Головна

Операції над множинами

  1.  Активно-пасивні операції банків
  2.  Активні банківські операції (факторингові, банківська гарантія)
  3.  Активні операції банків
  4.  Активні операції комерційних банків та їх характеристика
  5.  Алгебраїчні операції.
  6.  арбітражні операції
  7.  Орендні і лізингові операції

З елементів двох і більше множин можна утворювати нові множини.

1. Перетин множин.

визначення. перетином множин А и В називається множина, що містить ті і тільки ті елементи, які належать множинам А и В одночасно (позначають А C В).

Дане визначення можна записати в такому вигляді:

А C В = {х?х I А U х I В}.

На діаграмі перетин множин А и В зображено заштрихованої областю.

 А В

 
 


якщо безлічі А и В не мають спільних елементів, то кажуть, що множини не перетинаються, і пишуть А C В = ?.

Якщо елементи множин А и В перераховані, то щоб знайти їх перетин, досить перерахувати елементи, які одночасно належать множині А і безлічі В, Тобто їх спільні елементи.

нехай А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тоді А C В = {4, 5}.

якщо безлічі А и В задані зазначенням їх характеристичних властивостей, то в їх перетин увійдуть тільки ті елементи, які володіють однією і іншою властивістю одночасно.

Наприклад, якщо безліч А - Безліч однозначних чисел, В - Безліч натуральних чисел, що діляться на 5, то безлічі А C В належать натуральні числа, що діляться на 5.

2. Об'єднання множин.

визначення. об'єднанням множин А и В називається множина, що містить ті і тільки ті елементи, які належать хоча б одній з даних множин (позначають А E В).

Дане визначення можна записати в такому вигляді:

А E В = {х?х I А U х I В}.

 На діаграмі перетин множин А и В зображено заштрихованої областю.

 А В

нехай А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тоді А E В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Розглянемо випадок, коли безлічі задані зазначенням характеристичного властивості. нехай А - Безліч чисел, кратних 2; В - Безліч чисел, кратних 3. Тоді об'єднанню цих множин належатимуть числа, кратні 2 або 3.

Поняття перетину і об'єднання множин можна узагальнити на будь-яке кінцеве число множин.

3. Різниця множин.

визначення. різницею множин А и В називається множина, що містить ті і тільки ті елементи, які належать множині А і не належать множині В (позначають А \ В).

Дане визначення можна записати так:

А \ В = {х?х I А U х I В}.

На діаграмі перетин множин А и В зображено заштрихованої областю.

 А В

якщо А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тоді А \ В = {1, 2, 3}.

Часто доводиться виконувати віднімання множин в разі, коли одне з множин є підмножиною іншого. якщо В I А, То різниця А \ В називають доповненням множини В до безлічі А (позначають  ).

безліч  на малюнку показано штрихуванням.

А

 
 


визначення. доповненням безлічі А до універсального називається безліч, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать універсального, але не належать множині А (позначають  ).

Наприклад, якщо I - Безліч цифр, а безліч А = {1, 2, 3, 4, 5}, то  = {6, 7, 8, 9, 0}.

Якщо безлічі задані зазначенням характеристичного властивості і В I А, То безліч  за допомогою характеристичного властивості, загальний вигляд якого «х I А U х I В». Так, якщо А безліч натуральних чисел, кратних 3, а В - Безліч натуральних чисел, кратних 9, то  - Це безліч, що містить натуральні числа, кратні 3, але не кратні 9.

Ми розглянули різні операції над множинами. Часто для доказу рівності множин буває необхідно знати, в якому випадку елемент належить тому чи іншому безлічі. Для зручності складемо таблицю.

х I А C В U х I А U х I В х I А C В U х I А U х I В
х I А E В U х I А U х I В х I А E В U х I А U х I В
х I А \ В U х I А U х I В х I А \ В U х I А U х I В
х I U х I А х I U х IА

З'ясуємо, який порядок виконання дій над множинами.

Перетин множин - більш «сильна» операція, ніж об'єднання, тому в вираженні А E В C С спочатку потрібно знайти перетин множин В и С, А потім знайти об'єднання безлічі А з отриманим безліччю.

Домовилися вважати, що перетин - більш «сильна» операція, ніж віднімання, тому у виразі А \ В C С спочатку знаходять перетин множин В и С, А потім отримане безліч віднімають з безлічі А.

Об'єднання і віднімання множин вважають рівноправними, тому їх виконують в тому порядку, в якому вони записані в вираженні.

 




 Глава 1. Висловлювання |  Висловлювання та операції над ними. рівносильні висловлювання |  Закони алгебри висловлювань |  Поняття множини. Елемент множини. порожня множина |  Способи завдання множин |  Поняття розбиття множини на класи |  Упорядкована пара. Декартово твір двох множин |  Відповідність між елементами множин. Способи завдання відповідностей |  Взаємно однозначна відповідність |  Рівнопотужності безлічі. Рахункові і незліченні безлічі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати