На головну

Глава II. Аналітична геометрія на площині і в просторі.

  1.  I глава. вологість повітря
  2.  II глава. Вологість повітря в фізичному понятті.
  3.  II. Глава IIОснови теорії попиту та пропозиції
  4.  III глава. Вологість в лазнях і саунах.
  5.  IV глава. Вологість в бібліотеках.
  6.  V1: Аналітична діяльність на підприємстві
  7.  Аналізу цієї економіки і присвячена дана глава.

§1. Декартова система координат.

Визначення 1. Три взаємно перпендикулярні числові осі, які мають загальне початок відліку і однакові масштаби, називаються декартовой системою координат даного простору.

Координатні осі зазвичай позначають літерами x, y и z або символами OX, OY и OZ . Будь-яка

крапка М простору знаходиться у взаємно однозначній відповідності з множиною впорядкованих трійок дійсних чисел - координатами своїх ортогональних проекцій

на осях х, у и z, Які називаються координатами самої точки М: М(Мх,Му,Мz).

В якості базису векторного простору вибираються орт i, j и k, Сонаправленнимі координатним осях x, y и z відповідно (рис.12). Розглянемо вектор .

Вектор з початком в точці О і кінцем в точці М називається радіус вектор точки М.

Нехай його координати в даному базисі рівні rx,ry и rz , Т. Е.

 
 


z З визначення суми векторів (§2) відразу випливає, що

вектор  . У свою чергу, кожне

Mz з доданків правої частини дорівнює проекції вектора r на

М координатну вісь (§3), помножену на відповідний

k r базисний орт: и

О j My y  . В силу єдиності розкладання

i вектора по базису (§4, Т1) маємо наступний результат:

Мх

x рис.1

У декартовій системі координат координати вектора в ортонормированном базисі рівні

його проекція на координатні осі.

§2.Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

У цьому параграфі будуть розглянуті три завдання: обчислення координат вектора  за координатами точок А и В, Обчислення довжини відрізка і поділ відрізка в даному відношенні.

1. Обчислення координат вектора .

В нехай  - Довільний вектор простору (рис.2). точки А '

М и В ' з координатами Ах и Вх - Проекції точок А и В на вісь ОХ.

А Координати вектора дорівнюють його проекція на координатні осі (§1).

Отже, його перша координата дорівнює Вх ? Ах (Гл.I, §3, св.3).

А 'М' В 'ОХ Аналогічний результат виходить для інших координатних

Рис.2 осей. Таким чином: .

2. Обчислення довжини відрізка.

Так як довжина відрізка АВ (|AB|) Дорівнює  , То |AB| =

(Гл.1, §7).

3. Розподіл відрізка в даному відношенні.

Розглянемо т.  (Рис.2). Потрібно визначити число  , де АМ и МВ - Величини спрямованих відрізків  , Зване ставленням, в якому т. М ділить

спрямований відрізок  . З курсу елементарної геометрії і отриманих результатів маємо:  . Звідси легко отримуємо координати точки М:

.

зауваження.

1. Найбільш важливим окремим випадком є поділ відрізка навпіл:

2. Отриманий результат зберігається для будь-якого розташування точок, що лежать

на одній прямій. У разі, коли т.  величина ? буде негативною.

§2. Аналітична геометрія на площині.

В цьому і кількох наступних параграфах будуть розглянуті основні завдання аналітичної геометрії на площині.

Нехай дана деяка фіксована координатна площину, Т. Е. Площину, на якій

задана декартова система координат XOY і ортонормованій базис {i, j}, Орт якого сонаправлени координатним осях х и у відповідно.

Будь-яка точка площини визначається двома координатами - координатами своїх ортогональних проекцій на ці осі: М(х, у).

Будь-вектор площини так само визначається двома координатами - коефіцієнтами розкладання по базису або, що те ж саме, своїми проекціями на координатні осі: а = (ах , ау).

Лінія на площині визначається як геометричне місце точок площині (ГМТ), що задовольняють деякому геометричному або аналітичного умові. Геометричне умова необхідно перевести в аналітичне (геометрія - аналітична!), А у аналітичного

- З'ясувати геометричний сенс (аналітична геометрія). Аналітичним завданням лінії є рівняння з двома змінними: F(x, y) = 0, т. Е. Лінія на площині визначається як

геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють даному рівнянню.

Іноді лінія задається в параметричної формі:

Зауваження. В математичному аналізі рівняння F(x, y) = 0 називають неявним завданням функції

(окремий випадок y = f (x) Називається явним завданням), т. Е. Використовуються поняття функції і аргументу. В аналітичній геометрії, взагалі кажучи, змінні х и у вважають рівноправними.

§3. Пряма на площині.

визначимо пряму l на площині таким чином:

Нехай задані довільна фіксована т. М0(х0,у0)  і довільний фіксований

ненульовий вектор  , Перпендикулярний цій прямій, який називається

нормальним вектором прямої або просто нормаллю.

Прямої, що проходить через т. М0 , З даними нормальним вектором  називається геометричне місце кінців векторів на площині, що мають початок в т. М0 і ортогональних вектору  (Рис.3).

Використовуючи дане визначення, легко написати аналітичне завдання або рівняння цієї прямої.

у Нехай т. М(х,у) - Довільна точка прямої.

 З умови відразу слід:

М0

 М х Отже,  - Рівняння прямої, що проходить

Рис.3 через точку (х0,у0) І перпендикулярній вектору

Якщо позначити вираз - Ах0 ? Ву0 через С , То отримаємо

 загальне рівняння прямої на площині:

§4.Спеціальні види рівняння прямої.

I. Рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Добре відоме рівняння y = k x + b, де k = tg? - Тангенс кута нахилу прямої до осі ОХ ,

а b - величина відрізка від початку координат до точки перетину прямої з віссю OY .

II. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Так як пряма повністю визначається двома точками, природно написати відповідне рівняння. Нехай дано дві різні точки, що належать прямій l:

 . В цьому випадку  . Звідси:

 - Рівняння прямої через дві точки.

III. Канонічне і параметричні рівняння прямої.

Будь-вектор, колінеарний прямій l називається напрямних вектором прямий.

(Зокрема, вектор  (Пункт II) - направляючий) Якщо дана точка на

прямий і спрямовує вектор  , То останнє рівняння можна переписати у вигляді:

? канонічне рівняння прямої. Якщо отриману пропорцію прирівняти

до параметру t , То отримаємо параметричні рівняння прямої: .

IV. Рівняння прямої у відрізках.

Нехай відомі точки перетину прямої з осями координат: .

Звідси: рівняння прямої в відрізках.

§5.Основні завдання, пов'язані з прямою.

I. Кут між прямими.

Розглянемо дві прямі l1 и l2 . Якщо ці прямі задані своїми загальними рівняннями, то

косинус кута між ними може бути знайдений як косинус кута між їх нормалями або напрямними векторами за допомогою скалярного твори: .

Зауваження. Спрямовує вектор з нормального (і навпаки) легко отримати наступним чином:

У разі завдання прямих рівняннями з кутовим коефіцієнтом, маємо співвідношення:

II. Умови паралельності і ортогональності двох прямих.

III. Відстань від точки до прямої.

Обчислимо відстань від довільної точки площини M * (x * , y * ) До прямої l: Ax + By + C = 0.

 нехай М(х,у) - Довільна точка прямої,  - Нормаль (рис.4).

 Відстань від т.M *  до прямої, очевидно, так само модулю проекції

*  вектора  на вектор нормалі:

М

Т. к. Точка  , то Ах + Ву = ? С і остаточно отримуємо:

рис.4

зауваження. знак вираження Ах * + Ву * + З змінюється при переході точки через пряму.

§6. Алгебраїчні лінії на площині.

Лінії, що описуються алгебраїчним рівнянням n -го порядку від двох змінних, називають лініями або кривими n -го порядку на площині.

Лінії 1 - го порядку описуються рівнянням Ах + Ву + С = 0 ( ) Представляють собою прямі.

Рівняння 2 - го порядку:  , ( ) називають

кривими 2 - го порядку і являють собою ціле сімейство плоских кривих.

§7.окружність.

Визначення. окружність - Геометричне місце точок площині, рівновіддалених від

заданої фіксованої точки площини, яку називають центром кола. відстань від

точок кола до центру - радіус кола.

Якщо центр кола знаходиться в т. М0(х0,у0), А радіус дорівнює r, То рівняння кола може бути написано в наступному вигляді:

§8.еліпс.

Визначення.еліпсом називається геометричне місце точок площині, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок площині, званих фокусами еліпса, є величина постійна.

Для виведення рівняння еліпса виберемо фокуси в точках F1(-c, 0) і F2(c, 0) (c > 0), а суму відстаней позначимо через 2а (2a>2 c). нехай М(х,у) - Довільна точка еліпса. тоді:

y

b М

?a F1 F2 a x позначивши a2 ? c2 = b2 , остаточно

?b отримаємо:

рис.5

числа a и b називаються півосями еліпса (точки перетину еліпса з осями координат мають своїми координатами числа а и b (Рис.5)).

Відношення відстані між фокусами еліпса до довжини великий осі називається ексцентриситетом еліпса:  Ексцентриситет характеризує форму

еліпса. при ? = 0 еліпс перетворюється в коло, при ? = 1 - вироджується у відрізок.

Написане вище рівняння називається канонічним рівнянням еліпса. (Взагалі, в геометрії словами канонічне рівняння, зазвичай, називають рівняння, що містить в явному вигляді всі основні геометричні характеристики об'єкта. Див. Наприклад, канонічне рівняння прямої (§4))

Це рівняння є окремим випадком рівняння 2 - го порядку (§6). Неважко бачити,

що будь-яке рівняння  являє собою еліпс за умови

AC> 0. (Більш загальні умови будуть виведені пізніше)

приклад.  - еліпс

з центром в т. (-1,2) і півосями 2 і 4. F1(-1,  ) і F2(-1,  ).

зауваження. 1) Фокуси еліпса завжди розташовані на великих півосях.

2) Якщо права частина = 0, то вироджених еліпс (точка), якщо = -1 - уявний еліпс.

§9.гіпербола.

Визначення.гіперболою називається геометричне місце точок площині, різниця відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок площині, званих фокусами гіперболи, є величина постійна і не рівна нулю.

Знову виберемо фокуси в точках F1(-c, 0) і F2(c, 0) (c > 0), а модуль різниці відстаней позначимо через 2а (2a < 2 c). Для довільної точки гіперболи М(х,у) Маємо:

Після проведення елементарних перетворень, аналогічних попереднім, одержимо

канонічне рівняння гіперболи:

y З рівняння відразу випливає, що

b при  гіпербола має асимптоти .

а F2 x Ексцентриситет гіперболи визначається так само, як і

у еліпса, і дорівнює

рис.6

зауваження. 1) При дослідженні рівняння 2 - го порядку можуть бути отримані рівняння

наступного виду:  Центр таких гіпербол знаходиться в точці (х0,у0), А

-1 В правій частині означає, що гіпербола повернута навколо початку координат на 900 .

2) Рівняння  описує дві пересічні прямі.

3) «Шкільне» рівняння гіперболи  являє собою окремий випадок, коли вісь

гіперболи повернута на 450, А асимптотами є координатні осі.

приклад. Визначити вид і характеристики кривої:

§10.парабола.

Визначення.параболою називається геометричне місце точок площині, відстань від кожної з яких до фіксованої точки площини, яку називають фокусом параболи, дорівнює відстані до фіксованої прямої, званої директоркою параболи.

у Нехай фокус має координати (p/ 2,0): F(p /2,0), а директриса

записується рівнянням х = -р /2. Відстань між фокусом

-M(x,y) І директоркою одно р - параметру параболи (рис.7).

Точки параболи задовольняють рівняння:

-р /2 F х

Після простих перетворень отримаємо канонічне рівняння

параболи: у2 = 2рх.

рис.7

§11.Криві другого порядку - висновок.

У попередніх параграфах були розглянуті три виду кривих другого порядку: еліпси,

гіперболи і параболи, а також їх приватні та вироджені випадки. Два перших виду називають

центральними кривими. Параболи - не центральною. Можна довести (це буде зроблено

пізніше), що цими трьома видами вичерпуються Усе криві другого порядку. З прикладу §8 видно, що складові 1 - го ступеня в рівнянні кривої (§6) впливають тільки на паралельний перенос кривих. Надалі буде доведено, що доданок 2ВГУ визначає поворот

кривої навколо початку координат.

§12. Аналітична геометрія в просторі.

Поверхні в просторі задаються або рівнянням з трьома змінними:

або в параметричної формі:

Лінії в просторі задаються перетином двох поверхонь, або параметрично:

т. е.

При вирішенні завдань в просторі особливо важливо знати геометричний сенс параметрів, що входять в рівняння.

§13.Площина в просторі.

Визначення. Площиною називається геометричне місце кінців векторів, що мають спільний початок і ортогональних даному ненульових векторів, званому нормальним вектором площини.

Для виведення рівняння площини Р зафіксуємо т.  і нормальний вектор

 (Рис.8). тоді  . Звідси отримуємо:

 - Рівняння площини, що проходить через

т.  і ортогональної вектору .

Якщо розкрити дужки і позначити  , То отримаємо загальне рівняння площини:

зауваження. І в загальному рівняння площині коефіцієнти А, В и С є координатами

вектора нормалі.

§14.Спеціальні випадки рівняння площини.

I. Рівняння площини, що проходить через три точки.

Нехай тт.  Необхідною і достатньою умовою комплекту. М тій же площині є компланарність векторів  У свою чергу, умова компланарності (гл.I, §11, св.2) призводить до наступного рівняння:

II. Рівняння площини у відрізках.

Візьмемо в якості попередніх точок точки перетину з осями координат:

z

c Рівняння площини набуде вигляду:

- М0

b y

a

х рис.8

§15. Основні завдання, пов'язані з площиною.

I. Умови паралельності, перпендикулярності, кут між площинами.

Дано дві площини:

Всі перераховані умови випливають з геометричного сенсу коефіцієнтів (§13).

II. Відстань від точки до площини.

Обчислюється так само, як у випадку прямої на площині (§5). нехай  довільна точка простору. Відстань від точки до площини дорівнює модулю проекції

Після простих перетворень отримаємо

(#) III. Зв'язка і пучок площин.

Определеніе1. Безліч площин, що проходять через єдину спільну точку М0 , називається зв'язкою площин з центром в т. М0 (Позначення - S(M0)).

Розглянемо три площини, що належать S(M0):

 .......................... (*)

Теорема. рівняння  описує зв'язку площин з центром в даній точці.

{Потрібно довести 2 твердження: 1)  2) .

1) Так як всі складові Q дорівнюють нулю в т. М0 , То і Q = 0 в цій точці.

2) Так як СЛАР (*) має єдине рішення (x0,y0,z0), То з правила Крамера слід,

що визначник системи відмінний від нуля, т. е. вектори  лінійно незалежні і

 . значення D = D *  , Т. К. Все площині проходять через т. М0 }

Определеніе2. . Безліч площин, що проходять через загальну пряму - вісь площин,

називаєтьсяпучком площин.

Теорема.Рівняння пучка площин має вигляд:

,за умови

§16. Пряма в просторі.

Найбільш простим завданням прямої в просторі є її завдання, як лінії перетину двох площин: .

(Природно припускати, що площині не збігаються і не паралельні)

Однак, таке завдання має великий недолік: воно не містить в явному вигляді жодної геометричній характеристики прямої. зручніше користуватися канонічним рівнянням прямої, в якому вона визначається як геометричне місце кінців векторів, що мають спільний початок і колінеарних даному ненульових векторів - направляючої вектору прямий.

Якщо позначити будь-яку фіксовану точку прямої через М0 , А спрямовує вектор  , То для довільної точки прямої М отримаємо співвідношення:

? канонічне рівняння прямої в просторі. (Див. §4, п.III)

зауваження. Насправді, канонічне рівняння являє собою систему двох лінійних рівнянь з трьома змінними, т. Е. Лінію перетину двох площин. Але, по - перше, це

особливі площині (паралельні координатним осях) і, по - друге, в запису системи геометричні характеристики прямої фігурують в явному вигляді.

приклад. Перейти до канонічного завданням:

{Покладемо z = 0. Тоді x = 2, y = - 1;  . Звідси: }

Від канонічного рівняння легко перейти до параметричного завдання. Прирівняємо отриману пропорцію до нової змінної і висловимо через неї змінні x, y и z:

приклад. Знайти точку перетину прямої  з площиною x - y +2z - 11 = 0.

{x = 1 + 2t, y = -3t, z = -2 + t > 7t - 14 = 0 > t = 2 > (5, -6, 0)}

Рівняння прямої через дві точки можна написати, взявши в якості направляючого вектора вектор :

(#) У деяких завданнях зручно користуватися векторних поданням прямий. У цьому випадку пряма задається радіус - вектором (§1) поточної точки прямої.

 (Рис.9)

тут:

M r0 - Радіус - вектор т. М0

M0 l = (p, q, r) - Спрямовує вектор прямої.

рис.9

§17.Основні завдання.

Дві завдання, пов'язані з прямою були вже розглянуті на прикладах в попередньому параграфі.

Завдання, пов'язані з обчисленням кутів між прямими, прямою і площиною, включаючи умови ортогональності і паралельності, вирішуються з використанням напрямних векторів прямих і нормальних векторів площин. Так, наприклад, синус кута між прямою і площиною буде дорівнює модулю косинусу кута між відповідними напрямних і нормальним векторами:

Умови ортогональності і паралельності прямої і площини записуються наступним чином:

Розглянемо дві прямі з направляючими векторами  і проходять через точки М1 и М2 відповідно. Прямі можуть перетинатися, бути паралельними або схрещуватися. У двох перших випадках мішаний добуток  Якщо ж прямі схрещуються, то

 Обидва умови є необхідними і достатніми. Так як відстань між перехресними прямими дорівнює відстані між паралельними площинами, в яких вони лежать, то воно може бути знайдено за формулою  - Обсяг паралелепіпеда

поділений на площу підстави.

приклад. Як розташовані прямі и ?

Якщо вони перетинаються - знайти загальну точку. Якщо немає - відстань між ними.

{  прямі схрещуються.

}

§18.Поверхні в просторі.

Загальна постановка задач в просторі була дана в §12. Розглянемо тепер кілька спеціальних завдань.

I. Циліндричні поверхні.

Розглянемо рівняння з двома змінними в просторі : F(x,y) = 0. На площині XOY

воно описує деяку криву. У просторі кожній точці (x * ,y * ) Цієї кривої буде відповідати пряма  , Т. Е. Пряма, що проходить через точку (x * ,y * , 0) і паралельна осі OZ. Поверхня, утворена безліччю всіх таких прямих, називається циліндром с направляючої F(x,y) = 0 в площині XOY и утворює паралельної осі OZ.

Аналогічно розглядаються циліндри, що утворюють яких паралельні іншим координатним осях: F(x, z) = 0 і F(y, z) = 0.

зауваження. Природно, існують похилі циліндри, в рівняння яких входять всі змінні в явному вигляді. Однак, повинен існувати такий поворот системи координат, після якого одна з змінних буде відсутній в запису рівняння.

приклади. 1)  - Прямий круговий циліндр радіуса r і віссю OZ.

2) ? еліптичний циліндр з котра утворює, паралельної осі OY.

3) у2 = 8z ? параболічний циліндр з котра утворює, паралельної осі .

§19. поверхня обертання.

У цьому параграфі будуть розглянуті поверхні, утворені обертанням плоскої кривої навколо однієї з координатних осей. Для визначеності, візьмемо криву F(y, z) = 0 в площині YOZ і вісь обертання ОZ . Зафіксуємо довільне значення z *  і висловимо з рівняння F(y, z * ) = 0 відповідне значення у = f(z * ). При обертанні, в площині z = z *  вийде окружність

x2 + y2 = f 2(z * ). Рівняння самої поверхні обертання матиме вигляд x2 + y2 = f 2(z) (Рис.10).

 Необхідно відзначити, що аналітичне рішення рівняння

z F(y, z * ) = 0 щодо у зовсім не обов'язково, тим більше,

F(y, z) = 0 що воно може бути досить трудомістким, або неможливим.

Тому, рівняння поверхні обертання в даному випадку

записується в такий спосіб:

y

x

рис.10

Правило запису рівняння поверхні обертання плоскої кривої навколо координатної осіПоверхня обертання плоскої кривої навколо координатної осі може бути отримана заміною другою змінною величиною в рівнянні кривої на квадратний корінь з суми квадратів цієї та відсутньої змінних (в розглянутому випадку  ).

приклад. Написати рівняння поверхонь, отриманих в результаті обертання кривої у2 = 6х навколо осей ОХ и OY. {

}

зауваження. Якщо в рівнянні деякої поверхні дві змінні присутні тільки

в зв'язці як сума квадратів, то ця поверхня є поверхнею обертання навколо координатної осі третьої змінної.

§20.Проекція лінії перетину двох поверхонь на координатну площину.

Однією з найважливіших завдань дослідження взаємного розташування двох поверхонь є визначення лінії їх перетину. Формально, лінія перетину записується як система двох рівнянь з трьома змінними (див. §12 і §16):  . Для аналізу лінії перетину виключимо в даній системі одну з змінних, наприклад z. В результаті вийде одне рівняння з двома невідомими: f(x,y) = 0, яке можна сприймати як криву на площині XOY. Будь-якій точці цієї кривої (x * ,y * ), Буде відповідати деякий

значення z * , При якому точка (x * ,y * , z * ) Належить лінії перетину поверхонь. Отже, пряма паралельна осі OZ, Що проходить через точку лінії перетину поверхонь, на площині XOY перетинає криву f(x,y) = 0. Безліч таких прямих утворюють циліндр з направляючої f(x,y) = 0 в площині XOY і утворює паралельної осі OZ (§18). Таким чином, доведено наступне твердження:

Якщо виключити одну із змінних з рівнянь двох поверхонь, то вийде рівняння проекції лінії перетину цих поверхонь на координатну площину двох, що залишилися змінних.

приклад. Знайти проекцію лінії перетину поверхонь и  на

площину YOZ. {Виключимо х:  гіпербола. З рівняння першої поверхні (круговий циліндр) слід, що  верхня гілка, }

§21. Поверхні другого порядку. Дослідження методом перетинів.

Загальний вигляд алгебраїчної поверхні другого порядку являє собою многочлен другого ступеня щодо трьох змінних:

Одним з найбільш продуктивних методів вивчення поверхонь в просторі є метод перетинів. Він полягає в дослідженні кривих, які утворюються в перетинах поверхні площинами, паралельними координатним. Для цього достатньо зафіксувати одну з змінних в рівнянні поверхні і отримати, тим самим, рівняння кривої в площині, паралельній двом іншим координатним осях. Цей метод буде використаний в наступних параграфах при дослідженні поверхонь другого порядку. При цьому будуть розглядатися тільки рівняння, безпосередньо зводяться до канонічним.

§22.еліпсоїд.

еліпсоїдом називається поверхню, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням  , коефіцієнти А, В и С - Числа одного знака, а L має знак їм протилежний.

При цих умовах рівняння еліпсоїда може бути написано в канонічному вигляді:

 де .

Для визначення форми еліпсоїда застосуємо метод перетинів. нехай z = h фіксоване.

 Перетин еліпсоїда площиною z = h матиме вигляд  - Еліпс з даними півосями. Звідси випливають кілька висновків:

1)  ; при h = c еліпс вироджується в точку.

2) Найбільші піввісь еліпс матиме при h = 0.

3) Аналогічна картина матиме місце в перетинах

x = h або y = h. (Рис.11)

рис.11

Як і в випадку еліпса, числа a, b и c називаються півосями еліпсоїда. Якщо вони всі різні, то еліпсоїд називається тривісним. Якщо дві півосі дорівнюють один одному, то ми отримаємо еліпсоїд обертання (§19). У разі рівності всіх піввісь - маємо сферу: .

§23.Гіперболоїди і конус.

гіперболоїдом називається поверхню, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням  , Де коефіцієнти А, В и С - Числа різних знаків, а L - Відмінно від нуля. Для визначеності будемо вважати, що А и В більше нуля, а

С - менше нуля: A> 0, B> 0, C < 0. Залежно від знака L маємо два типи гіперболоїдів.

I. L <0. Після стандартних перетворень (§22) отримаємо рівняння: .

Знову скористаємося методом перетинів.

площині z = h поверхню перетинає по еліпсах .

Зі збільшенням h (або z) Півосі еліпса збільшуються. Мінімальні піввісь будуть при

h = 0, т. Е. В площині ХОY.

У площинах x = h (або y = h ) Виходять гіперболи  . (Рис.12)

при h < a або h > a (Для y - h < b або h > b ) Гіперболи орієнтовані протилежно.

при h = a (h = b) Перетинами є прямі. Це свідчить про наявність у однополосного гиперболоида прямолінійних утворюють.

при a = b маємо гіперболоїд обертання.

Поверхня, що описується рівнянням  називається односмуговий гіперболоїд.

приклад. Довести, що т. (5,4,2) належить Гіперболоїд  і знайти прямолінійні утворюючі, що проходять через цю точку. {1) 1 + 1-1 = 1, 2) l:x = pt +5,y = qt +4,z = rt +2

Підставами в рівняння:  прирівняємо коефіцієнти нулю і покладемо r = 1  і друга утворює

}

II. L> 0. У цьому випадку рівняння матиме вигляд: .

при z = h маємо  , Звідки відразу слід обмеження на h і, тим самим, на величину z: . У перетинах, як і в попередньому випадку будуть еліпси. при z = ± 1 еліпси вироджуються в точки (0,0, ± 1).

при x = h або y = h в перетинах знову вийдуть гіперболи, але на відміну від однополостного гиперболоида який не міняє орієнтацію в залежності від величини h (Ріс.12б).

при a = b отримаємо гіперболоїд обертання.

поверхня  називається двуполостной гіперболоїдом.

II. Нехай тепер при тих же обмеженнях на А, В и З L = 0. Рівняння прийме вигляд:

перетину площинами z = h знову будуть еліпсами з збільшуються півосями при зростанні модуля z, А в перетинах x = h або y = h - Пересічні прямі (ріс.12в).

Такі поверхні називаються конічними або конусами.

§24.параболоїд.

параболоїдом називається поверхню, яка в деякій декартовій системі координат

визначається рівнянням  , Де коефіцієнти А, В и K нерівні нулю.

Можливі два випадки: AB> 0 і AB < 0. Для визначеності будемо вважати A> 0, K < 0.

I. A > 0, B > 0, K <0. Рівняння приводиться до вигляду .

У перетинах z = h (h > 0) отримуємо еліпси  , Піввісь яких ростуть із зростанням h.

У перетинах x = h и y = h - параболи и  (Рис.13).

поверхня  називається еліптичних параболоїдом.

z z

х

y y

x

рис.13 ріс.13б

II. A > 0, B <0, K <0. Рівняння має вигляд: ? гіперболічний параболоїд.

У перетинах z = h виходять гіперболи, орієнтація яких змінюється при зміні знака h.

У перетинах x = h и y = h - Параболи, що мають протилежний зміст гілок (ріс.13б).

Пізніше, при вивченні загальних властивостей лінійних просторів, буде доведено, що ніяких інших поверхонь другого порядку не існує. Можливі тільки деякі приватні і вироджені випадки. Будь-яке рівняння другого порядку від трьох змінних приводиться до одного з розглянутих типів.




 Глава I. Векторна алгебра. |  I. Сума векторів. |  A a ?a |  Лінійні властивості проекцій. |  Приклади. |  Властивості скалярного твори. |  Властивості векторного твори. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати