На головну

Загальна теорія картографічних проекцій

  1.  I. ДЕМОКРАТІЯ: ТЕОРІЯ І РЕАЛЬНІСТЬ
  2.  I. Загальна обстановка
  3.  I. Загальна характеристика психолого-медико-педагогічної консультації
  4.  I. Загальна частина.
  5.  I. Загальна частина.
  6.  II. матеріалістична теорія
  7.  II. Про двох особливостях Жовтневої революції, чи жовтень і теорія "перманентної" революції Троцького

Картографічна проекція - математично виражений спосіб відображення Землі або іншого небесного тіла прийнятого за кулю або еліпсоїд на площині. Загальні рівняння карт. пр. мають вигляд:

 x = f1 (J, l) (1)

y = f2 (J, l)

 j, l - геогр. координати деякої точки на картографуванню пов-ти, x и y - Прямокутні координати зображення цієї точки на пл-ти в проекції, яка визначається функціями f1 и f2, За умови, що ці ф-й однозначні і безперервні.

Св-ва пр. І будуть залежати від цих ф-ций. Оскільки цих функцій множ-во, то одержувані пр-ції теж м.б. різноманітними.

Кожній пр-ції відповідає певна картографічна сітка заходів. і пар., к-раю становить матем. осн. створюваних карт.

Положення заходів. і пар. на картограм пов-ти визначається географічними координатами: широтою j і довготою l. Широта - це кут мж площиною екватора і нормаллю в даній точці. Довгота - кут мж площиною початкового Меріда. і площиною, що проходить через дану точку.

Геодезичні широта і довгота відрізняються від відповідних астрономічних координат, пов'язаних з прямовисною лінією, так як стрімка лінія не збігається з нормаллю до еліпсоїда.

Кожна карта має головний м-б, який показує загальний ступінь зменшення всієї картографуванню території при зображенні на площині. Гл. м-б підписується на карті, але зберігається лише в окремих точках або на деяких лініях карти. Оскільки головний масштаб на карті є величиною змінною, вводиться поняття приватних м-бов довжин і площ в даній точці.

Приватним м-бом довжин називається відношення довжини беск. малого відрізка на карті ds ' до довжини відповідного беск. малого відрізка на пов-ти еліпсоїда або кулі ds

m = ds '/ ds (2)

Спотворенням довжин (vm) Називається різниця мж приватним масштабом довжин і одиницею, виражена у відсотках, наприклад

m= 1.20, vm = (m-1) * 100% = + 20%

n= 0.78 vn = (n-1) * 100% = - 22%

Приватним масштабом площ називається відношення нескінченно малої площі на карті (в проекції) до відповідної б.м. площі пов-ти ел-да або кулі

p = dF '/ dF. (2 *)

Як правило, dF '? dF, Але сущ-ют р / вів картографічні пр-ції, в кожній точці яких брало dF '= dF. Ч.м. залежить від геогр. положення ел-та площі, тобто від широти і довготи.

Спотворенням площ (vp) Наз. різницю між м-бом площ і одиницею, виражена у відсотках

vp= (P-1) * 100%

Спотворення кутів (?u) Характеризуються різницею між величиною кута в проекції (u ') І величиною відповідного кута на картографуванню пов-ти (u). Як правило, ці кути не рівні, але існують р / уг пр-ції, в кожній точці яких u '= u.

?u = u'- u.

Величини спотворень є одним з основних критеріїв оцінки гідності карт. творів.

4.3.1. Масштаб довжин, масштаби по меридіанах і паралелях

 З (2) масштаб довжин:

m = ds '/ ds

але

 - Б.м. відрізок на карті

 - Б.м. відрізок на пов-ти еліпсоїда (з сферичного трикутника)

У цьому трикутнику б.м. дуга меридіана

 , де М - радіус кривизни меридіана.

 , де r - Радіус кривизни паралелі, r = Ncos?, N - Радіус кривизни першого вертикалі. Підставляючи в (2) формули (*), отримаємо

Введемо відомі коефіцієнти Гаусса:

.

тоді

 (3), де

; ; .

при

? = 0 ° ?2 = m2 =P,

масштаб по меридіанах

;

при

? = 90 ° ?2 = n2 =R,

масштаб по паралелях

.

4.3.2. Зображення лінійного елемента (азимута) в проекції

 Азимут довільного напрямку ? в проекції позначимо через ?. Для визначення ? побудуємо на площині зображення елементарного сфероїдічеськой трапеції.

Знайдемо кут ?, який утворює елементарний відрізок ds з позитивним напрямком осі Х

Користуючись цією формулою, можемо знайти також кути ?m і ?n, К-які утворюють з позитивним напрямком осі Х меридіани і паралелі (або дотичні до них). Беручи j = const для паралелі і l = const для меридіана, знайдемо

Знайдемо азимут елементарного відрізка ds:  , Тоді шляхом перетворень отримаємо

На підставі малюнка м. Отримати кут i між зображеннями меридіанів і паралелей

;  (4)

замість кута i в мат. карт. зазвичай користуються кутом ?, к-рий показує ухилення кута між меридіанами і паралелями від 90о, Ця величина характеризує неортогональної картографічної сітки

І тоді

Для того, щоб сітка була ортогональна, показник неортоганальності ? д.б.н. дорівнює нулю, тобто ? = 0, коли f = 0, тобто умова ортогональності виконується.

4.3.3. Еліпс спотворень. Максимальний і мінімальний масштаби довжин.

Візьмемо на картографуванню пов-ти окр-ть б.м. радіусу і досліджуємо, як це коло буде зображуватися в пр-ції. З т. А ', К-раю явл. зобр третьому заданої на картографуванню пов-ти т. А, Проведемо напр-я, совп. з напр. меридіана, прийнятим за вісь Х, Кути ?1, ?2 і т.д. На цих напрямках відкладемо відрізки, чисельно рівні значень масштабу довжин ?1, ?2 і т.д.

 Поєднавши кінцеві точки цих відрізків, ми отримаємо криву, яка хар-ет изм-е м-ба довжин в залежності від азимута.

Прийнявши т. А 'за початок прямоку. кд і за полюс плоских полярних координат (? і ?), м. написати

, .

тоді

, .

Підставами ці значення в (3), і встановимо, що досліджувана крива є еліпсом. Отже, б.м. еліпс в кожній точці на карті, що є відображенням б.м. кола на пов-ти ел-да або кулі, наз. еліпсом спотворень.

Приймемо, що меридіани і паралелі проходять ч / з осі X ' и Y ', Що збігаються з головними напрямками

Відомо що

;

.

Вирішимо ці рівняння разом і отримаємо шукані екстремальні масштаби:

,  , Де (5)

значення i відомо з (4).

4.3.4. Масштаб площ і максимальне спотворення кутів

З (2 *) відомо, що p = dF '/ dF.

Шляхом перетворень отримаємо p = ab = mncos?

Максимальна спотворення кутів ?:

або

 



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати