САУ, які за певних умов можна линеаризовать, Т. Е. Перетворити їх ММ до рівняння типу (2.5). Лінеаризація нелінійності рівняння ДЗ полягає в заміні цієї нелінійної функції y = f(x) наближеною лінійною залежністю  . Аналітично цю операцію засновують на розкладанні функції y = f(x) В ряд Тейлора в околі точки (x0, y0) досліджуваного режиму. Таку линеаризацию можна виконати графічно (рисунок 2.2).

В результаті лінеаризації ММ набуває вигляду лінійного ДУ в відхиленнях або варіаціях.

2.1.2 Передавальна функція ланки і САУ

2.1.2.1 Передавальна функція ланки

Передавальної функцією (ПФ) ланки чи САУ називають відношення перетворення Лапласа Y(s) Сигналу на виході системи y(t) До перетворення Лапласа X(s) Сигналу на вході x(t) При нульових початкових умовах :

 . (2.11)

Відповідно до визначення випливає, що

Y(s) =W(s)X(s), (2.12)

а також

 , (2.13)

де ;  - Поліноми від s.

Форму запису ДУ САУ (2.12) за допомогою ПФ називають другий стандартною формою записи ДУ. Форму запису ПФ (2.13) називають полиномиальной.

ПФ є дрібно-раціональну функцію від s. Порядок чисельника ПФ реальної системи не перевищує порядку знаменника. Коефіцієнти речовинні, так як є функціями речових параметрів ланки або САУ.

 значення s, При яких ПФ звертається в нуль, називають нулями ПФ. Нулі є корінням рівняння B(s) = 0.

значення s, При яких ПФ звертається в нескінченність, називають полюсами ПФ. Полюси є корінням рівняння A(s) = 0.

Таким чином, ПФ має m нулів і n полюсів. Вони можуть бути дійсними або комплексно-сполученими, тому їх зображують на комплексній площині s відповідно до малюнком 2.3.

Передавальну функцію (2.13) можна розкласти на множники і представити у вигляді

 , (2.14)

де z1 - нуль ПФ;

p1; p2 - полюси ПФ.

У розглянутому прикладі

2.1.2.2 Передавальні функції типових ланок

Вид ПФ визначає клас і тип ДЗ. Типові ланки поділяють на два класи:

- Звичайні або мінімально-фазові, Полюси і нулі яких мають негативні або нульові речові частини;

- Особливі або немінімально-фазові, У яких хоча б один нуль або полюс має позитивну дійсну частину.

Серед звичайних ДЗ розрізняють: позиційні (Статичні), інтегрують (Астатические) і диференційні ДЗ.

До позиційних ланкам відносять:

- пропорційне ланка (П-ланка) з ПФ

W(s) = K, (2.15)

де K - Коефіцієнт передачі ланки;

- апериодическое ланка першого порядку (А-ланка) з ПФ

 , (2.16)

де T - Постійна часу;

- Апериодическое ланка другого порядку з ПФ

 (2.17)

або

 , (2.18)

де T1? T4 - постійні часу;

- коливальний ланка (К-ланка) з ПФ

 , (2.19)

де x - коефіцієнт демпфірування (загасання), 0

При x ? 1 коливальний ланка стає А-ланкою другого порядку.

К інтегруючим ланкам (І-ланка) відносять:

- Ідеальне І-ланка з ПФ

 , (2.20)

або

 ; (2.21)

- Реальне І-ланка з ПФ

 ; (2.22)

- ізодромного ланка (ПІ-ланка) з ПФ

 (2.23)

або

 . (2.24)

К дифференцирующим ланкам (Д-ланка) відносять:

- Ідеальне Д-ланка з ПФ

 ; (2.25)

- Реальне Д-ланка з ПФ

 . (2.26)

У таблиці 2.1 представлені диференціальні рівняння і передавальні функції типових ДЗ.

 Таблиця 2.1 - Типові динамічні ланки
 Найменування ланки  Диференціальне рівняння ланки  Передавальна функція ланки  параметри ланки
 П-ланка (безінерційні, підсилююче) K
 А-звенопервого порядку (інерційний) K, T
 А-звеновторого порядку при
 К-ланка
K, T, X ( )
 І-ланка ідеальне (Астатичне) K
T
 І-звенореальное K, T
 ПІ-ланка (ізодромного)
де
 Д-ланка ідеальне K
 Д-звенореальное K, T
 ланка запізнювання K, t

2.1.2.3 Типові з'єднання динамічних ланок

Складні елементи і САУ складаються з декількох з'єднаних між собою ланок. Найбільш простими і часто зустрічаються (типовими) сполуками ланок є:

- Послідовне;

- Паралельне;

- Зустрічно-паралельне (охоплення ланки зворотним зв'язком).

При послідовному з'єднанні ДЗ (рисунок 2.4) вихідна величина кожного з ланок y1 та y2, крім останньої ланки, є вхідною величиною наступної ланки.

 
 

еквівалентна передавальна функція послідовно з'єднаних l ланок дорівнює добутку ПФ цих ланок:

 . (2.27)

При паралельному з'єднанні (рисунок 2.5) на вхід всіх ланок надходить одна й та ж вхідні величина x(t), А їх вихідні величини y1, yy3сумміруются.

еквівалентна передавальна функція паралельно з'єднаних l ланок дорівнює сумі їх ПФ:

 . (2.28)

Третє типове з'єднання (рисунок 2.6), зване зустрічно-паралельним, Призводить до утворення замкнутої системи і складається з двох ланок. Ланка з ПФ Wп (s) Утворює пряму ланцюг (зв'язок) передачі сигналів, а ланка з ПФ Wос (s) Здійснює ОС.

 Еквівалентна ПФ зустрічно-паралельного з'єднання ланок визначається по формулою замикання

 . (2.29)

У вираженні (2.29) знак "+" відповідає негативній ОС, а знак "-" відповідає позитивної ОС.

2.1.2.4 Структурна схема одноконтурною САУ

алгоритмічної структурної схемою САУ називають графічне представлення ММ системи в поєднанні ДЗ, в якому кожної математичної операції перетворення сигналу відповідає типове ланка, Умовно позначається прямокутником із зазначенням вхідних і вихідних величин, а так же ПФ цього ДЗ.

Структурна схема типової одноконтурной САУ показана на малюнку 2.7. На малюнку 2.8 зображена еквівалентна схема типової САУ.

 
 

Очевидно, що еквівалентна схема простіше, тому що містить менше ланок. Подібного спрощення досягають методом згортки (Сутність методу см. П. 2.1.2.6). ПФ ланок обох схем пов'язані згідно (2.27) найпростішим чином:

 
 

Структурна схема показує будова САУ, наявність зовнішніх впливів і точки їх застосування, шляхи поширення впливів і вихідну величину. По суті, структурна схема являє собою графічну форму ММ САУ, що надає їй наочність в зображенні зв'язків між ДЗ. Це дозволяє легко знаходити по структурній схемі ПФ щодо будь-яких входів і виходів. Для складання структурної схеми САУ необхідно мати її функціональну схему (див. П. 1.4) і диференціальні рівняння або ПФ всіх елементів системи.

2.1.2.5 Передавальні функції САУ

Структурна схема будь одноконтурной САР з будь-якою кількістю послідовно або паралельно з'єднаних ланок, охоплених місцевими ОС, може бути зведена до типової структурної схемою, показаної на малюнку 2.8. основну ПФ, яка б пов'язала зображення вихідної величини Y(s) Із зображенням задає впливу G(s), Позначають ф (s):

 , (2.30)

де  - ПФ частини САУ, укладеної між точками програми дій y(t) і g(t);

 - ПФ розімкнутої системи.

З ДУ (2.10) випливає, що в загальному випадку основна ПФ є відношення двох поліномів від s (Дрібно-раціональна функція від s):

 , (2.31)

де D(s) - Характеристичний поліном замкнутої САУ (2.8).

для стежать систем характерно рівність Wyg(s) = W(s). Структурна схема таких САУ показана на малюнку 2.9, а саму САУ називають системою з одиничної ОС.

Основна ПФ названої САУ має вигляд

 . (2.32)

 Таким чином, основна ПФ ф (s) Визначається за ПФ розімкнутої системи W(s).

Основна ПФ системи ф (s) Характеризує передачу САУ задає впливу g(t), Його відтворення керованої величиною y(t). Відтворення тим краще, чим ближче ф (s) До ідеального значення

,

де Kз - коефіцієнт передачі замкнутої САУ.

ПФ розімкнутої САУ визначають за перетвореною структурній схемі САУ (рисунок 2.10). При цьому контур регулювання вважають розімкненим близько суматора і вважають всі впливи рівними нулю (z = 0). ПФ розімкнутої типовий САУ визначається за формулою (2.27):

 . (2.33)

 ПФ розімкнутої САУ W(s) Характеризує власні динамічні властивості САУ і дозволяє визначити її стійкість, а так же вибрати коригуючий пристрій для поліпшення властивостей САУ.

У загальному випадку ПФ розімкнутої САУ є дрібно-раціональну функцію оператора s:

 . (2.34)

Реальні САУ завжди мають m < n і коефіцієнт (вільний член)  . многочлен A(s) називають характеристичним поліномом розімкнутої САУ, а рівняння A(s) = 0 являє собою характеристичне рівняння розімкнутої САУ

 . (2.35)

ПФ розімкнутої САУ зазвичай записують в стандартної формі, при якій поліноми B(s) і A(s) Мають вільні члени и  , Т. Е.

 , (2.36)

де ,

 . (2.37)

величину v називають порядком астатизма САУ щодо задає впливу g(t).

статичні САУ характеризуються v = 0 і мають ПФ виду

 . (2.38)

астатические САУ характеризуються астатизмом v ? 0. У випадку v = 1 разомкнутая система має ПФ виду

 , (2.39)

так як вільний член полінома знаменника A(s) Дорівнює нулю (a0 = 0). Замкнуту САУ при цьому називають астатичній САУ першого порядку. Така система містить в прямій ланцюга одне І-ланка. САУ з двома І-ланками (v = 2) називають астатичній САУ другого порядку.

Для визначення впливу обурення z(t) На керовану величину y(t) Структурну схему типової САУ (рисунок 2.8) має бути поданий у вигляді, показаному на малюнку 2.11.

 
 

При цьому ланка з ПФ W2 (s) Утворює собою пряму ланцюг, ланки з ПФ W1 (s) і W3 (s) - Зворотній зв'язок. Тоді відповідно до (2.29) ПФ замкнутої САУ по обуренню

 , (2.40)

що дозволяє "згорнути" структурну схему САУ (рисунок 2.12) і зобразити САУ ланкою з еквівалентної ПФ (2.40).

 ПФ Fz(s) Показує вплив збурення z(t) На керовану величину y(t). Обурення відхиляє її від заданого значення g(t) І зменшує точність відтворення задає впливу. Це негативний вплив обурення тим менше, чим ближче Fz(s) До ідеального значення Fz(s) = 0.

При одночасному додатку до лінійної САУ керуючого g(t) І обурює z(t) Впливів відповідно до принципу накладення зображення регульованої величини визначається наступним чином:

Y(s) = Ф (s)G(s) + Фz(s)Z(s).

При дослідженні САУ часто цікавляться значенням помилки регулювання (1.1):

 . (2.40)

ПФ замкнутої САУ помилково визначається за такою формулою:

 . (2.41)

 Структурна схема системи з ПФ Fe (s) Виду (2.41) показана на малюнку 2.13. При цьому вважають, усі зовнішні впливи z(t) = 0, виключаючи задає вплив g(t).

Передавальна функція Fe (s), Як і F (s), Характеризує відтворення керованої величиною y(t) Задає впливу g(t) (Відпрацювання завдання). Відтворення тим краще, чим ближче Fe (s) До ідеального значення Fe (s) = 0.

ПФ САУ помилково (2.41) дозволяє розрахувати значення статичної помилки системи за такою формулою:

 , (2.42)

.

Часто статичну помилку  приймають за оцінку точності статичної САУ.

2.1.2.6 Еквівалентні перетворення структурних схем

Структурну схему будь-якої складності шляхом послідовних перетворень можна привести до еквівалентної одноконтурной (Рисунок 2.14). Умовою еквівалентності є збереження в процесі перетворень залежності основних величин y(t), E (t) і yос (t) Від зовнішніх впливів z(t).

 
 

Еквівалентні перетворення структурних схем здійснюють за відповідними правилами в наступній послідовності. Перш за все кожне наявне в схемі типове з'єднання ланок замінюють еквівалентним ланкою. Потім доцільно виконати перенесення точок розгалуження (вузлів) відповідно до малюнком 2.15 і суматорів відповідно до малюнком 2.16, щоб в перетвореної таким чином схемою утворилися нові типові з'єднання ланок. Ці сполуки знову повинні бути замінені еквівалентними ланками. Вузол може бути перенесений назад через ланку W1 (s) Або вперед через ланку W2 (s). У першому випадку в відгалуження включають ланка з ПФ W1 (s), У другому - ланка з ПФ 1 /W2 (s). Так само поступають при перенесенні суматора.

       
   
 
 

Таким чином, зазначені правила дозволяють перетворити складні структурні схеми багатоконтурних САУ з перехресними зв'язками, а також з декількома входами і виходами. Перетворення структурних схем дозволяє визначити ПФ САУ будь-якої складності.

2.1.3 Типові впливу

Робота багатьох САУ супроводжується різкими змінами зовнішніх впливів (наприклад, зменшенням або збільшенням навантаження і т. П.). Важливо оцінити поведінку САУ в таких ситуаціях, т. Е. З'ясувати, наскільки значним буде відхилення від нормального режиму роботи і наскільки швидко і точно воно буде усунуто регулятором. Для того, щоб порівняти поведінку при цьому різних САУ і елементів, розглядають суворо визначений, нормоване, Зміна впливів. Таким типовим зміною впливу вважають миттєве його зміна від нуля до одиниці. Для математичного запису використовують одиничну ступінчасту функцію (Функцію Хевісайда):

 (2.43)

графік якої показаний на малюнку 2.17.

 Іншим часто зустрічається зміною зовнішніх впливів є їх короткочасні, але значущі сплески, імпульси. Наприклад, ударна навантаження на двигун, пориви вітру, що діють на літальний апарат і т. П. Нормованим (стандартним) імпульсною дією вважають одиничний імпульс, Т. Е. Імпульс, твір тривалості якого на його амплітуду дорівнює одиниці.

Межа, до якого прагне одиничний імпульс, коли його тривалість прагне до нуля T ® 0, є одинична імпульсна функція (D-функція або функція Дірака):

 (2.44)

Приблизно d-функцію можна представити як дуже вузький прямокутний імпульс тривалості T і амплітуди  близько початку координат (рисунок 2.18), так що його площа (інтеграл) дорівнює одиниці:

.

Це рівність описує основну властивість d-функції. Крім того, вважають, що d-функція дорівнює першої похідної одиничною ступінчастої функції

.

Розглянуті впливу відносять до динамічним, Так як з їх допомогою аналізують динамічні властивості САУ (див. П. 2.14).

Властивості елементів і САУ оцінюють також в сталих режимах. Для цього до системи або елементу прикладають періодичне вплив. Найбільш часто використовують гармонійне вплив виду

x(t) = Xmsinwt.

Такий вибір обумовлений тим, що будь-яка реальна періодичне вплив може бути представлено поруч гармонійних складових (поряд Фур'є):

.

Реакцію лінійної САУ на реальний вплив визначають методом накладення (суперпозиції).

2.1.4 ВременнIе характеристики динамічних ланок і САУ

До временнIм (динамічним) характеристикам САР відносять перехідну и імпульсну Характеристики.

Перехідною характеристикою (функцією) h(t) Називають функцію, яка описує аналітично або графічно зміна вихідної величини ланки або САУ y(t), Викликане поодиноким ступінчастим впливом x(t) = 1 (t) На вході ланки або САУ при нульових початкових умовах. Іншими словами h(t) Є реакція ланки або САУ на одиничне поетапне вплив при нульових початкових умовах. Перехідні характеристики і функції типових ДЗ представлені в таблиці 2.2.

Імпульсною характеристикою (функцією) або ваговій характеристикою ланки або САУ w(t) Називають характеристику, яка описує реакцію ДЗ або САУ на одиничне імпульснавплив на вході ланки або САУ при нульових початкових умовах. Імпульсні характеристики і функції типових ДЗ представлені в таблиці 2.3.

Перехідна та імпульсна характеристики пов'язані між собою співвідношенням

і навпаки

.

Таким чином, вагова функція w(t) Являє собою швидкість зміни перехідної функції h(t).

Функції 1 (t) і  називають типовими (Стандартними) впливами.

Перехідна функція ДЗ або САУ пов'язана з його ПФ інтегральним перетворенням Карсона

 . (2.45)

вагова функція w(t) ДЗ або САУ пов'язана з його ПФ перетворенням Лапласа

 , (2.46)

т. е. ПФ є зображення Лапласа ваговій функції

W(s) = L[w(t)]. (2.47)

Навпаки, вагова функція w(t) Є оригінал ПФ W(s) І визначається за формулою зворотного перетворення Лапласа

 . (2.48)

 Таблиця 2.2 - Перехідні характеристики і функції типових ДЗ
 Тип ланки  Перехідна характеристика ланки  Переходнаяфункція ланки
 П-ланка h(t) = K
 А-ланка першого порядку
 А-ланка другого порядку
 К-ланка
 І-ланка ідеальне h(t) = Kt
 Продовження таблиці 2.2
 Тип ланки  Перехідна характеристика ланки  Переходнаяфункція ланки
 І-ланка реальне
 ПІ-ланка h(t) = K1t + K2
 Д-ланка ідеальне h(t) = Kd (t)
 Д-ланка реальне
 ланка запізнювання h(t) = K1 (t - T)
 Таблиця 2.3 - Імпульсні характеристики і функції типових ДЗ
 Тип ланки  Імпульсна характеристика ланки  Імпульснаяфункція ланки
 П-ланка w(t) = Kd (t)
 А-ланка першого порядку
 А-ланка другого порядку
 К-ланка
 І-ланка ідеальне w(t) = K
 Продовження таблиці 2.3
 Тип ланки  Імпульсна характеристика ланки  Імпульснаяфункція ланки
 І-ланка реальне
 ПІ-ланка w(t) = K1+ K2d (t)
 Д-ланка ідеальне
 Д-ланка реальне
 ланка запізнювання w(t) = Kd (t - T)

Аналогічно визначають перехідну характеристику

 . (2.49)

2.1.5 Частотні характеристики

У тих випадках, коли відбуваються процеси в САУ вивчені слабко, і висновок ДУ, що описують ці САУ, утруднений, в основу математичного моделювання кладуть НЕ рівняння руху, а так звані частотні характеристики (ЧХ) систем.

2.1.5.1 Частотні характеристики динамічних ланок

Якщо на вхід стаціонарного ДЗ (рисунок 2.1) діє гармонійний сигнал

 , (2.50)

то на виході ДЗ встановиться також гармонійної сигнал

 (2.51)

тієї ж кутової частоти w, але зі зміненими амплітудою Ymі початковою фазою y2 (рисунок 2.19). Ці зміни залежать як від властивостей самого ДЗ, так і від кутової частоти вхідного впливу.

Ставлення амплітуд вихідного і вхідного сигналів

і різниця їх фаз

j (w) = y2- y1

є функціями частоти. Їх називають відповідно амплітудно-частотної характеристикою (АЧХ) і фазово-частотної характеристикою (ФЧХ) ланки.

 
 

Ці характеристики показують, що лінійне ДЗ змінює амплітуду і фазу гармонічного сигналу: в сталому режимі амплітуда зменшується або збільшується в A раз, а фазовий зсув зменшується або збільшується на j градусів (радіан) при зміні кутової частоти w. Частотні характеристики залежать від властивостей ДЗ, але не залежать від амплітуди і фази вхідного впливу. АЧХ може служити для оцінки фільтруючих властивостей, а ФЧХ - інерційних властивостей ДЗ.

Частотні характеристики будь-якого елементу САУ пов'язані з його ПФ W(s). Підставляючи у вираз ПФ замість оператора Лапласа s уявну величину jw, отримують комплексну функцію частоти W(jw), яку називають частотної передавальної функцією. Ця функція при будь-якій частоті w є комплексною величиною і тому може бути представлена ??в показовому вигляді

 , (2.52)

де A(W); j (w) - відповідно модуль і аргумент частотної ПФ,

 , (2.53)

 . (2.54)

Отже, модуль і аргумент частотної ПФ визначають відповідно АЧХ і ФЧХ ланки.

Частотна ПФ, як комплексна функція, може бути також представлена ??і в алгебраическом вигляді

 , (2.55)

де U(W); V(W) - функції частоти, звані відповідно речовій (дійсної) і уявної ЧХ.

Вони не мають конкретного фізичного сенсу, але використовуються в розрахунках і визначаються за формулами:

U(W) = ReW(jw); (2.56)

V(W) = ImW(jw). (2.57)

Частотні характеристики пов'язані між собою відомими співвідношеннями (рисунок 2.20):

 (2.58)

и

 (2.59)

Якщо частотна ПФ задана в алгебраїчному вигляді (2.55), перетворення її до показового виду (2.52) здійснюють за формулами (2.58). Співвідношення (2.59) дозволяють здійснити при необхідності зворотне перетворення.

Крім аналітичного опису ЧХ зображують графічно у декартових координатах. Побудова АЧХ і ФЧХ здійснюють за формулами (2.53) і (2.54). На малюнках 2.21 і 2.22 зображені в найзагальнішому вигляді відповідно АЧХ і ФЧХ звичайних інерційних ДЗ або САУ. У таблиці 2.4 наведені АЧХ і ФЧХ типових ДЗ.

 До звичайних ЧХ відносять амплітудно-фазову частотну характеристику (АФЧХ). АФЧХ являє собою годограф частотної ПФ W(jw), т. е. геометричне місце кінців вектора W(jw) при зміні частоти w від 0 до ± ?. Цю характеристику будують на комплексній площині в полярних (A, W) або декартових (U, V) Координатах кінця вектора W(jw) за формулами (2.52), (2.53) або (2.55), (2.56).

типовий годограф W(jw) звичайного інерційного ДЗ показаний на малюнку 2.20 в діапазоні частот - ? позитивним частотам w ? 0. Фазові кути j (w) відраховують від позитивної дійсної півосі (+1) проти руху годинникової стрілки. Інерційні ланки характеризуються негативними фазовими кутами j (w) <0. АФЧХ (годографи) типових ДЗ наведені в таблиці 2.4

2.1.5.2 Логарифмічні частотні характеристики

Логарифмічні амплітудно-частотна (ЛАЧХ) і фазово-частотна (ЛФЧХ) характеристики зручні тим, що невеликим графіком може бути охоплено широке діапазон частот. При цьому однаково наочно зміна частотних властивостей як на малих, так на середніх і високих частотах.

Невеликим графіком охоплюється і широкий діапазон зміни амплітуди при однаковій наочності зміни великих і малих амплітуд.

 Таблиця 2.4 - Частотні характеристики типових ДЗ  
 Продовження таблиці 2.4  
 Продовження таблиці 2.4  

Як приклад на малюнках 2.23 і 2.24 показані АЧХ одного і того ж А-ланки першого порядку (k = 1 і T = 10) в діапазонах частот, що відрізняються тільки на один порядок. За другим графіку практично не можливо судити про властивості досліджуваного ДЗ в області малих частот w <0,4.

 
 

Для порівняння на малюнку 2.25 зображена ЛАЧХ зазначеного А-ланки в діапазоні частот 0 асимптотами. В цьому випадку ЛАЧХ зображують відрізками прямих (асимптот) і називають асимптотической або наближеною ЛАЧХ (рисунок 2.26).

Асимптоти мають негативний і позитивний нахил, кратний 20 дБ на декаду. Для побудови асимптотичної ЛАЧХ проводять прості обчислення, так як будь-яку асимптоту можна побудувати за двома точками. При побудові ЛАЧХ (рисунок 2.25) по осі абсцис відкладають частоту в логарифмічному масштабі, т. Е. Наносять позначки, відповідні lgW, де  - Відносна частота. Однак близько цих відміток вказують частоти w. Відрізок осі абсцис, що відповідає зміні частоти в 10 разів, називають декадою (  ), А відрізок, відповідний зміни частоти в два рази, - октавою (  ). Декада і октава - рівномірні одиниці на осі абсцис. Нуль осі обсцісс лежить зліва в нескінченності, Так як lg0 = - ?. Тому при побудові ЛАЧХ вибирають такий відрізок осі абсцис, який охоплює необхідний діапазон частот (w1, w2), наприклад, смугу пропускання (0, Wп). Як "базової" частоти w2удобно в цьому випадку прийняти частоту зрізу, т. Е. W2 = Wср (рисунок 2.21). По осі ординат ЛАЧХ відкладають в рівномірному масштабі в децибеллах (ДБ) логарифмічну амплітуду

L(W) = 20lgA(W). (2.60)

 
 

Децибел є одиницею логарифмічною відносної величини. Зміна ставлення двох амплітуд в 10 разів (  ) Відповідає зміні посилення на 20 дБ (див. Таблицю 2.5).

 Таблиця 2.5
A(W)  0,01  0,10  1,0  1,12  1,26  1,41  1,80  3,60
L(W), дБ  - 40  - 20

ЛФЧХ має таку ж вісь абсцис, що і ЛАЧХ. По осі ординат ЛФЧХ відкладають в рівномірному масштабі кут фазового зсуву j. Осі абсцис ЛФЧХ і ЛАЧХ зазвичай поєднують, щоб зміни фази можна було зіставляти зі змінами амплітуди.

Точні і наближені (асимптотические) ЛАЧХ типових ДЗ наведені в таблиці 2.6.

 Таблиця 2.6 - Логарифмічні частотні характеристики типових ДЗ
 Тип ланки  Логарифмічна частотна характеристика ланки  Асимптотична ЛАЧХ ланки
 П-ланка
 А-ланка першого порядку
 А-ланка другого порядку
 К-ланка
 І-ланка ідеальне
 Продовження таблиці 2.6
 Тип ланки  Логарифмічна частотна характеристика ланки  Асимптотична ЛАЧХ ланки
 І-ланка реальне
 ПІ-ланка
 Д-ланка ідеальне
 Д-ланка реальне

В англомовній технічній літературі і сучасних математичних системах (MATLAB, Maple та ін.) ЛАЧХ і ЛФЧХ називають діаграмами Боде (Bode diagramms).

Перетворення форм представлення моделей

2.3.1 Перетворення рівнянь стану до канонічного вигляду

рівняння стану довільного виду (2.76) - (2.83), як правило, отримують в результаті перетворень вихідних рівнянь балансу енергії. Тому змінні стану  є фізичними величинами. В цьому випадку простір станів прямо пов'язане з фізичною реальністю. Однак в деяких випадках корисно ввести змінні стану X, Які формально визначаються як лінійна комбінація фізичних змінних стану. Назване перетворення виконують для отримання канонічних форм рівнянь стану, що полегшує виявлення деяких властивостей ОУ або САУ або дозволяє створити ММ з меншою кількістю параметрів.

Сутність аналізованого перетворення висловлюють рівністю

 , (2.98)

де T - Неособо квадратна матриця [n ? n].

Кожному неособо перетворенню відповідає зворотне перетворення

.

Якщо рівняння стану САУ в "довільних" змінних мали вигляд (2.83):

то в нових змінних отримують рівняння

 (2.99)

Таким чином, завдання переходу від вихідних (довільних) рівнянь стану (2.83) до рівнянь заданої канонічної форми (2.99) зводиться до визначення невироджених [n ? n] матриці T. Структура матриці перетворення повинна бути така, щоб при заданих матрицях A, B и C отримати рівняння стану необхідного канонічного виду з матрицями

 (2.100)

Не кожна матриця може бути приведена до заданої канонічної формі (про можливість такого перетворення - см. / 3 /).

2.3.2 Алгоритм приведення рівнянь стану до першого

керованого поданням

Для приведення вихідних рівнянь стану САУ довільного виду (2.83) до першого керованого поданням (2.85) і (2.86) матрицю перетворення T приймають рівною зворотного матриці керованості вихідної системи, т. е.

 , (2.101)

де  - Матриця керованості вихідної системи.

В цьому випадку система матричних рівнянь (2.100) набуває вигляду

 (2.102)

Визначення матриці керованості У і правила її обчислення дані в п. 2.4.4.

2.3.3 Алгоритм приведення рівнянь стану до другого

керованого поданням

Для приведення вихідних рівнянь стану довільного виду (2.83) до другого керованого поданням (УКП) приймають матрицю перетворення T наступного виду / 20 /:

,

де M - Матриця виду

.

2.3.4 Визначення рівнянь стану за основною

передавальної функції

Завдання визначення рівнянь стану по основній ПФ системи управління в теорії диференціальних рівнянь відома як задача приведення лінійного рівняння n-го порядку до нормальної форми Коші. Остання коротко розглянута спільно з чисельними методами в п. 2.1.7.4. Деяка відмінність завдань вбачають в тому, що в ТАУ вирішують неоднорідні ОДУ, що містять не тільки похідні вихідний, але і вхідний величин. Таке рівняння в разі одновимірної САУ має вигляд

 , (2.103)

причому m < n. Операційним поданням даного рівняння є ПФ системи

 . (2.104)

Даною ПФ відповідає безліч різних рівнянь стану, і поставлена ??вище завдання вирішується неоднозначно. Вибір канонічного або іншого подання рівнянь стану обумовлений специфікою дослідження.

Один з можливих варіантів відрізняється необхідністю прийняти при моделюванні деякі фізичні величини в якості змінних стану. У цьому випадку структура матриць и  виявляється заданої і завдання зводиться до знаходження деяких їх елементів. Цю задачу вирішують методом невизначених коефіцієнтів.

Другий з можливих варіантів відрізняється від першого відсутністю будь-яких вимог до фізичного змісту змінних стану. Вибір канонічного подання рівнянь стану здійснюють через інші міркування. При цьому спочатку вирішують проблему мінімальної реалізації, Яка полягає в пошуку такої форми рівнянь стану, яка забезпечує мінімально можливий порядок системи (2.99). В даному випадку одновимірної САУ з ПФ виду (2.104) шукані рівняння стану повинні бути n-го порядку. У загальному випадку мінімальна реалізація відповідає невироджених (повністю керованим і повністю контрольоване) системам (див. П. 2.4.4). Після вирішення проблеми мінімальної реалізації вибирають канонічне уявлення рівнянь стану. Причому вибір канонічної форми полегшують відомі рекомендації. Наприклад, перше кероване уявлення доцільно використовувати при вирішенні завдань лінійного оптимального управління, а також при вирішенні деяких завдань фільтрації і т. Д. / 20 /.

Після вирішення проблеми мінімальної реалізації рівнянь стану і вибору канонічного подання визначають форму ММ. Остання може мати вигляд:

- Системи диференціальних рівнянь (2.87), (2.90) - (2.94), (2.96);

- Матричних рівнянь (2.99);

- Структурної алгоритмічної схеми (малюнки 2.31-2.36).

 І ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ |  Завдання і методи синтезу САУ

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати